直接开平方法和因式分解法课件华东师大版数学九年级上册

22.2.1直接开平方法和因式分解法学习目标1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程（重点）2.灵活应用因式分解法解一元二次方程（重点）3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用（难点）新课导入试一试：解下列方程(1)

x2

=4(2)x2-1=0.你是怎么解这两个方程的？新课学习(1)x2=4对于这个方程，有这样的解法：方程x2=4意味着x是4的平方根，所以x=±即

x=±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.新课学习(2)x2-1=0对于这个方程，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0，必有

x-1=0或x+1=0.分别解这两个一元一次方程，得x1=1，x2=-1.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.新课学习思考一下：（1）方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？可以，应将方程化成x2-4=0的形式.（2）方程x2-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？可以，应将方程化成x2=1的形式.新课学习直接开平方法的三种情况一般的，对于可化为x2=p的方程，

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根

x1

=x2

=(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根.新课学习直接开平方法三步骤1.变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；2.开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；3.求解：解一元一次方程，得出方程的根．新课学习做一做：试用两种方法解方程：

x2-900=0.第一种方法：直接开平方法：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30.即x1=30，x2=-30.第一种方法：因式分解法：方程左边分解因式，得(x+30)(x-30)=0所以x-30=0或x+30=0.即x1=30，x2=-30.新课学习例1：解下列方程（1）x2-2=0；

（2）16x2-25=0.（1）x2-2=0

移项，得x2=2.直接开平方，得即（2）16x2-25=0.移项，得16x2=25.方程方程两边都除以16，得直接开平方，得即新课学习例2：解下列方程（1）3x2+2x=0；（2）x2=3x.（1）3x2+2x=0方程左边分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0得x1=0，x2=（2）x2=3x移项，得x2-3x=0.方程左边分解因式，得x(x-3)=0所以x=0或x-3=0得

x1=0，x2=3.新课学习因式分解法的基本步骤一移——方程的右边=0；二分——方程的左边因式分解；三化——方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程两个解.简记口诀：右化零左分解

两方程各求解新课学习例3：解下列方程：（1）(x+1)2-4=0；（2）12(2-x)2-9=0.

分析：两个方程都可以通过简单的变形，化为（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）（1）(x+1)2-4=0原方程可以变形为(x+1)2=4.直接开平方，得

x+1=±2.所以

x1=1，x2=-3.新课学习例3：解下列方程：（1）(x+1)2-4=0；（2）12(2-x)2-9=0.原方程可以变形为直接开平方，得所以

（2）12(2-x)2-9=0(x-2)2=新课学习思考一下：思考下面的问题小张和小林一起解方程

x(3x+2)-6(3x+2)=0.小张将方程左边分解因式，得(3x+2)(x-6)=0所以3x+2=0或x-6=0.得，x2=6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x+2)=6(3x+2)新课学习方程两边都除以(3x+2)，得x=6.小林说：我们的方法多么简单，可另一个根哪去了？小林的解法对吗？你可以解开这个谜吗？小林的解法不对，方程两边都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情况下，如果不能确定3x+2是否等于零，便不能轻易都除以(3x+2).所以，在解方程时应注意，方程两边都约去含未知数的