第05讲 全称量词与存在量词（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第05讲全称量词与存在量词【人教A版2019】·模块一全称量词与存在量词·模块二全称量词命题与存在量词命题的否定·模块三命题的否定与原命题的真假·模块四课后作业模块一模块一全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】（2024高一·全国·专题练习）下列语句不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（

）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【解题思路】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【解答过程】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题p，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．【变式1.1】（22-23高一上·江苏南京·期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.【解答过程】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A.【变式1.2】（23-24高一上·江苏·单元测试）下列命题中，存在量词命题的个数是（

）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2A．0 B．1C．2 D．3【解题思路】根据存在量词命题和全称量词命题的定义作出判断.【解答过程】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（

）A．∃x∈R,x=0 C．∀x∈R,x3>0【解题思路】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.【解答过程】对于A，当x=0时，x=0对于B，因为x∈R，所以x2≥0，则对于C，当x=0时，x3对于D，由2x−10=1，得x=11故选：C.【例2.2】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（

）A．p1:∃x∈RB．p2:∀x∈RC．p3:∀x∈ZD．p4:∃x∈R【解题思路】对A：由x2+1≥1>0判断命题为假；对B：当x=0时命题不成立；对C：由Z及N关系判断命题为真；对D：由【解答过程】∀x∈R，x2+1≥1>0，故当x=0时，x+|x|=0，故p2∀x∈Z，|x|∈N，故p3方程x2−7x+15=0中Δ=故选:：C.【变式2.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（

）①∃x∈R，x2−5x−6=0；②∀x∈R，x2A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.【解答过程】①由x2−5x−6=(x+1)(x−6)=0，可得x=−1或②由x2③当x=−1时x3故选：C.【变式2.2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（

）A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立C．∃x∈R，x2=x D．对任意a，b∈R【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意a，b∈R，都有a2即a2故选：D.【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“∀x∈R,ax2−2ax+12>0A．−∞,0∪12,+∞ B．−∞【解题思路】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得a的取值范围.【解答过程】若命题“∀x∈R则当a=0时，不等式为12>0对∀x∈R当a≠0时，要使得不等式恒成立，则a>0Δ=4综上，a的取值范围为0,12.故选：D.【例3.2】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“∃x∈R，a>x2−1”为真命题，则实数aA．a>−1 B．a>1 C．a<−1 D．a<1【解题思路】由题意知a需要大于x2【解答过程】由题意得a>x2−1min，又x2故选：A.【变式3.1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“∃x∈[−2,1]，x2+2ax−3a≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（A．a≥1 B．a>1 C．47<a<1 【解题思路】将问题转化为命题¬p“∀x∈[−2,1]，x2+2ax−3a<0【解答过程】解：因为命题p“∃x∈[−2,1]，x2所以命题¬p“∀x∈[−2,1]，x令fx=x当−a≤−2，即a≥2时，f1=1+2a−3a<0，解得a>1，此时当−a≥1，即a≤−1时，f−2=4−4a−3a<0，解得当−2<−a<1，即−1<a<2时，f1=1+2a−3a<0f−2=4−4a−3a<0综上：实数a的取值范围是a>1，故选：B.【变式3.2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p：任意x∈1,2,x2−a≥0，命题q：存在x0∈R,A．−∞,−2 B．−∞,1 C．【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时a的取值范围，取其补集即可得答案.【解答过程】命题p为真时a≤x2恒成立，x∈1,2，即a≤x命题q为真时Δ≥0，即4a2−42−a命题“p且q”是真命题时，取交集部分，可得a≤−2或a=1，所以命题“p且q”是假命题时，可得a>−2且a≠1，故选：D.模块二模块二全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】（2024高三·全国·专题练习）命题“∀x∈Z，x2≥0”的否定是（A．∃x∈Z，x2≥0 B．∃x∉ZC．∃x∈Z，x2<0 D．∃x∉Z【解题思路】根据命题“∀x∈M，px”的否定是“∃x∈M，¬p【解答过程】命题“∀x∈Z，x2≥0”的否定是“∃x∈Z，故选：C．【例1.2】（23-24高二下·浙江·期中）命题“∀x≥0,x2−x+1≥0A．∃x≥0,    x2C．∀x≥0,x2−x+1<0【解题思路】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.【解答过程】命题“∀x≥0,x2−x+1≥0故选：A.【变式1.1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）命题“∀x∈0,1，x3<A．∀x∈0,1，x3>x2C．∃x0∈0,1，x03【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀x∈0,1，x3<x2故选：C.【变式1.2】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“∀x∈R，∃n∈N∗，n>xA．∀x∈R，∀n∈N∗，n≤x2 B．∃x∈RC．∃x∈R，∀n∈N∗，n≤x2 D．∃x∈R【解题思路】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。【解答过程】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“∀x∈R，∃n∈N∗，n>x2”的否定形式是“∃x∈R，故选：C.【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）命题“∃x0∈R,A．∀x∈R,x2+3x−2=0C．∃x∉R,x12【解题思路】根据存在命题的否定为全称命题分析即可.【解答过程】命题“∃x0∈R,故选：B.【例2.2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p：∃n∈N,2n−2A．∀n∉N,2n−2C．∃n∉N,2n−2【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【解答过程】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以¬p为∀n∈N故选：D.【变式2.1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）命题“∃x>0，x2+x+1≥0”的否定是（A．∀x≤0，x2+x+1<0 B．∀x≤0C．∀x>0，x2+x+1<0 D．∃x>0【解题思路】特称量词命题的否定为全称量词命题.【解答过程】命题“∃x>0，x2∀x>0，x2故选：C.【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题p“∃x0∈R，A．¬p：∀x∈R,x2−x+1>0，为假命题 C．¬p：∃x∈R,x2−x+1>0，为真命题 【解题思路】判断命题p的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可.【解答过程】因为x2−x+1=x−12又“∃x0∈R，故选：D.模块三模块三命题的否定与原命题的真假1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题p:∀x∈R,x(1)写出命题p的否定；(2)判断命题p的真假，并说明理由．【解题思路】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题p的否定.（2）根据二次函数的知识进行判断.【解答过程】（1）由命题p:∀x∈R,x可得命题p的否定为∃x∈R,x（2）命题p为假命题，理由如下：因为y=x2−x−2=x+1x−2故命题p为假命题．【例1.2】（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p:∀x∈R(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p:∃x∈N【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可．【解答过程】（1）易知原命题的否定为：¬p:∃x∈R显然x2+x+1=x+（2）易知原命题的否定为：¬p：所有的三角形的三条边不都相等，因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则¬p是假命题；（3）易知原命题的否定为：¬p：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直，显然原命题是真命题，则¬p是假命题；（4）易知原命题的否定为：¬p:∀x∈N显然当x=1时，x2−2x+1=x−1【变式1.1】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃x∈R，x2(2)至少有一个实数x，使x3(3)∃x,y∈Z，2x+y=3【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可．【解答过程】（1）命题的否定：∀x∈R，x2因为∀x∈R，x2（2）命题的否定：∀x∈R，x3因为当x=−1时，x3（3）命题的否定：∀x,y∈Z，2x+y≠3因为当x=0，y=3时，2x+y=3【变式1.2】（23-24高一·湖南·课后作业）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀x∈R，x(2)∃x∈Q，x(3)∃x∈R，x(4)∀x≠0，x+1(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【解题思路】（1）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用配方法可判断原命题否定的真假；（2）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，解方程x2（3）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，判断原命题的真假，可得出其否定的真假；（4）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用特殊值法可判断原命题否定的真假；（5）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假；（6）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假.【解答过程】（1）解：原命题的否定为：∃x∈R，x因为x2（2）解：原命题的否定为：∀x∈Q，x因为当x2=2时，（3）解：原命题的否定为：∀x∈R，x当x=±3时，x（4）解：原命题的否定为：∃x≠0，x+1取x=−1，则x+1（5）解：原命题的否定为：有些三角形没有内切圆.原命题的否定为假命题.（6）解：原命题的否定为：存在两个直角三角形不是相似三角形，原命题的否定为真命题.【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】（2024高一·江苏·专题练习）已知命题p:∃x∈R,m−x2+2x−5>0，若p【解题思路】根据题意可知命题p:∃x∈R,m−x【解答过程】因为p的否定为假命题，则命题p:∃x∈R,m−xm−x2+2x−5>0可化为m>即∃x∈R,m>x2−2x+5故实数m的取值范围为m|m>4．【例2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【解题思路】根据¬q为假命题，可判断q为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；【解答过程】因为¬q为假命题，所以q为真命题，命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin因为命题p、q同时为真命题，所以m≥3m≥1，解得m≥3故实数m的取值范围是3,+∞．【变式2.1】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：方程(1)若命题¬p为真，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q中有且仅有一个为真一个为假，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）由二次函数的性质得出命题p为真时，实数m的取值范围，进而由命题¬p为真求解；（2）由判别式得出q为真时，实数m的取值范围，再讨论p真q假或p假q真，得出实数m的取值范围.【解答过程】（1）若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则Δ=因为命题¬p为真，所以实数m的取值范围为−∞（2）若方程4x2+4m−2x+1=0若p真q假时，m>2m≤1或m≥3若p假q真时，m≤21<m<3，解得1<m≤2综上，得m∈1,2【变式2.2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知p：∀x∈R，mx2+1>0，q：∃x∈R（1）写出命题p的否定¬q；命题q的否定¬q；（2）若¬p和¬q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）直接利用“改量词，否结论”求解即可；（2）先求出¬p和¬q为真命题时，实数m的范围，再利用¬p和¬q至少有一个为真命题转化为¬p真或¬q真，即可得出结果.【解答过程】（1）¬p：∃x∈R，mx¬q：∀x∈R，x2（2）由题意知，¬p真或¬q真，当¬p真时，m<0，当¬q真时，Δ=m解得−2<m<2，因此，当¬p真或¬q真时，m<0或−2<m<2，即m<2．模块四模块四课后作业一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（

）①∀x∈R，x2+2>0；②∀x∈N,x4≥1A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.【解答过程】∀x∈R，x2+2≥2>0，①正确；当x=0时，当x=0时，x3=0<1，③正确；由于(±3所以正确命题的个数为2.故选：B.2．（23-24高二下·湖南·期中）已知命题p:∀x>0,ex+3x≤2，则¬pA．∃x≤0,ex+3x>2C．∃x>0,ex+3x≤2【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，否定形式为：将∀改为∃，再将结论否定，即可选出.【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题p:∀x>0,ex+3x≤2是全称量词命题，所以¬p故选：B.3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（）A．∃x∈R，x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数D．存在x∈R，使得【解题思路】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项判断即得.【解答过程】对于A，∃x∈R，x≤0，如x=0，A正确；对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确；对于C，∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数，如x=2对于D，x2−2x+1=(x−1)2≥0故选：ABC.4．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈R，xC．有一个实数x，使x2+2x+3=0【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论.【解答过程】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；对于B，易知“∀x∈R，x+1≥1且由x≥0可得x对于C，“有一个实数x，使x2对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；故选：B.5．（23-24高一上·安徽·期末）已知“∃x0∈R，2024x0A．a>−506 B．a≥−506 C．a≤−506 D．a<−506【解题思路】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【解答过程】“∃x0∈R，2024x0而2024x02−2024x所以实数a的取值范围为a>−506.故选：A.6．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（

）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R③命题“∃x∈R,x④命题“∀x∈ZA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解.【解答过程】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确；对②，“∀”为任意，即为全称量词，所以命题“∀x∈R对③，命题“∃x∈R,x对④，∵∀x∈Z所以正确的有3个.故选：D.7．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：∀x∈R，x2−x+2a>0，则“a≤0”是“¬p是真命题”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】首先求出命题p为真时参数a的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】若∀x∈R，x2−x+2a>0为真命题，则Δ=1−8a<0则¬p是真命题时对应的a的取值范围为a≤1因为−∞,0−∞,1故选：A.8．（23-24高一上·上海松江·期末）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合A=x|x2A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题【解题思路】对于①，分类讨论x=0、x=1、−1<x<0、0<x<1和1<x<2五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x为整数和不为整数时原式是否成立，对于x不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【解答过程】对于①：当x=0时，x2当x=1时，x2当−1<x<0时，x2−x当0<x<1时，x2−x当1<x<2时，x2则x=2∈1,2综上，A=x|对于②：当x为整数时，x+当x不为整数时，设x=a+b（a为整数，0<b<1），当0<b<12时，x+此时，x+当b=12时，x=a+12，则此时，x+当12<b<1时，x+此时，x+综上，对于任意x∈R，x故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·吉林·阶段练习）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（

）A．存在实数x，使xB．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是180【解题思路】根据存在量词命题的定义，结合存在量词命题的真假判定，逐项判定，即可求解.【解答过程】A中，命题：存在实数x，使x2B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确；C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确；D中，命题：每个三角形的内角和都是180∘故选：AB.10．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p:∃m∈{m∣−1≤m≤1}，a2−5a+3<m+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（A．a≤0 B．a≥5C．a≥0 D．a≤5【解题思路】根据题意，转化为∀m∈{m∣−1≤m≤1}，a2−5a+3≥m+2恒成立，列出不等式，即可得到【解答过程】由题意可得，∀m∈{m∣−1≤m≤1}，a2可得a2−5a+3≥3，即a2−5a≥0，解得即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥5}故选：AB.三、填空题11．（23-24高一上·云南昭通·期末）命题“∃x∈−1,1,x2+2x≤1【解题思路】根据特称命题的否定形式求解即可．【解答过程】命题“∃x∈−1,1,x故答案为：∀x∈−1,112．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“∃x∈R，使得2x2−mx+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是【解题思路】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.【解答过程】因为“∃x∈R，使得2x所以“∀x∈R，使得2x所以Δ=m2故答案为:−22四、解答题13．（23-24高一·