2025届高三四月数学每周好题（第1周）

四月数学每周好题精选（第一周）1.已知奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为()A.-1 B.0 C.1 D.22.设非零向量，，若，则()A. B. C. D.3.已知集合，，则()A. B. C. D.4.某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有()A.504种 B.960种 C.1008种 D.1200种5.已知函数对任意都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为()A. B. C.505 D.10137.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则()A.或 B. C.或 D.或8.在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.（多选）已知某地7岁儿童的身高X（单位：cm）服从正态分布，且，则下列说法正确的是()A.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高不低于的概率是0.5B.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高低于的概率是0.7C.从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高超过与不超过的概率相等D.从该地7岁儿童中任选2名儿童，这2名儿童身高都高于的概率为0.1810.（多选）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是()A.的最小值为2 B.的最小值为1C.的最大值为4 D.的最小值为211.（多选）定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则()A.的图像关于点对称 B.的图像关于点对称C. D.若，则12.（多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是()A.是函数的极值点 B.在区间上单调递增C.是函数的最小值点 D.在处切线的斜率小于零13.已知，为双曲线的左、右焦点，圆与E相交于点P（点P位于第一象限），若，则E的离心率为________.14.已知复数z满足，则________.15.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为_______________.16.已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若不等式恒成立，求整数a的最大值.17.如图，在四棱锥中，，，底面是边长为的菱形，.(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成角的正切值为2，点Q满足，求直线与平面所成角的余弦值.18.近年来毕业旅行的热度明显上升.对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式.某平台对2020～2024年毕业季毕业生购买飞机票的数量y（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据：年份20202021202220232024年份代码t12345y/万张3036516078（1）分析上述统计表可知y与t有较强的线性相关关系，求y关于t的经验回归方程.（2）通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行.某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有N名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名.（ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）.（ⅱ）用样本的频率估计概率.设女性毕业生中购买飞机票的概率为p，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求N的值.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

答案以及解析1.答案：A解析：∵为R上的奇函数，∴，则，即，∵为偶函数，∴，∴，，∴，，则，故选：A.2.答案：D解析：因为，所以，所以，因为非零向量，所以，所以，所以，故选：D.3.答案：B解析：因为对数函数是上的减函数，所以由，得，则；因为指数函数是R上的增函数，所以由，得，则，由此，.故选：B.4.答案：C解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种），其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种).因此满足题意的方法共有(种).故选：C.5.答案：A解析：依题意，其中，又因为对于任意，都有，则有，即，，解得，则，取，则，因为在上的值域为，则，解得.故选：A.6.答案：D解析：设首项为，因为，，成等比数列，所以，则，解得或，当时，，此时与，，成等比数列矛盾，故排除，当时，，此时令，而其前2025项和为.故选：D7.答案：D解析：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，可得，可得，可得，故，或，即或，又，可得，，，或.故选：D.8.答案：A解析：在平行六面体中，，，而，，则，，，，因此，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A9.答案：AC解析：因为，所以A正确；从该地7岁儿童中任选1名儿童，其身高低于的概率为，所以B错误；由，，可得C正确；从该地7岁儿童中任选2名儿童，这2名儿童身高都高于的概率为，所以D错误.故选AC.10.答案：AD解析：对于A，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故B错误；对于C，，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为2，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故D正确.故选：AD.11.答案：ACD解析：由，得，所以，所以的图像关于点对称，故选项A正确；由得，即，所以的图像关于点对称，又因为函数的图像关于直线对称，则，所以，所以，所以，即，所以是周期函数，且周期为，故选项B错误，C正确；若，且的图像关于点对称，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.答案：AB解析：根据导函数图象可知：当时，，在时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；则是函数的极小值点，故A正确；在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D不正确.故选：AB13.答案：解析：由圆，则圆以为直径的圆，又由P是双曲线与圆的交点，则，，由，则，，所以，在直角中，则，故.故答案为：.14.答案：解析：令，则有，即，，解得，即，.故答案为：.15.答案：14解析：由题意得，，，故，解得.故答案为：14.16.答案：(1)；(2)增区间，减区间；(3)解析：（1）函数的定义域为R，，则曲线在点处的切线为，即.（2）因为，时，由，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）依题知，恒成立，即恒成立，设，则，当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，则恒成立，整理得.设，则恒成立，所以在上单调递增，又，且，，故整数a的最大值为.17.答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）连接交于点O，连接，因为是菱形，所以，又因为O为的中点，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）过P作交于点H，面面，，面面，面，所以面，因为，，面，，所以面，又面，所以，所以H为，的交点，为等边三角形，所以H为的重心，设与交点为M，连接，则为二面角的平面角，因为，，在中，解得，因为，，所以，所以平面，以O为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得：，，即，又，设平面和直线所成的角为，则，所以.18.答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）解析：（1）由题意得，，，，所以，，所以y关于t的经验回归方程为.（2）（ⅰ）由题意知，400名毕业生中男性有（名），故样本中购买飞机票的男性有（名），样本中购买飞机票