第十三章 机械振动与机械波、光 电磁波与相对论选修3-4

第十三章机械振动与机械波、光

DISHISANZHANG/电磁波与相对论[选修34]

第1节机械振动

::着眼"四层”)》清单.记牢.悟透

一、简谐运动

1.简谐运动

(1)定义：如果质点的位移与蛔的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-f图象)

是一条正弦曲线，这样的振动就叫做简谐运动。

(2)条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向垩衡位

置，质点的运动就是简谐运动。

(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。[注1]

(4)回复力：使物体返回到平衡位置的力。[注2]

①方向：总是指向平衡位置。

②效果：使物体返回到平衡位置。

2.简谐运动的两种模型

模型弹簧振子(水平)单摆

.，，，，，，，，，，

-----

小意图

简谐①弹簧质量要忽略①摆线为不可伸缩的轻细线

运动②无摩擦等阻力②无空气阻力

条件③在弹簧弹性限度内③最大摆角小于等于5°

摆球重力沿与摆线垂直方向(即切

回复力弹簧的弹力提供

向)的分力

平衡

弹簧处于原长处最低点

位置

周期与振幅无关fl

能量弹性势熊与动能相互转化,机械能重力势能与动能相互转化，机械能

转化守恒守恒

二、简谐运动的公式和图象

1.表达式

(1)动力学表达式：F=-kx,其中“一”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x=4sin(w+oo),其中A代表振幅，s=2TI/代表简谐运动的快慢,

加+00代表简谐运动的相位，6)叫做初相。

2.图象

(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为sincut,图象如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos研，图象如图乙所示。

甲乙

三、受迫振动和共振

1.受迫振动

系统在驱动力作用下的振动。受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率

无关。

2.共振

驱动力的频率与系统的固有频率相笠时，受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫做共振。

共振曲线如图所示。

°fs

【注解释疑】

［注1］做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零,

如单摆。

第2页，共105页

［注2］回复力属于效果力，其来源可以是某一个力，也可以是某个力的分力或几个力的

合力。

【基础自测】

一、判断题

⑴简谐运动是匀变速运动。（义）

⑵周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。（J）

⑶振幅等于振子运动轨迹的长度。（X）

（4）简谐运动的回复力可以是恒力。（义）

⑸弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零，动能最大。（。）

（6）单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。（X）

（7）物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。（J）

（8）简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。（X）

二'选择题

1.［一科版选修3-4P5讨论与交流改编］如图所示，弹簧振子在3、C间振动，。为平

衡位置，BO=OC=5cmQ若振子从5到C的运动时间是Is,则下列说法中正确的是（）

4Boc"

A.振子从B经O到C完成一次全振动

B.振动周期是1s,振幅是10cm

C.经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D.从5开始经过3s,振子通过的路程是30cm

解析：选D振子从5-0一。仅完成了半次全振动，所以周期T=2Xls=2s,选项A、

B错误；振幅A=5O=5cm,振子在一次全振动中通过的路程为44=20cm,所以两次全振

动中通过的路程为40cm,选项C错误；3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm,

选项D正确。

2.（多选）一质点做简谐运动的图像如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A.质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1s、0.3s

B.质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.4s

C.质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3s

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D.振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3s

解析：选ABC质点在0.1s和0.3s时刻，位移为零，故加速度为零，速度最大，A正

确；质点在0和0.4s时刻，位移为正方向最大值，故速度为零，加速度为负方向最大值，B

正确；质点在0.3s时刻，位移由负方向变为正方向，则回复力由正方向变为负方向，C正

确；质点在0.3s时刻，位移为零，振动系统势能和加速度都为零，D错误。

垃足“四翼”赢格甯》＞＞题型•规律•方法

考点一简谐运动的规律［互动共研类］

简谐运动的五个特征

受力特征回复力尸=-履，尸(或“)的大小与x的大小成正比，方向相反

靠近平衡位置时，“、尸、x都减小，。增大；远离平衡位置时，“、尸、X

运动特征

都增大，。减小

振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械

能量特征

能守恒

质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是

周期性特征

简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为£

关于平衡位置。对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位

对称性特征

置的位移大小相等

［例1］(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿

竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y=

0.1sin(2.57rZ)mof=0时刻，一小球从距物块力高处自由落下；f=0.6s时，小

球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g=10m/s2。以下判断正确的是

)

A./z=1.7m

B.简谐运动的周期是0.8s

C.0.6s内物块运动的路程是0.2m

D.f=0.4s时,物块与小球运动方向相反

［解析］f=0.6s时，物块的位移为y=O.lsin(2.5jrX0.6)m=-0.1m,则对小球有

=%，解得/z=1.7m,选项A正确；简谐运动的周期是7="=悲

/co

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s=0.8s,选项B正确；0.6s内物块运动的路程是3A=0.3m,选项C错误；f=0.4s

=9时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。

［答案］AB

［归纳总结］

以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况

(1)位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，

则产生相反的变化。各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于

周期性，运动时间也不确定。

【对点训练】

1.［简谐运动的理解］

(2021・南昌模拟)关于水平放置的弹簧振子所做的简谐运动，下列说法错误的是()

A.位移的方向是由振子所在处指向平衡位置

B.加速度的方向总是由振子所在处指向平衡位置

C.经过半个周期振子经过的路程一定是振幅的2倍

D.若两时刻相差半个周期，弹簧在这两个时刻的形变量一定相等

解析：选A位移的方向始终是由平衡位置指向振子所在处，选项A错误；加速度的方

向始终是由振子所在处指向平衡位置，选项B正确；经过半个周期，振子经过的路程是振幅

的2倍，若两时刻相差半个周期，两时刻弹簧的形变量一定相等，选项C、D正确。

2.［简谐运动的周期性、对称性的应用］

(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。f=0时振子的位移为-0.1m,

f=ls时位移为0.1m,贝IJ()

A.若振幅为0.1m,振子的周期可能为|s

4

B.若振幅为0.1m,振子的周期可能为s

C.若振幅为0.2m,振子的周期可能为4s

D.若振幅为0.2m,振子的周期可能为6s

解析：选AD若振幅为0.1m,则G+3r=ls,其中“=0,1,2,…。当〃=0时，T=

22

2s;〃=1时，s；〃=2时，T=gs。故A正确，B错误。若振幅为

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0.2m,振动分4种情况讨论:

ydjr

第①种情况，设振动方程为％=Asin（w+9）,£=0时，-5=4sin如解得。=一不所

TT

以由尸点到。点用时至少为不，由简谐运动的对称性可知，由尸点到0点用时至少为N，即

（"+毒T=ls,其中〃=0,1,2,…，当〃=0时，T=6s,〃=1时，T=ys;第②③种情况，

由P点到0点用时至少为工，周期最大为2s;第④种情况，周期一定小于2s。故C错误，

D正确。

考点二简谐运动图像的理解和应用［素养自修类］

【对点训练】

1.［简谐运动图像的理解］

某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（）

A.f=ls时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B.f=2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C.f=3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D.f=4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

解析：选At=ls时，振子在正的最大位移处，振子的速度为零，由“=一得知，加

速度为负的最大值，A项正确；f=2s时，振子位于平衡位置，速度为负的最大值，加速度

为零，B项错误；f=3s时，振子在负的最大位移处，速度为零，加速度为正的最大值，C

项错误；f=4s时，振子位于平衡位置，速度为正的最大值，加速度为零，D项错误。

2.［简谐运动图像的应用］

（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（）

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A.甲速度为零时，乙加速度最大

B.甲加速度为零时，乙速度最小

C.1.25~1.5s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小

D.甲、乙的振动频率之比/甲：/z=l：2

解析：选CD由题图可知，甲运动到最大位移处(速度为零)时，乙刚好运动到平衡位

置，加速度为零，速度最大，A错误；甲运动到平衡位置(加速度为零)时，乙也运动到平衡

位置，速度最大，B错误；由|尸|=«|x|可知，C正确；甲做简谐运动的周期7>=2.0s,乙做

简谐运动的周期T心=1.0s,甲、乙的振动周期之比T甲：T匕=2：1,根据周期与频率成反

比，可知甲、乙的振动频率之比/甲：/匕=1：2,D正确。

【要点解读】

1.对简谐运动图像的认识

(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图甲、乙所示。

(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的

轨迹。

2.由简谐运动图像可获取的信息

(1)确定振动的振幅A和周期7。(如图所示)

⑵确定质点在任一时刻的位移。

⑶判断各时刻质点的振动方向

①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；

②下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。

(4)判断质点各时刻的加速度(回复力)的大小和方向

从图像读取的大小a的大小

JF=kxrFF=ma

大小及方向及方向及方向

(5)判断质点各时刻的势能、动能的大小：质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能

则越小。

考点三单摆及其周期公式［互动共研类］

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1.单摆的受力特征

(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，FB=7Mgsine=^x=-kx,负号表示

回复力月回与位移x的方向相反。

⑵向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F=FT-mgcos

心

(3)两点说明

①当摆球在最高点时，FP3=—=0,FT=mgcos0Q

②当摆球在最低点时，尸向=幽产，尸向最大，Fr=，〃g+渭

2.周期公式7=2力1的两点说明

(1)，为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。

(2)g为当地重力加速度。

［例2］(2019•全国卷II)如图，长为/的细绳下方悬挂一小球明绳的另一端固定在天花

板上。点处，在。点正下方也的。,处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使ri

细绳与竖直方向成一小角度(约为2。)后由静止释放，并从释放时开始计时。当I

小球。摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的°'\\

水平位移为x,向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-f关

系的是()

［解析］摆长为/时单摆的周期71=2振幅Ai=/sin

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；=母，振幅A2=1zsin/J(JJ为

a（a为摆角）；摆长为了时单摆的周期T2=2n

摆角）。根据机械能守恒定律得mg«l—cos”）=机监1—cos0,利用cosa=l—2sin吟，cos0

2

=1—Isin^,以及sina=tana=a（a很小），解得0=2a,故A2=［AI,故选项A正确。

［答案］A

【对点训练】

1.［单摆的振动图像及应用］

（多选）图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时

刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是（）

A.f=0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4s

B.t=ls时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T=4s

C.t=ls时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T>4s

D.f=0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A=10cm

解析：选BD因为自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，则摆球仍在

原范围内振动，振幅不变，周期不变，所以选项B、D正确。

2.［单摆周期公式的应用］

（2020•全国卷U）用一个摆长为80.0cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5。，则

开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉

开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。）

某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的

时间相等。新单摆的摆长应该取为cm。

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解析：结合题意所求的距离近似等于弧长，则〃=灰心X27rx80.0cmQ6.98cm,结合题

中保留1位小数和摆动最大角度小于5。可知不能填7.0,应填6.90由单摆的周期公式T=

24可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即什也又由题意可知旧单摆周期与新

单摆周期之比为10：11,贝瑞=个*"；解得/'=96.8cm。

答案：6.996.8

3.［类单摆问题］

如图所示，AC8为光滑弧形槽，弧形槽半径为R,C为弧形槽最低点，，甲

R》AB。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，求：>

(1)两球第1次到达C点的时间之比；Q—i一,

(2)若在弧形槽的最低点C的正上方人处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从

弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度/,是

多少。

解析：(1)甲球做自由落体运动

R=^gti2,所以友=、居

乙球沿弧形槽做简谐运动(由于AC《R,可认为偏角，<5。)。此运动与一个摆长为衣的

单摆运动模型相同，故此等效摆长为R,因此乙球第1次到达C处的时间为

所以〃：t?=:710

(2)甲球从离弧形槽最低点/i高处自由下落，到达C点的

由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为

Z=^+n^=~\J^(2n+1)("=0,1,2,…)

由于甲、乙两球在C点相遇，故1甲=，匕

,、片“p(2n+l)2n2R

联工解付h=(“=0,1,2,…)。

O

(2.+1)2砂大

答案：(1)2g：K(2)-("=0,1,2,…)

8

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考点四受迫振动和共振［素养自修类］

【对点训练】

1.［受迫振动和共振的理解］

（多选）某振动系统的固有频率为胃，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频

率为人若驱动力的振幅保持不变，则下列说法正确的是（）

A.当户■/；）时，该振动系统的振幅随/增大而减小

B.当止久时，该振动系统的振幅随/减小而增大

C.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于弁

D.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于7

解析：选BD振动系统做受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化的40,

规律如图所示，显然选项A错误，选项B正确；稳定时系统的频率等于驱

动力的频率，即选项C错误，选项D正确。JV,

2.［共振曲线的理解］

（多选）两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线I表示月球上

单摆的共振曲线

B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比L:a=25：4

C.若图线II表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1m

D.若摆长均为1m,则图线I表示在地球上完成的

解析：选ABC题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，

从题图上可以看出，两摆的固有频率力=0.2Hz,加=0.5Hz„当两摆在月球和地球上分别

做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f=±\轲知,g越大，/越大，所以g“>gj因为

g地Ag月，因此可推知图线I表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地

点做受迫振动，g相同，且碎'=上1，所以肝=苧，B正确；/II=0.5Hz,若图

线II表示在地球上完成的，根据g=9.8m/s2,可计算出却约为Im,C正确，D错误。

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3.［共振现象的应用］

偏心轮

共振筛示意图如图所示，共振筛振动的固有频率为5Hz,为使共振筛?

发生共振，使其工作效率达到最高，则偏心轮的转速为()筛｝X

A.5r/sB.10r/s

C.0.2r/sD.300r/s

解析：选A共振是指机械系统所受驱动力的频率与该系统的固有频率相接近时，系统

振幅显著增大的现象。共振筛中，当驱动力频率和共振筛的固有频率相等时，共振筛发生共

振，共振筛的振幅最大。根据题意，共振筛的固有频率为5Hz,电动机某电压下，电动偏心

轮的频率应该等于共振筛的频率，周期r=1s

则转速"=*=5r/s,故选A。

【要点解读】

1.自由振动、受迫振动和共振的比较

振动类型自由振动受迫振动共振

受力情况仅受回复力受驱动力受驱动力

由系统本身性质决由驱动力的周期或频

振动周期T驱=To或

定，即固有周期G或率决定，即7=7,或

或频率/驱二加

固有频率I/i)/=/»

振动物体的机械能不由产生驱动力的物体振动物体获得的能量

振动能量

变提供最大

弹簧振子或单摆机械工作时底座发生共振筛、声音的共鸣

常见例子

(0W5°)的振动等

2.对共振的理解

⑴共振曲线

如图所示，横坐标为驱动力的频率力纵坐标为振幅A。它直观地反

映了驱动力的频率对某固有频率为h的振动系统做受迫振动时振幅的影

响，由图可知，/与1/；)越接近，振幅A越大；当/=,时，振幅A最大。°/»

(2)受迫振动中系统能量的转化

做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

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基础题目练熟练快增分题目练透提能

1.正在运转的洗衣机，当其脱水桶转得很快时，机身的振动并不强烈，切断电源，转动

逐渐停下来，到某一时刻t,机身反而会发生强烈的振动，此后脱水桶转速继续变慢，机身

的振动也随之减弱，针对这种现象的分析说法正确的是（）

A.在，时刻脱水桶的惯性最大

B.在，时刻脱水桶的转动频率最大

C.在，时刻洗衣机发生共振

D.纯属偶然现象，并无规律

解析：选C惯性是物体本身的性质，只与物体的质量有关，A错误；机身做受迫振动

的频率与脱水桶的转动频率相等，当脱水桶的转动频率与机身的固有频率相等时机身发生共

振，振幅最大，C正确，B、D错误。

2.（多选）如图甲所示，弹簧振子以点。为平衡位置，在4、5两点之间做简谐运动，取

向右为正方向，振子的位移x随时间f的变化如图乙所示。下列说法正确的是（）

AOB

甲乙

A.f=0.8s时，振子的速度方向向左

B"=0.2s时，振子在O点右侧6cm处

C.f=0.4s和f=L2s时，振子的加速度完全相同

D.f=0.4s到f=0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大

解析：选AD由题图知，f=0.8s时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向

左，A正确；由题图乙可知，弹簧振子的振动方程为x=Asino/=12sinGk，cm,当f=0.2s

时，x=6\l2cm,即振子在。点右侧cm处，B错误；f=0.4s和f=L2s时，振子的加

速度大小相等，方向相反，C错误；f=0.4s到f=0.8

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s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，D正确。

3.（多选）关于单摆，下列说法正确的是（）

A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大

B.单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的

C.将单摆的摆角从4。改为2°,单摆的周期变小

D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大

解析：选ABD将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T=2TT^|可知，单

摆周期变大，选项A正确；单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的，选项B正确；单摆的

周期与摆角无关，将单摆的摆角从4。改为2。，单摆的周期不变，选项C错误；当单摆的摆

球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，选项D正确。

4.下列说法错误的是（）

A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比

B.弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变

C.在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐运动的周期越小

D.系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率

解析：选C根据单摆周期公式可以知道，在同一地点，重力加速度g为定

值，故周期的平方与其摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐运动时，只有动能和势

能相互转化，根据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项

B正确；根据单摆周期公式可以知道，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；

当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，故选项D正确。

5.（多选）（2020•浙江省温州模拟）将一单摆向左拉至水平标志线上,

从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右

摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说

法正确的是（）

A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒

B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9：4

C.摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大

D.摆球经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变

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解析：选ABC摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力对小球也不做功，整个过程中只有

重力做功，所以机械能守恒，其仍能回到原来的高度，故A正确；频闪照相机拍摄的时间间

隔一定，由题图可知，摆线碰到障碍物前、后的周期之比为3：2,根据单摆的周期公式T=

2c得摆长之比为9：4,故B正确；摆球经过最低点时，线速度不变，半径变小，根

浮，

据尸一机且=M7知，张力变大，根据容=①r,知角速度增大，故C正确，D错误。

6.（多选）受迫振动的演示装置如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一

个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法正确的是（）

0OCE

AB

A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同

B.如果驱动摆的摆长为则其他单摆的振动周期都等于2

C.如果驱动摆的摆长为I,振幅为A,若某个单摆的摆长大于振幅也大于A

D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大

解析：选ABD某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能

不同，根据尸=—fcr可得，加速度〃=5=1%，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆

的摆长为I,根据单摆的周期公式有r=20Q,而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都

等于驱动摆的周期，B正确；当做受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，做受迫

振动的单摆的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆

的固有频率只取决于单摆的摆长，则当摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，

这种现象称为共振，D正确。

7.（多选）下列说法正确的是（）

A.摆钟走得快了必须调短摆长，才可能使其走时准确

B.在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象

C.部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌

D.较弱声音可以震碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振

解析：

第15页，共105页

选CD摆钟走得快了说明摆的周期短，需要增大单摆的周期，根据单摆的周期公式T

=2小噌可知,必须增大摆长，才可能使其走得准确，故A错误；停在海面的小船上下振动，

是受迫振动，故B错误；部队经过桥梁时，如果士兵行走的频率和桥梁的固有频率相等，则

会发生共振，为了防止桥梁发生共振而坍塌，土兵要便步通过桥梁，故C正确；当声音的频

率等于玻璃杯的固有频率时，杯子发生共振而破碎，则D正确。

8.如图所示，一竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一T形支架在竖直方向振

动，T形支架的下面系着一弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘转动一会

静止后，小球做（选填“阻尼"''自由"或“受迫”）振动。若弹簧和小球构成的系

统振动频率约为3Hz,现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳

定，小球的振动频率为Hz。逐渐改变圆盘的转动周期，当小球振动的振幅达到最大

时，此时圆盘的周期为so

解析：由于水对小球有阻力的作用，因此圆盘停止转动后，小球做阻尼振动；圆盘转动

时带动小球做受迫振动，因此小球振动稳定时的振动频率等于驱动力的频率，即小球的振动

频率片:Hz=0.25Hz;当驱动力的频率等于小球的固有频率时小球振动的振幅最大，即圆

盘的转动频率应为3Hz,则圆盘的周期应为：s。

答案：阻尼0.250.33（或§

9.如图所示，一单摆悬于。点，摆长为/,若在。点的正下方的点钉一个光滑钉子,

使0。'=1，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直

方向夹角小于5。，则此摆的周期是（）

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10.（多选）简谐运动的振动图像可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上

安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画

出的就是小球的振动图像。取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置位移的正方向，纸带

运动的距离代表时间，得到的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（）

A.弹簧振子的周期为4s

B.弹簧振子的振幅为10cm

C./=17s时振子相对平衡位置的位移是10cm

D.若纸带运动的速度为2cm/s,振动图像上1、3两点间的距离是4cm

解析：选ABD周期是振子完成一次全振动的时间，由题图知，弹簧振子的周期为T

=4s,故A正确；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，弹簧振子的振幅为10cm,

故B正确；振子的周期为4s,由周期性知，f=17s时振子相对平衡位置的位移与f=ls时

振子相对平衡位置的位移相同，为0,故C错误；若纸带运动的速度为2cm/s,振动图像上

1、3两点间的距离为s=vf=2cm/sX2s=4cm,故D正确。

11.（多选）某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。

图甲中。点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。

由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中8点为最低位置，Z

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AOB=ACOB=a,a小于5。且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F

随时间，变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母均为已知量），且图中，=0时刻为摆球从A

点开始运动的时刻。已知摆长为，，重力加速度为g。根据题中（包括图中）所给的信息，下列

说法正确的是（）

o

A.该单摆的周期为t2

B.可求出摆球的质量

C.不能求出摆球在最低点B时的速度大小

D.若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大

解析：选AB由题图乙可知单摆的周期7=打，故A正确；在3点拉力尸有最大值，

浮

根据牛顿第二定律居lax一机g=w=在A、C两点拉力F有最小值，Fmin=^gCOS<Z,由A

2

点到B点根据机械能守恒定律有mgZ（l—cosa）=^mvf由此可求得摆球的质量m=

打麦小汨,在B点时的速度。=［尸（『啜寰吗故B正确，c错误；地球的两极重

力加速度最大，若在地球的两极做该实验，单摆周期为T=2n所以测得单摆的周

期最小，故D错误。

12.（多选）如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光

滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期7=2，^,式

中山为振子的质量，左为弹簧的劲度系数。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，

在运动过程中（）

A.甲的振幅是乙的振幅的4倍

B.甲的振幅等于乙的振幅

C.甲的最大速度是乙的最大速度的g

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D.甲的振动周期是乙的振动周期的2倍

解析：选BCD细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线

断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振

幅相等，A错误，B正确；两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，

细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块开始做简谐运动时的机械能，二者相等，根据机械能

守恒，可知在振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动

能达到最大，二者相等，因为甲的质量是乙的质量的4倍，根据动能公式可知甲的最大速度

是乙的最大速度的：，C正确；根据弹簧振子做简谐运动的周期公式7=2贮^^，甲的质量

是乙的质量的4倍，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，D正确。

13.如图所示，物体A和5用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，4的质量为机，3的质

量为M,弹簧的劲度系数为鼠当连接4、3的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简

谐运动，则A振动的振幅为()

A华B.竿K

(M+m)g(M+ni)g

C--k-D--2k-

解析：选A在物体A振动的平衡位置处，弹簧弹力和A物体重力相等。物体8将A

拉至平衡位置以下最大位移心=坐处，故物体A振动的振幅为华，A正确。

rV/C

14.弹簧振子以。点为平衡位置，在5、C两点间做简谐运动，在f=0时刻，振子从0、

3间的尸点以速度。向3点运动；在/=0.2$时刻，振子速度第一次变为一。；在，=0.5$时,

振子速度第二次变为一。。

(1)求弹簧振子的振动周期T；

⑵若5、C之间的距离为25cm,求振子在4s内通过的路程；

(3)若5、C之间的距离为25cm,从沿正方向通过平衡位置开始计时，写出弹簧振子的

位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。

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解析：（1）画出弹簧振子简谐运动示意图，如图所示。

由对称性可得T=0.5X2s=lSo___N—B

p'o_HL'

⑵若3、C之间距离为25cm

则振幅A=TX25cm=12.5cm

振子4s内通过的路程

4

s=jX4X12.5cm=200cmo

(3)根据x=Asincot

2n

A=12.5cm,co=厅=2冗rad/s

得x=12.5sin(27t/)cm

振动图像如图所示。

答案：(1)1s(2)200cm(3)x=12.5sin(2Mcm图像见解析

实验十九用单摆测量重力加速度的大小

着眼”四层2・跪倒丈”〉》清单.记牢.悟透

一、基本原理与操作

原理装置图操作要领

1.原理1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔

当偏角很小（小于5。）时，单摆大一些的线结，做成单摆。

做简谐运动，其运动周期为T2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在

=2^^|,周期与偏角的大小实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单

摆平衡位置处做上标记，如左图所示。

及摆球的质量无关，由此得到

3.用毫米刻度尺量出摆线长度用游标卡尺测出摆球

g="。因此，只要测出摆长

的直径，即得出金属小球半径r,计算出摆长/=〃+心

/和振动周期T,就可以求出当4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5。），

地的重力加速度g的值。然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出

2.装置图单摆完成30〜50次全振动所用的时间t

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,计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就

是单摆的振动周期，即7=为全振动的次数），反复