(两个重要极限)教案

(两个重要极限)教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解两个重要极限的概念、证明过程及几何意义。熟练掌握两个重要极限的形式，并能运用它们求解相关函数的极限。2.过程与方法目标通过对两个重要极限的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。引导学生运用极限的思想方法解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生体会数学的严谨性和科学性，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生的学习自信心。二、教学重难点1.教学重点两个重要极限的概念、形式及应用。利用两个重要极限求解函数的极限。2.教学难点两个重要极限的证明思路及推导过程。如何引导学生正确运用两个重要极限解决复杂的极限问题。三、教学方法1.讲授法：讲解两个重要极限的概念、证明过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.演示法：通过多媒体演示两个重要极限的几何意义和推导过程，帮助学生直观地理解抽象的概念。3.讨论法：组织学生讨论两个重要极限的应用实例，激发学生的思维，培养学生的合作学习能力和创新思维。4.练习法：布置适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）通过一个有趣的实际问题引入：假设你有一张足够大的纸，厚度为0.1毫米，将它对折30次后，你能想象它有多厚吗？让学生思考并尝试回答，然后引导学生发现这与指数增长有关，从而引出本节课要学习的两个重要极限，激发学生的学习兴趣和好奇心。（二）讲解新课（30分钟）1.重要极限一：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)概念引入利用多媒体展示单位圆，设圆心角\(\angleAOB=x\)（弧度），\(0<x<\frac{\pi}{2}\)。过点\(A\)作圆的切线与\(OB\)的延长线相交于点\(C\)，过点\(B\)作\(BD\perpOA\)，垂足为\(D\)。引导学生观察：\(\sinx=BD\)，\(x=\overset{\frown}{AB}\)，\(\tanx=AC\)。从图形中可以看出\(S_{\triangleAOB}<S_{扇形AOB}<S_{\triangleAOC}\)，即\(\frac{1}{2}\sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tanx\)。同除以\(\frac{1}{2}\sinx\)，得到\(1<\frac{x}{\sinx}<\frac{1}{\cosx}\)，即\(\cosx<\frac{\sinx}{x}<1\)。当\(x\to0\)时，\(\cosx\to1\)，根据夹逼准则可得\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。几何意义通过动画演示，让学生直观感受当\(x\)趋近于\(0\)时，\(\frac{\sinx}{x}\)的变化趋势，理解其几何意义：在单位圆中，当圆心角趋近于\(0\)时，弦长与弧长的比趋近于\(1\)。应用举例例1：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)解：令\(t=3x\)，则当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{\frac{t}{3}}=3\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=3\times1=3\)例2：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)解：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{\cosx}=1\times1=1\)2.重要极限二：\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)概念引入首先给出一个数列\(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)，计算\(n\)取不同值时\(a_n\)的值：当\(n=1\)时，\(a_1=(1+1)^1=2\)；当\(n=2\)时，\(a_2=(1+\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)；当\(n=3\)时，\(a_3=(1+\frac{1}{3})^3=(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}\approx2.37\)；......通过计算可以发现，随着\(n\)的增大，\(a_n\)的值逐渐增大，但增加的速度越来越慢，并且趋近于一个常数\(e\)（\(e\approx2.71828\)）。然后利用二项式定理展开\((1+\frac{1}{n})^n\)：\((1+\frac{1}{n})^n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n1)}{2!}\cdot(\frac{1}{n})^2+\frac{n(n1)(n2)}{3!}\cdot(\frac{1}{n})^3+\cdots+(\frac{1}{n})^n\)\(=1+1+\frac{1}{2!}(1\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})\cdots(1\frac{n1}{n})\)当\(n\to\infty\)时，\((1\frac{k}{n})\to1\)（\(k=1,2,\cdots,n1\)），所以\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=e\)。推广形式\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)应用举例例3：求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x\)解：令\(t=\frac{x}{2}\)，则当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{t\to\infty}[(1+\frac{1}{t})^{t}]^2=e^2\)例4：求\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}\)解：令\(t=3x\)，则当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t\to0}[(1+t)^{\frac{1}{t}}]^{3}=e^{3}\)（三）课堂练习（15分钟）1.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}\)2.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan4x}{3x}\)3.求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{2x}\)4.求\(\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\)让学生在练习本上完成，然后请几位同学上台展示解题过程，教师进行点评和讲解，及时纠正学生出现的错误。（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾两个重要极限的概念、形式、证明思路和几何意义。2.总结利用两个重要极限求解函数极限的方法和技巧。3.强调在运用两个重要极限时需要注意的问题，如变量代换、等价变形等。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中与两个重要极限相关的题目。2.拓展作业：思考两个重要极限在其他学科或实际生活中的应用，并写一篇简短的报告。五、教学反思通过本节课的教学，学生对两个重要极限