第06讲 向量法求空间角（含探索性问题）精讲（解析版）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）

目录

第一部分：知识点必背................................................1

第二部分：高考真题回归..............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................7

高频考点一：异面直线所成的角.....................................7

角度1：求异面直线所成角.......................................7

角度2：根据异面直线所成角求参数..............................13

高频考点二：直线与平面所成的角..................................24

角度1：求直线与平面所成角（定值问题）........................24

角度2：求直线与平面所成角（最值，范围问题）..................30

角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）...................38

高频考点三：二面角..............................................60

角度1：求平面与平面所成角（定值问题）........................60

角度2：求平面与平面所成角（最值问题）........................69

角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）...................77

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第一部分：知识点必背

知识点一：异面直线所成角

设异面直线4和所成角为6,其方向向量分别为1，k则异面直线所成角向量求法:

„—U-V

①cos<u,v>=———

②cos，=|cos<u,v>\

知识点二：直线和平面所成角

设直线/的方向向量为Z，平面a的一个法向量为直线/与平面a所成的角为。，则①

一一a,n

cos<a.n>-―—―；

l«hI

②sin，=|cos<a,n>\-

知识点三：平面与平面所成角（二面角）

（1）如图①，AB,CD是二面角a-/的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=<五瓦丽〉.

（2）如图②③，后分别是二面角a-/-£的两个半平面见夕的法向量，则二面角的大小。满足:

nx-n2

©cos<n^n2>=

I«1ll«2I

②cos0=+cos<n2>

若二面角为锐二面角（取正）,贝!]cos£=|cosV弭,〃2>1;

若二面角为顿二面角（取负），贝h05夕=一|85<〃1，%>|；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

第二部分：高考真题回归

1.（2023・全国（新高考n卷）•统考高考真题）如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

NADB=ZADC=60°,E为BC的中点.

AF

(1)证明：BC±DA；

(2)点尸满足丽=方，求二面角。-48-尸的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

(2的

3

【详解】(1)连接/瓦。£,因为£为3c中点，DB=DC,所以DEL8C①，

因为。/ZADB=ZADC=60°,所以A/CD与△48。均为等边三角形,

:.AC=AB,从而NE_L3C②，由①②，AEClDE=E,u平面4DE,

所以，3cl平面4DE,而/Ou平面NDE,所以3C_LZX4.

(2)不妨设DA=DB=DC=2,■：BD1CD,BC=272,DE=AE=72.

AE2+DE2=4=AD2，AEA.DE,又；4E工BC,DEC\BC=E,u平面BCD/E_L平面3co.

以点E为原点，E。即，功所在直线分别为x,八z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设D(C,0,0),Z(0,0,V2),5(0,V2,0),£(0,0,0),

设平面Z)4B与平面NB尸的一个法向量分别为4=a，x，zj,%=(%,%,z?),

二面角D-N8-尸平面角为。，而48=(0,啦,-行)，

因为丽=刀=卜后,0,也)，所以尸卜后,0,后)，即有万;=卜0,0,0卜

,+A/2Z.=0-

L，取无1=1,所以"1=(1,1,1)；

_J2Z|=O

--\/2z,=0一

,取%=1，所以％=(0,1,1),

,=0

所以，|cose\=Pip=r=r-2r-=,Affijsin0=J1--=—.

同同<3x723V93

所以二面角尸的正弦值为包.

3

2.(2023•全国(新高考I卷)•统考高考真题)如图，在正四棱柱/BCD-45GA中，N8=2,44=4.点

/2,32«2，£)2分另4在棱^4,8旦<。］,")］上，AA2-\,BB2-DD2-2,CC2-3.

⑴证明：B2C2//A2D2.

(2)点尸在棱AS1上，当二面角P-4c2-3为150。时，求星P.

【答案】(1)证明见解析；

(2)1

【详解】(])以c为坐标原点，CD,CB,cq所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B式0,2,2),D式2,0,2),4(2,2,1),

“=(0,-2,1),AJ)2=(0,-2,1),

B2C^,//A2D2,

又82c2,43不在同一条直线上，

:.B2C2//A2D2.

(2)设夕(022)(0<2<4),

则而二(—2,—2,2),阻=(0,—2,3—2),D^(-2,O,1)，

设平面■?4G的法向量〃=(XJ,Z),

现=-2x-2y+2z=0

、［H-PQ=-2y+(3-A)z=O,

令z=2,得y=3-4,x=X-l,

n—(4—1,3—2,2),

(Q,

设平面A2C2D2的法向量加=ac),

m•AC=-2a-2b+2c=0

则—上??，

mD2C2=-2a+c=0

令。=1,得6=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

I/__In-m6G

1COS(n,m)\==ii=r=LI==|cosl50°|=-—,

\八n||m网4+(f+(3f112

化简可得，A2-42+3=0，

解得X=1或几=3,

.•.尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

3.(2022•天津•统考高考真题)直三棱柱ABC~431G中，AA{=ABAC^2,AA,1AB,AC工AB,D为

的中点，E为的中点，F为C。的中点.

(1)求证：〃平面/3C；

(2)求直线BE与平面CQD所成角的正弦值;

⑶求平面4CD与平面CCQ夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)t

(3)f

【详解】（1）证明：在直三棱柱ABC-44G中，AAtl平面,且NC，N8,则4。14£

以点4为坐标原点，"/、4鸟、4G所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则/（2,0,0）、3（2,2,0）、C（2,0,2）、4（0,0,0）、耳（0,2,0）、£（0,0,2）、。（0,1,0）、£（1,0,0）、尸卜

则丽

易知平面48c的一个法向量为帚=（1,0,0）,则而晶=0，故方_1_记，

斯（Z平面4BC,故EF〃平面48c.

（2）解：*=（2,0,0）,电=（0,1,-2）,丽=（1,2,0）,

设平面CG。的法向量为■=(%，九%)，则,袅一।二n

\uCXD=%一2马=0

—»EB,u4

取弘=2,可得£=(0,2,1),cos<^,W>=^™=-.

4

因此，直线BE与平面CC|D夹角的正弦值为

（3）解：京=（2,0,2）,1^=（0,1,0）,

设平面A.CD的法向量为3=（%,力，4），则黄=2%+产2=0,

、）[v-A1D=y2=0

——-u,v1Jl0

取％=1,可得v=（l,。,-1）,则c°s<“，>叶一无五=-记

因此，平面4。与平面CQ。夹角的余弦值为画.

10

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：异面直线所成的角

角度1:求异面直线所成角

典型例题

例题1.（2023•河南洛阳•洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-4BCD中，底面48CD

为正方形，且各棱长均相等，E是心的中点，则异面直线ZE与尸C所成角的余弦值为（）

A.5B."C.-D.y

6332

【答案】A

【详解】连接ZC与8。交于点。，连接尸。，

由题意得，AC1BD,且尸。工平面4BCD,

以。点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

可得N（"0,0）,£,外一也0,0）尸（）,0,也）,

贝I」次=「在乎与,小卜在o,甫,

I22J

设异面直线AE与尸。所成角为。,

^AE-PC

则cos0=|cos(^E,PC)|

I^IIPC!6

故选：A.

例题2.(2023•全国•模拟预测)如图，在直三棱柱48C-44。中，AA,=AC=AB=2,BC=2也，Q

为4月的中点，E为/。的中点，尸为8G的中点，则异面直线3E与NF所成角的余弦值为()

4^39RA/39rV3n

A・-----D.----L.----U,

39393

【答案】B

【详解】在直三棱柱/BC-44cl中N4=/C=/B=2,8c=2四，

所以/C2+Ag2=5c2,即/C_LA8,

又//1■1~平面/BC，NB,/Cu平面/8C,所以AAX±AB,

如图建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),5(2,0,0),G(0,2,2),0(1,0,2),“；,()“，尸(1,1,1),

所以#=(1,1,1),丽

/~7T,~^D\4F,EBy/39

所以8sMm=阿闽二方，

即异面直线BE与AF所成角的余弦值为叵.

39

故选：B

例题3.（2023•广东•统考模拟预测）已知正四棱锥P-/8CD的侧棱长为2,底面边长为几，点£在

射线尸。上，F,G分别是8C,尸。的中点，则异面直线ZE与/G所成角的余弦值的最大值为（）

AV6RV?rVTon2A/5

3455

【答案】C

【详解】如图，连接NC、BD交于O,连接尸O.

因为尸，G分别是2C,PC的中点，所以FG/IPB,

则AE与FG所成的角即是NE与PB所成的角，设4E与PB所成的角为6.

由题意知，OA,OB,。尸两两互相垂直，

分别以ON，OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则尸（0,0,1）,。（0,_后0）,5（0,73.0）,/（百,0,0）,

由法=力防得网0,一6九1一河（八0），

所以冠=卜凤⑨1,1_孙丽=（0,后-1）,

AEPB|22+1|

所以COS。=

阿H丽|2亚以2一;1+2

4万+42+1-3(22+1)(22-3)

令〃彳）=,则/'(")=

2A2-2+2

a

当0＜几＜：时，r（2）＞o,/'（彳）单调递增，

a

当力〉;时，/'（4＜0,/P）单调递减，

所以当4=1时，/（彳）取得最大值，此时cos。也取得最大值乎.

故选：C.

例题4.(2023•江西鹰潭•贵溪市实验中学校考模拟预测)如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面4BC。是

菱形，平面4BCD,ZBAD=12Q°,PA=AB,点M是8C的中点，点N是PD上不与端点重合的动

点，则异面直线与CN所成角的正切值最小为()

A.—B."C.—D."

2369

【答案】C

【详解】如图所示，连接/C.由题得/4BC=60°,所以“3C是等边三角形，所以//_L3C.

因为P/工平面/BCD,所以尸/，/民尸以A为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标

系.设尸/=/8=2.

则〃(省,0,0),/(0,0,0),.•.亚=(60,0).

由题得C(6,1,0),0(0,2,0),;.E=(-81,0),

0(0,2,0),P(0,0,2),.-.DP=(0,-2,2).

设丽=2丽=2(0,-2,2)=(0,-22,22).(0<A<l)

所以函=函+丽=(=/^,1-2九22).

设异面直线AM与CN所成角为。,

|4M-CN|3

则cos。=

\AM^CN\省.j3+(l-2Zy+4万2V222-A+l-

当彳=，时，cos。最大为，正，此时。最小，tan。最小值为逅

476

故选：C

AZ

例题5.(2023•辽宁丹东•统考二模)如图，平行六面体48co-4用G。的所有棱长都相等，平面，

平面48CD,二面角ND-C的大小为120。，E为棱G2的中点.

(2)点E在棱CG上，AE//平面BDF,求直线ZE与DE所成角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【详解】(1)(1)因为平面CD3G，平面43cD,且两平面交线为DC,ADLOC,ADu平面/8。,

所以平面CD。©,所以/DQC是二面角。一/。一C的平面角，故

ZDtDC=120,

连接。E,£为棱GA的中点，则。£，G2，CQ"/CZ),从而DEICD.

又/£>_LCD,DEcAD=D,。及4Du平面/££),所以CD_L平面NED,u平面/项)，因此CO_L4E.

(2)解法1：设/B=2,则。E==6所以CE=AE=dAD?+DE。=V7•

连/C交8。于点。，连接CE交。尸于点G,连OG.因为/E〃平面ADF,4Eu平面NEC,平面/EC。平

面BDF=OG

所以/E〃OG,因为。为/C中点，

所以G为CE中点，故OG=」/E=O.且直线0G与。尸所成角等于直线/E与。歹所成角.

22

所以cos/OGD=3

7

3

因此直线AE与DF所成角的余弦值为1.

解法2；设/8=2,贝/CG所以C£=<£=,如+。炉="

取。C中点为G,连接EG交。厂于点“，则EG=DD[=2.

连接/G交于点/,连印，因为/E〃平面8D尸，NEu平面NGE,平面平面汨，所以

AE//IH.

HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角.

正方形NBCD中，GI=-AG,—,所以G〃=』EG,故HI，AE=五.

333333

12

在△OHG中，GH=-EG=~,GD=1,NEGD=60°,

33

由余弦定理。H=

FT-在皿利

3

因此直线AE与DF所成角的余弦值为1.

解法3:由（1）知平面4BC。，以。为坐标原点，方为x轴正方向，|法|为2个单位长，建立如图所

示的空间直角坐标系。-孙2.

由(1)知DE=M，得/(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,6),G(O,l,g).

则&1=(0,-1,石)，祝=(0,2,0),ZE=(-2,0,73),丽=(2,2,0).

由而=/西(OVfVl),^DF=DC+CF=(0,2-t,y/3t).

因为/£//平面3。尸，所以存在唯一的2,MeR,

使得4E-ADB+jLiDF—A(2,2,0)+/z(0,2-t,)=(2A,2Z+2/7—Z〃,~^jut),

2

故22=—2,22+2/z—z/z=0,^4Z/=6,解得，=§,

AE-DF3

所以直线ZE与。尸所成角的余弦值为|cos尸|=

ME尸|7

角度2：根据异面直线所成角求参数

典型例题

例题1.(2023•云南保山•统考二模)已知正方体/3。0-44。12，。为上底面44GA所在平面内的

动点，当直线。。与的所成角为45°时，点。的轨迹为()

A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆

【答案】C

【详解】以点。为原点，DA，DC，西为x,修Z的正方向，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为L则0(0,0,0),4(1,0,1),设0(x,y,l),

可得加=(阳%1),西=(1,0,1),

因为直线。。与的所成角为45。，

EACOD。•DA[X+1J2

贝1]cos45—।—uI—►!—=万-,化简可得/=2x,

\DQI\DA]Jx?+y2+1xsf2

所以点Q的轨迹为抛物线.

故选：c.

例题2.（2023春•高二课时练习）如图，在四棱锥尸-48C。中，底面/8C。，底面为矩形,

尸。=DC=3,4D=4,M是线段力的中点，N是线段尸C上一点（不与RC两点重合），且丽=2斤.若

直线,与皿所成角的余弦值是等'则人（）

【答案】B

【详解】因为PD_L平面/BCD,DCu平面/BCD,4Du平面/BCD,

所以尸。_LOC,PDLAD.

因为底面48。为矩形，所以。CL4D.

所以£）尸，DC,D4两两互相垂直.

以。为原点，DA、DC、。产所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

则。(0,0,0),8(4,3,0),尸(0,0,3),N(4,0,0),C(0,3,0),“卜,。弓

所以PC=(0,3,-3),2。=(-4,-3,0).

因为丽=APC=(0,32,-32)(Ae(0,1)),

所以N（0,32,3-32）,贝I]荻=（一2,3/1,：—3/1

设直线及W与2。所成角为0,则

-2,32,1-32l-(-4,-3,0)2

麻.丽IL8U-1442+64

COS0=5?s

\MN\-\BD\1822-9A+—,

4

1l8U2-1442+64_2681万-144彳+64_100

因/iy一寸，则"^一五

1719

化简得99%+21242-719=0,即(32-1)(332+719)=0,解得彳=W或2=一薪(舍去).

故选：B

例题3.（2023春•高二课时练习）如图，在正三棱柱NBC-44G中，4B=AA[=2.E、尸分别是3C、

4。的中点.设。是线段与G上的（包括两个端点）动点，当直线8D与EF所成角的余弦值为巫，则线

段8。的长为.

【答案】2&

【详解】解：如图以£为坐标原点建立空间直角坐标系:

（/71、

则E（0,0,0）,尸^,-,2,8（0,-1,0）,设。（0/,2）（-”区1）,

I22J

_,（八\）—►

则或=5_,于2,AD=（O/+l,2）,设直线与庭所成角为6

\7

Z+1）

---►►------F4/—

所以加"EFBD_2_V10,即23f2+14"37=0,

\EF\\BD\V5-7（f+l）2+44

解得f=l或，=-五(舍去)，所以=J。?+2。+2?=2板,

故答案为：2vl.

例题4.(2023春•上海普陀•高三曹杨二中校考阶段练习)已知正方体/BCD-HB'C'D'的棱长为1.

(1)△B4C'的平面截正方体为两个部分，求体积大的部分几何体的体积；

(2)动点£,尸在线段AD,DC,1.,ADE=D'F=a,M为4B的中点，异面直线E尸与DM所成的角的

余弦值为包，求实数”的值.

10

【答案】⑴之;

6

⑵。邛

【详解】（1）因为正方体力BCD-HB'C'D的棱长为1,

所以正方体的体积为/=1,^B-A'B'C=:义葭1*1=）,

326

所以的平面截正方体为两个部分，体积大的部分几何体的体积为

5

V—VB_A'BC=1----

66

（2）如图，以。为坐标原点，0/为x轴，。。为歹轴，。。为z轴建立如图坐标系,

则D（0,0,0）,E（a,0,0）,尸（0,M:0

所以跖,DM=H,pOj,

解得a=

考点一练透核心考点

1.（2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥P-48CD中，底面为正方形，APAD

是正三角形，AB=2,平面平面/BCD,则尸C与8。所成角的余弦值为（）

【答案】A

【详解】取的中点O,3C的中点E,连接尸。、OE,

因为△尸4D是正三角形，所以尸O_L4D,平面尸4D_L平面48cD,

平面尸40c平面4BCD=/Z>,POu平面尸40,

所以尸07.平面/BCD,

如图建立空间直角坐标系，则P（O,O,G）,C（2,l,0）,D（0,1,0）,5（2,-1,0）,

所以无=（2,1,-75）,丽=（2,-2,0）,

/—►一-\PC-DB11

所以cos（PC,=-,所以PC与BD所成角的余弦值为:.

2.（2023•河南郑州•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱48C-44G中，底面边长和侧

棱长均相等，〃Z4=NCN4=60P,则异面直线/4与8G所成角的余弦值为（）

DT

【答案】A

【详解】设方=",AS=a,AC=b,棱长均为1,

由题意，(2-6=1x1xcos60°=—,b'C=—,a-c=-

2229

,/AB、=a+c9BC]=b-a+c,

A.By,BC1—(Q+c)*(b-Q+C)—~-1~h^——+1=1,

2一一一2

+2a-c+c=J+1+1=或

=Vi+1+1-1+1-1=£,

V6

6

故选：A.

3.（2023・全国•高三专题练习）已知矩形Z5CQ,CD=44D=4G，过作平面使得平面

JT

点尸在a内，且4P与C。所成的角为:，则点尸的轨迹为,3P长度的最小值为

如图，以。为原点，。。所在直线为无轴，平面a内过。且与CD垂直的直线为了轴，ZX4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则由己知，£＞（0,0,0）,4（0,0,石），C（4V3,0,0）,

:点P在平面a内，.•.设尸（xj,0）,则后=卜,外一。），DC=（473,0,0）,

..•直线AP与直线CD所成的角为三,

两边同时平方，化简得尸点轨迹方程为/-亡=1,

3

...点尸的轨迹为双曲线.

8y^x+51+y~

■尸点轨迹方程为、一《=1,）=3*2-3,且工«-00,-1]31，+°°），

网=&-8岳+51+34-3=V4X2-8/3X+481qxd号+3（,

，当x=6时，忸尸|的最小值为忸儿m=A=6.

故答案为：双曲线，6

4.(2023春•江苏常州•高二校联考阶段练习)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面

互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为d,则cos6

的最大值为一

【答案、】|2

―►11——►1

【详解】建立坐标系如图所示.设/5=1,则4尸=(1，5,0),颐5,0,0).设刊(0/,1)(0«3^1),则£可=(-5/,1),

由于异面直线所成角的范围为(og],

当y=0时，取得最大值.

5.(2023•浙江宁波•镇海中学校考模拟预测)在直角梯形/BCD中，CDLAD,AB=BC=2CD=2,AD=5

jr

现将A/C。沿着对角线NC折起，使点。到达点P位置，此时二面角尸-/C-D为

⑴求异面直线尸/,8c所成角的余弦值；

(2)求点/到平面P3C的距离.

【答案】⑴述

8

(2)酒

7

【详解】(1)过点。做。OL/C交/C于。，连接OP,

以。点为原点，以。/为x轴，在平面4BCD内，过点。垂直于ZC的线为y轴,

过点。垂直于平面/BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为DO_L/C,所以尸O_L/C,

jr

所以N。。尸为二面角尸一ZC-D的平面角.所以/DOP=§,

又因为OD=O尸=火，所以点尸0,-V3[

2I7力

又因为c",0,0),/||，0,0)，由等边三角形”8C可得唱,❷o

所以於=［一|,一字

,5C=(-1-^,0),

33

—+—

APBC3百

所以COS(力尸,5。)=24

AP\\BC\3—.28

41616

所以4尸与3C夹角的余弦值为空.

8

(1百3、

(2)PC=,sc=(-l-V3,o),

(244

7

设A=(x,y,z)为平面P8C的一个法向量,

1G3

万・尸C=(x,y,z)j、L+与」=0

则5'~T~4I244

令x=G，贝*Jy=_1,2=_VJ

AP-n\2G2庖

所以点/到平面PBC的距离为d=

6.(2023秋・湖南岳阳•高二统考期末)如图，在三棱锥尸-N3C中，尸/，底面/BC,NBAC=90,点D，

E,N分别为棱P/,PC,BC的中点，M是线段的中点，PA=AC=4,AB=2.

⑴求证：MN〃平面BDE.

⑵已知点〃在棱尸4上，且直线与直线班所成角的余弦值为立，求线段4〃的长.

9

【答案】⑴证明见解析

⑵；或2

48为X轴，/C为y轴，AP为Z轴，建立空间直角坐标系,

则"(0,0,1),5(2,0,0),C(0,4,0),Ml,2,0),。(0,0,2),£(0,2,2),

疝=(1,2,-1),55=(2,0,-2),瓦=(0,2,0),

设平面瓦比的法向量万=(xJ,z),

n-DB=2x-2z=0

则一取x=l,得力=(l,0,D,

n'DE=2y=0

■MN-n=0>河/平面也乃，，皿//平面8£>£.

(2)设且fe[0,4],则砥0,0/),W=(-l,-2,0,而=(-2,2,2),

।—NHBE

则cos(的,困卜JW，整理得4d-%+2=0

1\71\NH\-\BE\V5+f2-V129

解得"J或"2,所以线段4/的长为1或2.

44

7.(2023秋•福建福州•高二校联考期末)已知直三棱柱NBC/K/中，侧面44/用为正方形，AB=BC=2,

且481BC,E,尸分别为/C和CQ的中点，。为棱4月上的点.

(1)证明：BFIDE；

(2)在棱出5上是否存在一点使得异面直线儿不与NC所成的角为30。？若存在，指出"的位置；若不

存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在；〃是42/中点

【详解】(1)证明：由直三棱柱48C-//2/C/可得，平面48C,且4BJ.BC,故以3为原点，

BA,BC,所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则2(0,0,0),尸(0,2,1),£(1,1,0),4(2,0,0),C(0,2,0),设=且me[0,2],

则。(加,0,2),AfiF=(0,2,1),DE=(l-m,l,-2),由於.瓦=2-2=0，BF1DE

(2)可设4Mi,且〃e[0,2],则M(〃,0⑵,MF=(-n,2,-V),AC=(-2,2,0),

由异面直线九田与NC所成的角为30。可得cos(加，/)曰//"+4=g,

'/+5x2722

整理得〃2一8〃+7=0,即〃=1或〃=7(舍)，

所以存在点〃是48/中点.

高频考点二：直线与平面所成的角

角度1：求直线与平面所成角（定值问题）

典型例题

例题1.（2023•河北石家庄•统考三模）如图，在。08中，ZAOB=^,OB=^,OA=1,C为03的中

点，将^AOB绕OB所在的直线逆时针旋转至ABOD形成如图所示的几何体r,NAOD=­.

（1）求几何体「的体积；

（2）求直线AB与平面ACD所成角的正弦值.

【答案】（1）3兀

9

【详解】（1）根据圆锥的定义易知，几何体「为圆锥的一部分，且03为圆锥的高,

所以忆=gxS扇照8X°B=gx；xgxl2xg=噂7i;

（2）过。点作分别以O4（W,OB所在的直线为x,%z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，贝！J：

Z八

1n

-------jV

227

则就

设平面/CD的法向量为〃=(x,y,z),

_x+-_0

n-AC=O2

则—，所以

n-AD=O3拒n

122,

令V=3,得〃=（省,3,2b

设直线AB与平面ACD所成角为3,

I一►I\AB-n\百百

则sin6=cos/5,司==S=

1।网同2.48

所以直线与平面/CD所成角正弦值为也.

8

例题2.(2023•宁夏银川•银川一中校考三模)如图所示，在四棱锥9-/8c。中,P/_L平面45c

AD//BC,AB1BC,^.AB=AP=BC=1,40=2.

(1)求证：。。，平面以。；

(2)若E为PC的中点，求PD与平面所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)巫

10

【详解】（1）作C尸，/D,垂足为尸，易证，四边形/3CF为正方形.

所以尸=。尸=1，CD^ylCF2+DF2=也.又4C=个AB〜BC?=拒,

因为NC2+C02=32,所以4CJ.CD.

因为尸/_L平面4BCD,CDu平面/BCD,所以尸/_LCD.

又4CcP4=4,/Cu平面融C,P/u平面上4C,所以CD_L平面上4c.

（2）以点A为坐标原点，以尸所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则/(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,l,0),£>(0,2,0),石匕

则而=(0,2,0),PD=(0,2-1),荏=(；,；,；).

设平面AED的法向量为〃=(x,y,z),

r—►fl11

।n-AE=0-x+—y-\——z=0

由〈_,得1222,

〔展30[y=0

令z=l,可得平面/ED的一个法向量为3=(-1,0,1).

设尸。与平面/ED所成角为。，

则sin0=cos(n,PD)\=卜马=」-厂=—.

।\A刚尸。-VJ2xV510

例题3.（2023•山东聊城•统考三模）如图，三棱台ABC-DE尸中，AB=IDE,M是E尸的中点，点N

在线段48上，AB=4AN,平面「九Wc平面NDbC=/.

FME

（1）证明：MN〃l；

（2）若平面CBE尸，平面4BC,AC1AB,4C=CF=FE=EB,求直线/B与平面。血W所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2）*

【详解】（1）证明：取ED的中点G,连接GW,AG,

因为M是E厅的中点，所以GM〃OE,GM=-DE,

2

因为三棱台NBC-DE尸中，DE//AB,DE=-AB,AB=4AN,

2

所以GM〃/N,GM=AN,即四边形㈤WG为平行四边形，所以跖V〃G/,

因为平面加用C,G/u平面/DEC,所以MV//平面/DRC,

因为MMu平面DMN,平面。儿Wc平面4D尸C=/,所以MN〃I.

（2）因为平面CBEF1平面ABC,所以过点尸作尸0，CB于点O,则F0±平面48C,又由题意知C3=2EE,

AC=CF=FE=EB,所以CO='。尸=,

22

因为“3C中，AC=-CB,ACLAB,所以//CB=60。，

2

3

连接ZO,在AACO中由余弦定理得0/2=CO2+AC2-2CO-ACCOS600=-AC2,

4

所以CO2+OT=NC?,得CU_LCO.

所以以。为原点，以。4,OB,。尸所在直线分别为x轴，V轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，

令/C=2,则0(0,0,0),4(省,0,0),8(0,3,0),C(0,-l,0),F(0,0诉,M(0,l,V3),3=(73,1,0),

A8=(-V3,3,0),OD=OF+^CA=

DN=Dd+OA+l-AB=UiL^

设平面DMN的法向量为为=(x,y,z),

令x=2,贝l]y=2百，z=l,所以平面。MV的一个法向量为=(2,2百』),

设直线A8与平面DMN所成的角为6,

„„.八\AB-n\4732V17

贝ljsm6=---L

\AB\-\n\73+9x74+12+117

所以直线与平面DMN所成角的正弦值为其立.

17

例题4.(2023•安徽亳州•蒙城第一中学校联考模拟预测)已知棱长为2的正方体48CD-44G。中，£,

厂分别是棱5C,CG的中点.

(1)求多面体CUDR的体积;

(2)求直线5。和平面AEFD,所成角的正弦值.

【答案】⑴(7

(2也

9

【详解】⑴：.EFUBG，BCJ/ADX,：.EFHADX,：.A,E,F,□四点共面,

易知多面体CE兄是一个三棱台,