离散型随机变量的均值课件-高二下学期数学人教A版选择性

7.3.1离散型随机变量的均值整体感知[学习目标]

1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算)2．掌握两点分布的均值．(数学运算)3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析)复习回顾回顾1

什么是随机变量和离散型随机变量？

离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.回顾2

什么是离散型随机变量的分布列及其性质？

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，则X的概率分布列为：Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.(1)离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:(2)离散型随机变量的分布列的性质复习回顾新课导入

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.

因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.

离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差样本均值：样本方差：

已知一组样本数据：x1，x2，…，xn

反映这组数据相对于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。回顾3什么是一组数据的均值和方差？新知探究问题1

甲、乙两名射箭运动员射箭10次，射中目标箭靶的环数如下表所示.环数X78910甲射中的次数1234乙射中的次数1342如何比较他们射箭水平的高低呢?

分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.解：

=9假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为新知探究环数X78910甲射中的次数1234乙射中的次数1342环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.10.30.40.2解：

=9假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为当n足够大时，频率稳定于概率即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.新知探究概念生成随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.权数加权平均数新知探究两点分布的数学期望：

01

权数加权平均数新知探究

Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn[新知生成]1．离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝______________________＝

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的__________．(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝E(aX＋b)＝______________．2．两点分布的均值若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p.平均水平aE(X)＋b【微提醒】

分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．[典例讲评]

1．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．

如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值，并求李明在一年内领到驾照的概率．[解]

X的取值分别为1，2，3，4.P(X＝1)＝0.6；

P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28；P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096；P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.故X的分布列为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.9976.X1234P0.60.280.0960.024反思领悟

求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．(2)求出X取每个值的概率．(3)写出X的分布列(有时也可省略)．(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝

求出均值．

其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[学以致用]1.(1)已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于(

)A．0.3 B．0.7C．0.21 D．1√随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3

X012P

(2)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？探究2离散型随机变量均值的性质[典例讲评]

2．已知随机变量X的分布列为X－2－1012Pm若Y＝－2X，则E(Y)＝________．

[母题探究]

1．(变结论)本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________．

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发现规律

求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的________，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝____________，求解即可．分布列aE(ξ)＋b

ξ1234Pmn√

[典例讲评]3.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产的每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下．品牌甲乙首次出现故障时间x/年0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P

反思领悟

解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应均值．[学以致用]

3．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

X621－2P0.630.250.10.02

243题号1应用迁移√1．(多选)下列说法正确的是(

)A．随机变量X的均值就是数学期望，简称期望B．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数C．均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平D．随机变量的均值就是样本的均值√√23题号14

√X123P

23题号41√

ξ1234P

243题号14．已知小伟投篮命中率p＝0.6，则小伟投篮一次命中次数X的均值为________．法一：由投篮命中率p＝0.6，可得投篮一次，命中次数X的分布列为所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6.法二：由题意知，命中次数X服从两点分布，

所以E(X)＝p＝0.6.X01P0.40.60.61．知识链：(1)离散型随机变量的均值．(2)两点分布的均值．(3)均值的简单应用．2．方法链：随机变量均值的求解方法、函数与方程、转化化归．3．警示牌：不能正确的运用均值对实际问题作出科学的分析．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出离散型随机变量的均值公式吗？E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn＝