河南省驻马店市环际大联考2024-2025学年高二下学期3月阶段考试（一）数学

20242025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知数列1，，，，3，⋯，按此规律，7是该数列的（

）A．第24项 B．第25项 C．第26项 D．第27项2．在等差数列中，，且，则等于（

）A． B． C．0 D．13．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（

）A． B． C． D．4．在数列中，，，则等于（

）A． B． C．2 D．35．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（

）A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺6．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（

）A．，具有负相关关系，相关系数B．每增加一个单位，平均减少个单位C．第二个样本点对应的残差D．第三个样本点对应的残差7．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（

）A． B． C． D．8．已知是等比数列的前项和，则“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件二、多选题9．国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（

）12345672357889A．，B．由散点图知变量和正相关C．相关系数D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为10．数列的前项和为，已知，则（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．当且仅当时，取得最大值11．已知数列满足，，则（

）A．是等差数列B．的前项和为C．是单调递增数列D．数列的最小项为三、填空题12．已知等比数列满足，，则．13．已知数列满足，若为数列的前项和，则14．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为．四、解答题15．设为等差数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值及此时的值．16．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．(1)完成给出的列联表；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：．α0．250．150．100．050．0250．0100．0050．0011．3232．7062．7063．8415．0246．6357．87910．82817．已知数列的前项和为，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项和．18．设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；(2)若，求的二阶和数列的前项和；(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．题号12345678910答案BCBCBCDAABCBC题号11答案BCD1．B根据数列的前几项找出数列的通项公式，再令通项公式的值等于，进而求出是该数列的第几项.【详解】此数列可写为：，，，，，⋯，所以该数列的通项公式为：，，解得，故选：B．2．C设出公差，由题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，首项为，若，则有，又由，则，解得，，故.故选：C．3．B利用等差数列和等比中项的公式可得答案.【详解】因为等差数列的公差为，所以，因为，，成等比数列，所以，解得，所以.故选：B4．C通过数列的递推公式计算数列的前项，可得数列为周期数列，由此可得结果.【详解】∵，，∴，，，∴数列为周期数列，周期为.∵，∴.故选：C．5．B利用等差数列下标的性质，通过已知的两个和式来推导出第三个和式的值.【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为，由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为，小寒、雨水、清明日影长之和为，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为，所以．故选：B．6．C根据相关系数的绝对值不超过1可得选项A错误；根据回归直线方程可得选项B错误；根据残差的概念可得选项C正确，选项D错误.【详解】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误；B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误；C.第二个样本点对应的残差，C正确；D.第三个样本点对应的残差，D错误．故选：C.7．D根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果.【详解】设等差数列的公差为，∵，，∴数列为递减数列，∴，，，由得，即，∴，∴使的最小的的值为.故选：D．8．A根据充分条件、必要条件的概念，结合等差数列、等比数列的相关公式可得结果.【详解】设等比数列的公比为.由，，依次成等差数列，可得，当时，，，，不满足，故，∴，∵，∴，解得或（舍）．当时，，，∴，即，，依次成等差数列，故充分性成立．由，，依次成等差数列可得，即，由得，解得或，故或．当时，，，，不满足，故必要性不成立.综上可得，“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的充分不必要条件．故选：A．9．ABC根据平均数的概念可得选项A正确；画出散点图可得选项B正确；根据变量和正相关可得选项C正确；根据回归直线过样本中心点得选项D错误.【详解】A.，，A正确；B.根据表格作出散点图，因为散点图的分布从左下到右上，所以和正相关，B正确；C.由选项B可知相关系数，故C正确；D.由题意得，样本中心点的坐标为，即，回归直线过点.当时，，故D错误.故选：ABC.10．BC根据求出数列的通项公式，结合可得选项A错误；利用通项公式可得选项B正确；利用通项公式解不等式可得选项C正确；根据二次函数的性质可得选项D错误.【详解】A.当时，，∵，满足上式，∴，∵，∴是递减数列，故A错误.B.由得，故B正确；C.由得，故C正确；D.∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线，，∴当或时，取得最大值，故D错误.故选：BC.11．BCD由题意可得，则可得的通项公式，再求出并求和即可得A、B；借助的通项公式即可得C；结合基本不等式及其取等条件可得D.【详解】对A、B：由，得，因为，所以，，⋯，，从而，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，所以，所以A错误，B正确；对C：由，易知是单调递增数列，C正确；对D：，当且仅当，即时取等，又为正整数，所以上述不等式等号不成立，故当时，有最小值，D正确.故选：BCD．12．2根据等比数列通项公式判断的正负，再利用等比中项性质求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由等比中项的性质可得，解得．故答案为：2.13．626根据所给递推关系式，构造等差数列、等比数列求和，再分组求和即可.【详解】数列中，，当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则，当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，则，所以.故答案为：62614．28由题意分析数列的情况，求出和时的值，进而求解即可.【详解】由题意得数列的前项依次为：1，2个3，3，个3，7，个3，15，个3，31，⋯⋯，当时，，当时，，所以使得成立的的最小值为28.故答案为：28.15．(1)(2)，的最大值，此时（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式；（2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，．所以，解得，所以的通项公式是．（2）

当且仅当时，的最大值为16．16．(1)列联表见解析(2)有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关（1）根据已知条件填写列联表；（2）根据已知计算，再与临界值比较判断即可.【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900（2），所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．17．(1)，；(2)（1）利用等差数列的性质得到的表达式，再通过与的关系求出通项公式；（2）求出，采用错位相减法求出其前项和.【详解】（1）∵，，成等差数列，∴，即，当时，当时，，也满足，∴数列的通项公式为，；（2）由（1）得，则数列前项和，，两式相减可得，化简可得．18．(1)；(2).(1)由可得两式相减得.利用等比数列的定义求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂项相消法求解即可.【详解】(1)由可得两式相减得.又，则.所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故.(2)由(1)已知可得，故其前n项和，化简可得.19．(1)(2)(3)的最大值是，公差为（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求