基于GeoGebra的开普勒方程动态可视化教学研究

摘"要：空间目标轨道与环境课程教学是拓宽空军预警学院反导预警技术保障专业学员知识视野、提升学员专业素养的重要途径。该课程教学涉及航天轨道动力学的一些难点知识，传统教学方式过于抽象，不利于学员理解掌握。曾有学者引入Mathematica等仿真软件辅助教学，但课件制作难度大，表现力不够理想。为此，针对开普勒方程这一教学难点，提出采用GeoGebra进行辅助教学的方法。研究发现，GeoGebra具有制作简单、操作便捷、动态演示等诸多优点，可直观形象地展示难点知识；同时，对比使用GeoGebra前后的教学效果，使用GeoGebra可显著提高学员对开普勒方程的理解和掌握能力。关键词：空间目标轨道与环境；开普勒方程；GeoGebra；动态演示课件0"引言空间目标轨道与环境课程是空军预警学院反导预警技术保障专业的选修课程，这门课程的学习对培养学员科学素养具有重要意义。该课程主要讲授时间与坐标系统、轨道运动原理、轨道摄动原理、轨道机动原理、轨道预报与确定、卫星星座等内容，对学员的数学基础和空间想象力要求较高。目前，采用动态可视化的方法研究、分析复杂的轨道力学问题，帮助学员深刻理解教学内容的重难点成为主流趋势。张汉清等[1]引入Mathematica进行航天器轨道理论可视化教学，构建立体且直观的CAI课件，成功激发学生的学习兴趣；杨洪伟等[2]探讨如何运用MATLAB进行轨道力学教学，充分锻炼学生的实践能力；王卫杰等[3]研究基于STK的航天器轨道动力学仿真教学方法，有效提升学生的空间逻辑思维能力。Mathematica和MATLAB两款软件在数值计算和符号演算方面表现出色且操作简便易行，但若要展示动态演示效果，则需要编写额外的程序[4-5]。虽然STK在动态演示方面表现出色，但由于其使用过程较为复杂，需要经过二次开发才能充分发挥其潜能[6]。因此，这无疑对教师开发动态可视化的多媒体课件提出更高的要求。GeoGebra是一款非常出色的教学仿真软件，它操作简单，无须具备编程经验即可制作动态演示和交互性卓越的教学多媒体课件[7]。因此，在教学中针对开普勒方程这一难点问题引入GeoGebra并制作相应的教学课件，通过对比使用该软件前后的教学效果，可以发现使用GeoGebra后，学员能够更加直观地理解和掌握开普勒方程的原理与计算方法，并且通过交互式操作，能够更加深入地探索这一难点问题。该经验对于在空间目标轨道与环境课程和其他数理课程的教学中全面推广应用GeoGebra具有重要的借鉴意义。1"GeoGebra软件简介GeoGebra是由亚特兰大大学数学系教授MarkusHohenwarter设计的一款开源数学教学软件，它的名称由“Geometry”（几何）和“Algebra”（代数）两个词汇组合而成，通常被缩写为GGB。该软件是一个跨平台的动态数学软件，包含几何、代数、表格、图形、统计和微积分等，适用于教学和学习。由于其强大的功能和开源特性，GeoGebra已经在全球范围内受到广大师生的青睐。GeoGebra的工作界面如图1所示，从左至右可以清晰地划分成若干个区域[8]，以下为各区域的简要说明。1）代数区：该区域包括指令输入栏和工具栏，供用户输入指令和进行相应的操作，不同功能模块对应不同的工具栏，如在二维绘图区功能模块的工具栏上可以进行画图和编辑等操作。2）CAS运算区：用户可以在该区域进行复杂的数学计算和代数运算，CAS是ComputerAlgebraSystem（计算机代数系统）的缩写。3）二维绘图区：用户可以在该区域创建和编辑二维图形，如点、线、圆等图形元素。4）三维绘图区：用于绘制和编辑三维图形。5）表格区：用户可以在该区域创建和管理数据表。6）概率运算器：用于进行概率统计和计算。2"开普勒方程开普勒方程是航天轨道动力学中二体问题的基本方程之一，具有重要的地位，它给出了卫星运动位置与时间的关系，基本原理如下。如图2所示，建立轨道平面坐标系，其原点为地球质心，X轴指向近地点方向，Y轴在轨道平面内与X轴垂直；引入辅助变量偏近点角E。经推导可得[9]：E（t）-esinE（t）=M（t）""""（1）式（1）即为开普勒方程。t为当前时间；M（t）=n（t-τ）为平近点角，τ是卫星最近一次经过近地点的时间；n=（µ/a3）1/2为平均角速度，µ为地球引力常数。开普勒方程通过偏近点角E将时间t与卫星的真近点角f联系到一起。为了得到t时刻卫星的位置，必须先知道卫星最近一次过近地点的时间τ和轨道的偏心率e，再利用轨道半长轴a来计算平均角速度n，进而计算平近点角M（t），再根据开普勒方程计算偏近点角E（t），最后求得真近点角f。开普勒方程是轨道运动原理中的一大难点。在传统的教学过程中，教师先给出如图2所示的卫星运动静态示意图，然后推导相应计算公式。然而，这种方法存在两个缺陷：1）平近点角M无法在图2中利用开普勒方程所确定的精确几何关系呈现出来；2）无法动态演示角度E、M和f按照开普勒方程的关系变化。这给学员深刻理解开普勒方程的物理意义带来困难。为解决上述问题，运用GeoGebra开发开普勒方程动态演示课件。3"GeoGebra动态演示课件制作与应用使用GeoGebra制作开普勒方程教学课件的详细步骤如表1所示，可以按照表格中的信息，轻松地以GeoGebra指令或交互式操作的形式实现每一步。对于更具体的操作细节，建议查阅参考文献[8]。开普勒方程GeoGebra动态演示课件效果图如图3所示，E、M和f三个角度均严格按照开普勒方程进行绘制。其中，“卫星”被设定为动点，当点击左下角的运行按钮时，将动态演示三个角度和卫星位置矢量r随时间的变化情况。有关该课件的详细信息可参考文献[10]。由表1的GeoGebra动态演示课件制作过程可见，每一步操作都简单明了，并且可以通过交互方式快速实现。与Mathematica、MATLAB和STK等软件相比，这种方式不仅可以极大地节省制作时间，还能更准确、直观地呈现教学知识点。通过课件的动态演示和关键公式的物理含义解释，学员更容易地理解难点内容，在此基础上再去理解公式的详细推导过程会变得水到渠成。在2023年春季学期的反导预警技术保障专业两个期班的教学过程中，笔者采用GeoGebra动态演示课件开展开普勒方程知识点授课试点，课后问卷调查和期末结业考试发现，相比以往未采用该课件教学的期班而言，采用该课件的期班在知识点掌握程度和考核得分情况方面均有明显提升。4"结束语本文探讨GeoGebra在空间目标轨道与环境课程中的教学应用，结合开普勒方程这一核心知识点，详细阐述制作课件及其实践操作的步