2024北京北师大燕化附中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京北师大燕化附中高一（下）期中数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷自行保留，答题卡上交．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.2.向量，，若⊥，则（）A. B. C. D.3.如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为（）A. B.C. D.4.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.5.要得到函数的图象，只要把函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位6.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.1207.若非零向量满足，则必有（）A. B. C. D.8.在△ABC中，若，则△ABC为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9.已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（）A. B.C. D.10.如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（）A.B.若为线段的中点，则C.的最小值为D.的最大值比最小值大第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域为______．12.已知向量，，那么______.13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．14.记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则T的最大值为______.15.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列4个命题中①函数不是周期函数；②函数的值域是；③函数的图象关于对称；④方程只有一个实数根；其中全部正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知，与的夹角是.（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？17.已知，．（1）求的值；（2）求的值．18.设函数，.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.19.已知函数．（1）求的值；（2）已知．（ⅰ）求的最值及相应的值；（ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．20.如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.（1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；（2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.21.已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T？并说明理由;①；②.（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【分析】求出到原点的距离，根据三角函数定义即可求得答案.【详解】由题意角的终边过点，则,故，故选：C2.【答案】D【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：D3.【答案】A【分析】根据角终边相同的角的集合为即可得答案.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，故当时，角终边相同的角的集合可以表示为.故选：A【点睛】方法点睛：角终边相同的角的集合为4.【答案】A【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.【详解】对于A，为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，对于B，为非奇非偶函数，故不符合，对于C，为反比例函数，在和均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，对于D，在单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，故选：A5.【答案】D【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.【详解】，则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可.故选：D6.【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．故选：A7.【答案】B【分析】由可得，即可判断ACD选项；由于即可判断B选项【详解】因为，所以，因为，所以，故得不到，和，故ACD错误，因为，所以，故B正确，故选：B8.【答案】D【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状.【详解】由题意，，又，∴，即，，∴当时，；当时，，又，则；∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D9.【答案】D【分析】分讨论，求出的范围，根据在范围内建立不等式求解即可.【详解】当时，，由题意知，，即，当时，，由题意知，，即，的取值范围是，故选：D10.【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，因为，所以，设，则，则，，则，即，解得：或（舍去），则，，，A说法正确；若为线段的中点，则，所以，则，解得：，则，B说法正确；设，则，故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；，则，因为，则，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D说法正确.故选：C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】定义域满足.【详解】的定义域满足，即.故答案为：.12.【答案】【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：13.【答案】①.②.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则.不妨取，即满足题意.故答案为：.14.【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的最小值，从而得的最大值；【详解】因为，所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时，，所以的最大值为.故答案为：15.【答案】②④【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.【详解】函数的定义域为R，因为，所以为偶函数，当时，，则，当时，，当时，，所以函数的图象如下图所示由可知，在内，，当，Z时，，当，且，Z时，，当或，Z时，，因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示：由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；所以函数的值域是，故选项②正确；由，，所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；对于方程，当时，方程有一个实数根，当时，，此时，方程没有实数根，当时，，此时，方程没有实数根，所以方程只有一个实数根，故④正确.故答案为：②④【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【小问1详解】∵，与的夹角是，∴，；【小问2详解】由题意，，即，解得，即时，.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.【小问1详解】因为，，所以，所以；【小问2详解】因为，，所以，所以.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据周期公式计算即得；（2）将看成整体，利用正弦函数的递增区间列出不等式组，求解即得.【小问1详解】由可得，故函数的最小正周期为；【小问2详解】由，得，所以函数的单调递增区间是.19.【答案】（1）（2）（ⅰ），最大值，，最小值0；（ⅱ）【分析】（1）将直接代入表达式即可求解；（2）利用二倍角公式化简得，（ⅰ）由，则，利用整体代换法从而可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可得，从而可求解.【小问1详解】.【小问2详解】，（ⅰ）由，得，所以，所以，当时，即时，，当时，即时，，（ⅱ）由（ⅰ）结论可得，所以，所以，即的取值范围是．20.【答案】（1）（2）转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【小问1详解】依题意知，，，，由，解得，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，即时点距离地面的高度为；【小问2详解】令，即，解得，即，又，所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.21.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【分析】（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论.（Ⅱ）由函数具有性质T，转化为存在正数，使得，都有恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.（Ⅲ）由题意得出存在正数，使得，恒成立，即，以此类推可得.利用函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）函数不具有性质T，函数具有性质T.理由如下：①假设函数具有性质T，即存在正数，使得恒成立.则对恒成立.所以此方程组无解，与存在正数矛盾.所以函数不具有性质T.②取，则，即对恒成立.所以函数具有性质T.（Ⅱ）因为函数具有性质T，所以存在正数，使得，都有恒成立.令，则对恒成立.若，取，则，矛盾；若，取，则，即，矛盾；所以.则当且仅当时，对恒成立.因为，所以.所以当时，函数具有性质T.所以的最小值是.（Ⅲ）因为函数具有性质T，所以存在正数，使得，恒成立.所以，以此类