《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第6讲

立体几何第八章第6讲立体几何中的向量方法(一)【考纲导学】1．理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断12．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔________⇔ν1＝λν2.(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则__________________⇔存在两个实数x，y，使ν＝xν1＋yν2.(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔ν⊥u⇔u·ν＝0.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔____________________.v1∥v2

l∥α或l⊂α

u1∥u2⇔u1＝λu2

3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2⇔__________________.(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔______________.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔__________________.v2⊥v2⇔v1·v2＝0

v∥u⇔v＝λu

u1⊥u2⇔u1·u2＝0

【答案】C2．(2016年湖北高三测试)若平面α外的直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则能使l∥α的是(

)A．a＝(1，－3,5)，u＝(1,0,1)B．a＝(1,0,0)，u＝(－2,0,0)C．a＝(0,2,1)，u＝(－1,0,1)D．a＝(1，－1,3)，u＝(0,3,1)【答案】D3．(教材习题改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(

)A．α∥β

B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对【答案】C【答案】A1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(

)(2)若平面α，β的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则α∥β.(

)(3)若平面α，β的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则α⊥β(

)(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×课堂考点突破2利用空间向量证明平行问题

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.【规律方法】用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．【跟踪训练】1．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.【证明】∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0，0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．利用空间向量证明垂直问题

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.【解析】以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2，2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)．【规律方法】用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．【跟踪训练】2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.利用空间向量解决探索性问题

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．【规律方法】立体几何开放性问题求解方法(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论．(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解．【跟踪训练】3．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．课后感悟提升32种思路——用向量方法证明平行与垂直的思路用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．1种联系——空间向量与立体几何的联系用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线l1∥l2，只需证明向量a＝λb(l1，l2的方向向量分别为a，b，λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．1．(2016年新课标Ⅰ)如图所示，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．【解析】(1)证明：∵平面ABEF为正方形，∴AF⊥EF.∵∠AFD＝90°，∴AF⊥DF.∵DF∩EF＝F，∴AF⊥平面EFDC.∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC.(2)由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D－AF－E的平面角；由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C－BE－F的平面角．可得∠DFE＝∠CEF＝60°.∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC.∵平面EFDC∩平面ABCD＝CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD.∴CD∥EF.∴四边形EFDC为等腰梯形．2．(2016年浙江)如图所示，在三棱台ABC－DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3，(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求