广东省中山市第二中学2025届高三高考模拟数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省中山市第二中学2025届高三高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x12<2xA．∅ B．−∞,1 C．−2．已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=λa+μb（λ,A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（

）A．19 B．49 C．134．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数yA．11分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟5．将函数fx=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位后得到函数gA．7π12,C．5π12,6．已知Sn,Tn分别是等差数列an,bA．2138 B．2342 C．4382二、多选题7．已知a>0，b>0且满足A．ab>e B．ab<e三、单选题8．已知点A是椭圆x22+y2=1的上顶点，F1,A．0,1 C．1−22四、多选题9．已知复数z1，z2满足3z1+A．z1=−C．z1−z10．如图，过抛物线C:x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，弦AB的中点为MA．以AB为直径的圆与l1相切 C．1FA+111．已知函数fx=e2x，gA．AB的最小值为B．∃a∈R，使得曲线y=fx在点C．函数y=D．若2x−五、填空题12．x2+y13．已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−14．已知点M在抛物线Γ:x2=4y上运动，过点M的两直线l1,l2与圆六、解答题15．已知函数fx=x(1)若函数y=fx−2(2)若直线y=ex与f16．如图，已知ABCD为等腰梯形，点E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面ABCD⊥平面BC(1)求证：DM//(2)求平面ABE与平面17．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α0<α<1(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为fα，求f(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量18．已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的方程．(2)过C上一点Ax0,y0作圆O的两条切线l1，l2（均不与坐标轴垂直），l1，①直线AM，A②x119．已知数列an满足2an(1)已知an①若a3=1②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M(2)若a1=111，是否存在正整数kk答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省中山市第二中学2025届高三高考模拟数学试题》参考答案题号12345678910答案BABBADADBABDABD题号11答案AB1．B【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解.【详解】12<2x<函数y=lgx+1中，x∁RB=故选：B2．A【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当λ>0，且c>λ当c⋅c⋅a+b=c⋅即当c⋅(a+b故“λ>0，且μ>故选：A.3．B【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C4由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：3681故选：B.4．B【分析】由题意解出解析式中的参数，后解对数不等式求解即可.【详解】由题意得，当t=0时，y=故解析式为y=0.05+0.15e化简得t≥11ln3，结合所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟.故选：B.5．A【分析】根据平移变换得到gx=sin2x【详解】gx由题意得m>0，故当x∈显然当2x−π6=要想y=gx若−2m−若−2若−2故选：A6．D【分析】利用an【详解】Sn,Tn分别是等差数列an,b故选：D7．AD【分析】根据对数运算性质转化已知得a+lna=eb+【详解】等式ab−2可得a−所以a+所以a+所以a+构造函数a+lna显然，函数fx=x所以a>eb而ab−e故2−lna故选：AD．【点睛】构造函数，利用函数单调性证明不等式.8．B【分析】由题意，A0,1,F1−1,0，F21,0，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M−ba,0，由−ba<0，可得点M在射线OF1上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和AF2的交点【详解】解：因为点A是椭圆x22+所以a2=2，b所以A0,1,F1由题意，三角形AF1F设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M−ba,0，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形AF1F2设直线y＝ax+b和AF2的交点为N，则由y=ax①若点M和点F1

则点N为线段AF2的中点，故N把F1、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b=②若点M在点O和点F1

此时b>13，点N在点F由题意可得三角形NMF2的面积等于1即12×1+ba故有13③若点M在点F1

则b<13，由点M的横坐标−ba设直线y＝ax+b和AF1的交点为P，则由y=ax此时，由题意可得，三角形APN的面积等于12，即1即121−由于此时13>b＞a＞0，所以2两边开方可得21−b=1故有1−综上，b的取值范围应是1−故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点M在射线OF1上，然后分三种情况进行讨论：①若点M和点F1重合；②若点M在点O和点F1之间；③若点9．ABD【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】∵3z1+∴z1=−∴所以z1−z故选:ABD10．ABD【分析】由抛物线的定义可得MN=AB2，结合MN⊥l1即可判断A；设l的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得xA+xB=4【详解】A：由题意得MN又MN⊥l1,∴以B：设l的方程为y=kx+1∴xA+则kNF=−1C：由选项B知yA1FD：由选项C，得1FA+在Rt△ANB中，AN∴|NF当且仅当FA⋅F故选：ABD．【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11．AB【分析】对于A：根据题意整理可得AB=ea−12−1【详解】设Ax对于A项：由题意可得fx1=所以AB构建Fa则F′a=ea−当a>12时，F′1则Fa在12,所以Fa故AB=x2−对于B项：∵f′x=可得f′x1即函数fx=e2x在点Ax1,a令2a=1故原题意等价于方程2a构建ha=2因为h12=2×对于C项：构建Gx因为G′x=且G′12则存在x0∈1整理得e2当x∈0,x0时，G则Gx在0,x所以Gx≥G又因为ln2−12>对于D项，∵2x−整理得：x−由lnx可知：x当0<x<e时，则当x=e时，则x−当x>e时，则x−综上所述；若2x−e故选：AB.【点睛】方法定睛：利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若探究极值点个数，则探求方程f′(x)＝0在所给范围内实根的个数．(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(4)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值．12．630【分析】x2+y+1【详解】x2+y+1则常数项，应为1个x2，2个1x，2个y，2个所以x2+y故答案为：630.13．2【分析】根据a2−b2=bc用余弦定理化简得到b=c−2【详解】因为a2−b由余弦定理得a2所以b2+b由正弦定理得sinB因为C=π−所以sinB=sin因为△ABC是锐角三角形，所以0<A又y=sinx在−π2因为△ABC是锐角三角形，所以0<B所以π6由正弦定理得b==1令cosB=t，因为πy=4t当t=22时，y=1故ba故答案为：2−【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.14．±【分析】设Mx0,x024，利用圆的切线性质结合等面积法求出AB⋅MC【详解】如图，设Mx0,x024由题意知AB⊥MRt△ACM而AB=2当CM最小时，A而CM当且仅当x02=4时，116x0则以M为圆心，MA为半径的圆的方程为：(与圆C:x2+(y−故答案为：±【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于利用圆的切线性质推出AB⋅MC的表达式，结合二次函数性质求最值求出15．(1)−(2)e【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解；（2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.【详解】（1）记y=fxg′x=∴a≤2当且仅当2x=1所以当x=22时，2∴所以a的取值范围为−（2）设直线y=ex与ff′由题意可知2x0+代入②⇒∴1−x02−a16．(1)证明见解析(2)65【分析】（1）取BE的中点N，通过证DM//A（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.【详解】（1）如图：取BE的中点N，连接AN，则MN//BC且M所以MN//AD所以AN//DM，又AN⊂平面ABE（2）取AD中点为F，过点O作直线BC的垂线，交弧BC于点因为四边形ABCD又平面ABCD⊥平面BCE，OF所以OF⊥平面OG,OC⊂平面B分别以OG，OC，OF所在直线为x，y因为BC为直径，所以B所以∠BCE=30在梯形ABCD所以：E3,−1,0，C0则：CE=3,−3设平面DCE的法向量则m⋅CE=0m⋅设平面ABE的法向量为则n⋅BE=0n⋅设平面ABE和平面CD则cosα=cos即平面ABE与平面DC17．(1)1(2)分布列见解析；期望为208【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数fα（2）X的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.【详解】（1）由题可知fα因为0<α<1，所以当α=（2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4．①当X=因此，PX②当X=因此，PX③当X=因此，PX④当X=因此，PX所以X的分布列为X1234P842017因此，X的数学期望EX18．(1)x(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）利用已知求参数，得到椭圆方程即可.（2）①利用点到直线的距离得到斜率满足的方程，结合韦达定理得到斜率的乘积，简单转化得到定值即可.②联立方程，结合韦达定理用斜率表示所求式，化简得到定值即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c(c>0)．依题意，离心率e直线l:xa+y联立①②，解得a=2，b=1，故（2）（i）设过点A且与圆O相切的直线的方程为y−则kx0−记直线AM，AN的斜率分别为k1，k（ii）由（i）的过程可知直线AM:则有1+4k直线AN:y故x===2则x119．(1)①a1=(2)存在