《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第3讲

立体几何第八章第3讲直线、平面平行的判定与性质高考要求考情分析1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题直线与平面平行，常在解答题第1问中考查，或者作为选择题的一个选项，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．直线与平面平行的判定定理和性质定理此平面内l∥a

a⊂α

l⊄α

交线l∥α

l⊂β

α∩β＝b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理相交直线a∥β

b∥β

a∩b＝P

a⊂α，b⊂α

相交交线α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

[特别提醒]平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.1．下列命题中，正确的是(

)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α【答案】D2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β

”是“α∥β

”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B

3．(2019年成都月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(

)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线【答案】A

【解析】当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线．故选A．4．(2019年衡水开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．【答案】平行四边形

【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．【答案】平行1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2与线、面平行相关命题的判定

(1)(2019年开封模拟)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(

)A．若a⊥c，b⊥c，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD．若α∥β，a⊂α，则a∥β

(2)(2019年聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)【答案】(1)D

(2)B【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．(2)在B中，如图，连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN.因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF.因为AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF.【规律方法】(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．【跟踪训练】1．(1)(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个必要条件是(

)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【解析】(1)对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选ABC．对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的．对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．直线与平面平行的判定与性质

如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.【证明】方法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA.又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD.又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.【规律方法】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的定义(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO⊂平面PBD，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.又EF⊂平面ABCD，从而GK⊥EF.面面平行的判定与性质

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【规律方法】(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．(2)面面平行条件的应用①两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．特别提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．【跟踪训练】3．(2019年南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年开封模拟)下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是(

)A．α内有无穷多条直线都与β平行B．α与β同时平行于同一条直线C．α与β同时要垂直于同一条直线D．α与β同时垂直于同一个平面【考查角度】平面与平面平行．【考查目的】考查学生的空间想象能力，体现对直观想象的核心素养的把握．【思路导引】利用面面平行的判定直接判断即可．【解析】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选C．【答案】C【拓展延伸】1．三种平行关系间的转化2．证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外，二是直线b在已知平面内，三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅰ)如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中