一元二次方程根与系数的关系（省级赛课公开课一等奖）课件初中九年级数学人教版上册

一元二次方程根与系数的关系解一元二次方程学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程.韦达，1540

年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2导入新课创设情景格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在?1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？引入新课

同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？

（1）x2-2x+1=0（2）x2+3x-10=0（3）x2+5x+4=0填表，观察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②

x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.

根与系数的关系知识点1,1.212,-5.-3-10-1,-4.-54如果关于x的方程的两根是x1

,x2

,则:如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q.-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程两根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.将二次项系数化为1

对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一样的规律吗？如何求出一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根之积、两根之和？思考探究

有实数根的前提是什么呢？Δ=b2-4ac≥0一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2.那么x1+x2=x1x2=（韦达定理）【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.常数项一次项系数二次项系数注意系数符号.学生活动：请同学用求根公式证明.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，此时x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究结论如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为

x1，x2，那么.注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.一元二次方程的根与系数的关系人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”．探究结论例不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，

x2.那么x1+x2=–(–6)=6.

x1x2=-15．先化为一般式定理应用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，

x2.那么x1+x2=，

x1x2=．例利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么.x1+x2=-7,x1x2=6.一元二次方程的根与系数的关系的应用考点（2）2x2-3x-2=0.解：这里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0

∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是

x1,x2,那么.

x1+x2=,x1x2=-1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化为：二次项不是1，可以先把它化为1.例已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一个根是

，k=－7.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围考点想一想，还有没有别的做法？已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1●2＝3k.

即2x1

＝－6.∴x1

＝－3.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.例不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：

利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和考点∴（1）x1+x2=

.(2)x1·x2=

.(3)

.

(4)

.411214设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

例设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0.

即-8k+4≥0.∴

由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4.

解得

k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.根与系数关系的综合题目考点

归纳总结

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2

=解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.∴（）2-4×

=1.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.达标检测利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

（1）x(3x-1)-1=0；（2）(2x+5)(x+1)=x+7.解：（1）3x2-x-1=0.x1+x2=，x1x2=.（2）x2+3x-1=0.x1+x2=-3，x1x2=-1.2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.解：（1）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（2）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.△=0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（4）x2-4x-8=0△>0x1+x2=4，x1x2=-8.x1=x2=（3）3x2-x+1=03.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根

及k

的值.x1+x2=x1x2=.