2024北京广渠门中学高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京广渠门中学高一（下）期中数学本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.44.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥5.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的表面积为（）A. B. C. D.7.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为8.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.AB B.AD C.BC D.AC9.已知，是单位向量，＝＋2，若⊥，则||＝（）A.3 B. C. D.10.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数满足，则的虚部为______.12.已知函数，则______；若将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则函数的图象的一个对称中心为______.13.已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________．14.在中，，，．（1）若，则________；（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．15.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：①四棱锥的体积为定值；②三棱锥的体积的最大值为；③的最小值为.请写出所有正确结论的序号______三、解答题共6小题，共85分.16.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求a的取值范围．17.如图，已知函数（）在一个周期内的图象经过，，三点.（1）写出，，的值；（2）若，且，求的值.18.已知满足___________，且，，求的值及面积.从①②③这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点.（1）当时，用，表示，，并求的值；（2）若时，求的取值范围.20.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求的面积；（2）求点之间的距离．21.已知集合，集合是集合S的一个含有8个元素的子集.（1）当时，设，①写出方程的解（）；②若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：或，即，故选：D．2.【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D3.【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故选：A4.【答案】D【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案.【详解】图①是一个等腰梯形，为较长的底边，以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥，故选：D5.【答案】D【分析】根据得到或，充分性不成立，必要性可举出反例，从而得到结论.【详解】，则或，故或，故为等腰三角形或直角三角形，为等腰三角形，不一定推出，比如，此时不能得到，故“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D6.【答案】C【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和母线，即可求出表面积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的正三角形，所以圆锥的底面半径，且圆锥的母线，故它的表面积为.故选：C7.【答案】C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值为0，无最大值.故选：C8.【答案】D【详解】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.故选D.9.【答案】C【分析】由⊥求得，再由求向量模的公式即可得解.【详解】因，是单位向量，＝＋2，⊥，则，所以.故选：C10.【答案】B【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故答案为：12.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】用辅助角公式化简得，代入即可求；由三角函数图象的平移变换可得，再由三角函数的图象性质可求得的图象的一个对称中心.【详解】因为，所以；依题意，，令，得，所以的图象的对称中心为，令，得的图象的一个对称中心为.故答案为：；13.【答案】（不唯一）【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：14.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）故答案为：；6.15.【答案】①②【分析】对于①：根据∥平面可知四棱锥的高为定值，进而可得结果；对于②：分析可知的面积最大值为，三棱锥的最大值为2，即可得体积最大值；对于③：将翻折到与矩形共面，结合平面几何性质分析最值.【详解】对于①：因为∥平面，且，可知点到平面的距离相等，即四棱锥的高为定值，且底面为面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故①正确；对于②：因为点在棱上，且，可知当且仅当点与点重合时，的面积取到最大值，又因为点在棱上，且平面，可知当且仅当点与点重合时，三棱锥的高取到最大值2，所以三棱锥的体积的最大值为，故②正确；对于③：如图将翻折到与矩形共面，连接交于点，此时取得最小值，因为，，则，可得，所以的最小值为，故③错误；故答案为：①②.三、解答题共6小题，共85分.16.【答案】（1）或（2）【分析】（1）首先得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；（2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；【小问1详解】解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．【小问2详解】解：因为，所以，①当时，，解得，符合题意；．②当时，，解得．故的取值范围为．17.【答案】（1），，（2）【分析】(1)结合已知条件和图像的对称关系可求，最小正周期，然后利用周期公式即可求，最后点代入求；(2)首先结合已知条件求出，然后结合的范围求出的值即可求解.【小问1详解】由已知条件及图像可知，，，故，即，从而，由，故，，又因为，所以.【小问2详解】由(1)中知，，故，因为，故，所以，即，故.18.【答案】选①，，；选②，不存在，故无解；选③，，.【分析】若选①，首先根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可；若选②，根据，，，即可判断此时不存在，故无解；若选③，首先根据，从而得到，根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可.【详解】若选①，，因为，所以.若选②，因为，，，所以，此时，不存在，故无解.若选③，，因为，所以，即.所以，因为，所以.19.【答案】（1），，（2）【分析】（1）根据平面向量线性运算法则表示出，，再由数量积的运算律计算可得；（2）建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】依题意，，所以.【小问2详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，所以，因为，所以，即.20.【答案】（1）;（2）．【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面积为．【小问2详解】由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即点C，D之间的距离为．21.【答案】（1）①②4，6.（2）证明见详解.【分析】（1）①根据两个元素之差为3，结合集合的元素，即可求得；②根据题意要求，写出集合X中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得；（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可.【详解】（1）①方程的解有：.②以下规定两数的差均为正，则：列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4；中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6；中间相隔三数的两数差：10,11,11,10；中间相隔四数的两数差：12,14,12；中间相隔五数的两