《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第4讲

立体几何第八章第4讲直线、平面垂直的判定与性质高考要求考情分析1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题常常融合平行与垂直等多种关系一起考查，既有选择题、又有解答题，考查逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的______直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理：两条相交直线a，b⊂α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

平行a⊥α

b⊥α

2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)判定定理和性质定理：垂线l⊂β

l⊥α

交线α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

[特别提醒]1．两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．1．下列命题中错误的是(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D

2．(2019年安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(

)A．α⊥β且m⊂α

B．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥β

D．m⊥n且α∥β【答案】C

【解析】由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选题)(2019年惠州模拟改编)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系正确的是(

)A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB

D．PC⊥BC【答案】ABD

【解析】由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B，D正确；无法判断AC⊥PB，C不正确．故选ABD．4．(一题两空)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．【答案】(1)外(2)垂5．(一题两空)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．【答案】AB，BC，AC

AB

【解析】因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC.又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×重难突破能力提升2直线与平面垂直的判定与性质所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．平面与平面垂直的判定与性质【规律方法】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．平行垂直中探索性问题

如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)求证：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图1所示．因为四边形ABCD是矩形，所以O为AC的中点．又F为EC的中点，所以OF为△ACE的中位线，所以OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF.

(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，如图2所示．因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB.又AB∥CD，所以PH∥CD，所以P，H，C，D四点共面．因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE.因为BC＝CE，H为BE的中点，所以CH⊥BE.又CD∩CH＝C，所以BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC，所以BE⊥PM，即PM⊥BE.【规律方法】(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察并尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题时，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年北碚区校级模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD

的底面ABCD为矩形，PA⊥PD，其中M，N分别为PB，PC中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，求证：PA⊥平面PCD.【考查角度】三角形中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直与面面垂直的判定定理性质定理．【考查目的】考查数形结合方法、推理能力与计算能力，体现直观想象和逻辑推理的核心素养．【思路导引】(1)利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可得出．(2)利用线面垂直与面面垂直的判定定理性质定理即可得出结论．【解析】证明：(1)因为M，N分别是PB，PC的中点，所以MN∥BC.又因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以MN∥AD，又MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD，(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD.又因为平面PAD⊥底面ABCD且平面PAD∩底面ABCD＝AD.且CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥CD.又因为PA⊥PD，PD、CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD.【拓展延伸】1．三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2．三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法：①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；④利用面面垂直的性质．(3)判定面面垂直的方法：①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.【真题链接】

【解析】(1)证明：因为在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，所以AB⊥AC.又AB⊥DA，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ADC.因为AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.3．(2019年北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】(1)证明：因为四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，所以BD⊥PA，BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，所以AB⊥AE，PA⊥AE.因为PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE