2024北京丰台区高一（下）期中数学（A卷）及答案

试题PAGE1试题2024北京丰台高一（下）期中数学（A卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出最符合题意的一项.1．在复平面内,下列复数中对应的点在第四象限的是A． B． C． D．2．已知向量,满足,,且与夹角为,则等于A． B． C． D．3．已知向量,,且,则的值是A． B． C． D．4．在△中,,,,则A． B． C． D．5．已知向量与向量的夹角为,且,,则A． B． C． D．6．如图，在△中,为边上的中线,若为的中点,则A．B．C． D．7．在△中,角,,的对边分别为,,,若,则△的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形8．如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为,圆柱的高为,底面半径为,则该组合体的体积为A． B． C． D．9.设,为非零向量,且,则与夹角的最大值是A.B.C.D.10．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个棱长为1的正方体组成,把魔方的中间一层转动了之后,表面积增加了A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分.11．已知复数,则,．12．体积为的球的表面积为.13．如图,在6×6的方格中,已知向量,,的起点和终点均在格点,且满足向量,那么.第13题第14题14．如图,边长为2的正方形中,点满足,则；若点是线段上的动点,则的取值范围是．15．设,为平面内的任意两个向量,定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量,,,,给出下列结论：①；②；③；④若是单位向量,则.以上所有正确结论的序号是．三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.（本小题共13分）已知复数,为虚数单位．（=1\*ROMANI）若,求的值；（=2\*ROMANII）若为实数,求的值.（=3\*ROMANIII）若,在复平面上对应的点在第一象限,求的取值范围.17．（本小题共15分）已知向量,.（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）求向量的夹角的余弦值；（=3\*ROMANIII）若与平行,求实数的值.18．（本小题共14分）已知向量,是夹角为的单位向量,且,.（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）求的值；（=3\*ROMANIII）求向量与的夹角.19．（本小题共13分）在△中,角,,的对边分别为,,,,,.（=1\*ROMANI）求的值;（=2\*ROMANII）求△的面积.20．（本小题共15分）在△中,角,,的对边分别为,,,．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知,使得△存在且唯一确定,求△的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求,第（=2\*ROMANII）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.21．（本小题共15分）已知向量,其中,,是两两不相等的正整数.记,,其分量之间满足递推关系,,,.（=1\*ROMANI）当时,直接写出向量；（=2\*ROMANII）证明：不存在,使得中；（=3\*ROMANIII）证明：存在,当时,向量满足.（考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效）

参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）题号12345678910答案BCBABDACBC第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分.11.;512.;13.314.;[1，2]15.①④（第11题和14题，第一个空3分，第二个空2分）三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.（本小题共13分）（=1\*ROMANI）因为，……………2分所以.……………3分（=2\*ROMANII）因为为实数，……………5分所以，……………6分解得.……………7分（=3\*ROMANIII）因为且所以，……………9分因为在复平面上对应的点在第一象限所以，…………11分所以…………13分17.（本小题共15分）（=1\*ROMANI）因为，，所以，…………2分所以…………4分（=2\*ROMANII）因为，，所以，，，…………7分所以…………10分（=3\*ROMANIII）依题意，…………12分由（1）知，…………14分由，解得…………15分18.（本小题共14分）（=1\*ROMANI），…………2分所以.…………4分（=2\*ROMANII）…………8分（=3\*ROMANIII），所以.…………10分，…………12分因为，所以与的夹角是.…………14分19.（本小题共13分）（=1\*ROMANI）在△中，因为，，，所以由正弦定理得.……………4分（=2\*ROMANII）因为，.由余弦定理……………6分得，……………7分解得或（舍）.……………9分所以△的面积.…………13分20.（本小题共15分）（=1\*ROMANI）因为，由余弦定理得，……………2分又因为所以；……………4分（=2\*ROMANII）由（1）知，若选条件①：，条件②：，……………5分因为,,……………6分所以，……………7分在△中由正弦定理可得，即，解得，……………9分，……………11分因为，所以，……………13分所以；……………15分若选条件①：，条件③：，……………5分因为,,……………6分所以，……………7分在△中由正弦定理可得，即，解得，……………9分，……………11分因为，所以，……………13分所以.…………15分21.（本小题共15分）（=1\*ROMANI）因为，根据题意可得，，，，，所以，所以从开始，周期为3，所以；…4分（=2\*ROMANII）假设存在，使得中，设，所以，，，不妨设，则由，，，由可得，解得，即，以此类推，可得，，，这与，，是两两不相等的正整数矛盾，故假设不成立，所以不存在，使得中；………………9分（=3\*ROMANIII）设三个