《高考备考指南 理科数学》课件-第6章 第2讲

数列第六章第2讲等差数列及其前n项和【考纲导学】1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断1从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差d

an＝a1＋(n－1)d

4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋__________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_______________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为____．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为____的等差数列．(n－m)d

ak＋al＝am＋an

2d

md

大

小

1．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14 B．21 C．28 D．35【答案】C2．(2015年新课标Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(

)A．5

B．7

C．9

D．11【答案】A3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(

)A．a1＋a101＞0

B．a2＋a100＜0C．a3＋a99＝0

D．a51＝51【答案】C1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×课堂考点突破2等差数列基本量的运算

(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(

)A．－6

B．－4

C．－2

D．2(2)(2016年唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.【答案】(1)A

(2)30【规律方法】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．等差数列的判定与证明【规律方法】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．等差数列的性质及应用【考向分析】等差数列的性质及其应用是高考的必考内容，以中、低档题目为主，难度不大．常见的命题角度有：(1)等差数列的性质；(2)等差数列前n项和的最值．

(1)(2015年广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.【答案】(1)10

(2)60

【解析】(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5.a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，所以a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30.∴S30＝60.等差数列的性质

在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．等差数列前n项和的最值课后感悟提升31个技巧——利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2种思想——方程思想和函数思想(1)等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(2)等差数列{an}中，an＝an＋b(