正态分布课件-高二下学期数学人教A版选择性

7.5正态分布1.利用实际问题的频率直方图，了解正态曲线的特征、意义以及正态曲线的性质2.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率3.会利用正态分布的3σ原则进行概率决策。学习目标1.两点分布：X01P1-pp2.二项分布：X01…k…nP……3.超几何分布：Xmm+1…k…rP……离散型随机变量复习回顾现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuousrandomvariable).下面我们看一个具体问题.问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差X

(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.曲线与水平轴之间的面积为1任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率如何表示?可以用图中黄色阴影部分的面积表示.误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。0YX相应的函数解析式为：称为正态密度函数

一、正态密度曲线（简称正态曲线）由函数知识可知，此钟形曲线是一个函数，在数学家不懈的努力下，得到此钟形曲线的解析式。正态密度曲线若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).y012-1-2x-33μ=0σ=1

二、正态分布的定义特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)随机变量X的取值的概率计算（数形结合法）①P(X=a)=0(随机变量X在某点处的概率为0）②X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,

P(a≤X<b)为区域B的面积.（随机变量X在某个范围内的概率等于正态曲线、x轴及范围界点所在直线围成的面积）

三、正态曲线的性质：具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.(5)当无限增大时，曲线无限接近x轴.且对称区域面积相等即直线x=u左侧与右侧正态曲线与x轴围成的面积相等，都等于0.5；

σ越大，表示总体的分布越分散；σ越小，表示总体的分布越集中.μ=-1μ=0

μ=1σ=1μ=0

正态曲线在特殊区间上的概率：四、正态分布的3𝜎原则.正态总体在

以外取值的概率只有0.0027

,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,称为小概率事件.

小概率事件:发生的概率小于或等于5%（小于或等于1%）的事件

五、正态分布下的概率计算问题.例2

在某次考试中,考生的成绩X服从正态分布,即

X~N（90,100）（1）求考试成绩X位于区间（70,110]上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100]之间的考生大约有多少人？[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝10．(1)在该正态分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110，∵P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，∴考试成绩X位于区间(70,110]内的概率为0.9545．(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，∵P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，∴考试成绩X位于区间(80,100]内的概率为0.6827．由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人)．练习3.若X~N(5,1),求P(6<X<7).

4.若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)内的概率是多少？解：由正态曲线的对称性可得，5.6.六、使用正态分布的3𝜎原则进行概率决策.正态曲线在特殊区间上的概率：正态总体在

以外取值的概率只有0.0027

,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,称为小概率事件.

小概率事件:发生的概率小于或等于5%（小于或等于1%）的事件例3.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N(80,0.25),从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表:根据产品质量标准和生产线的实际情况,产品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外视为小概率事件,一旦小概率事件发生,视为生产线出现异常,产品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以内为正品,以外为次品.(1)判断生产线是否出现异常,并说明理由.(2)用频率表示概率,若再随机从生产线上取3件产品复检,正品检测费10元/件,次品检测费15元/件.记这3件产品检测费为随机变量X,求X的数学期望及方差.

例3.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N(80,0.25),从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表:根据产品质量标准和生产线的实际情况,产品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外视为小概率事件,一旦小概率事件发生,视为生产线出现异常,产品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以内为正品,以外为次品.(1)判断生产线是否出现异常,并说明理由.

解:(1)依题意,有μ=80，σ=0.5,所以正品尺寸的范围是[78.5,81.5].因为200×(1-0.9973)=0.54(件),而超出正常范围的零件数为5,所以生产线出现异常.例3.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N(80,0.25),从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表:根据产品质量标准和生产线的实际情况,产品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外视为小概率事件,一旦小概率事件发生,视为生产线出现异常,产品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以内为正品,以外为次品.(2)用频率表示概率,若再随机从生产线上取3件产品复检,正品检测费10元/件,次品检测费15元/件.记这3件产品检测费为随机变量X,求X的数学期望及方差.1.某学校为了了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率，(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2.(结果取整数,同一组数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望.(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ<Y<μ+2σ)>0.9545,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常,并说明理由.练习2.某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g，σ=1g.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机抽取产品,测量其质量.当检查员随机抽取一个产品,测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备,他的决定是否有道理?2.某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g，σ=1g.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机抽取产品,测量其质量.当检查员随机抽取一个产品,测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备,他的决定是否有道理?解:检查员的决定是有道理的.理由如下:当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g，σ=1g,所以根据正态分布的性质可知，产品质量在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,即[497，503]内的概率约为0.9973,而产品的质量超出这个范围的概率只有0.0027,这是