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文档简介

安徽省合肥市重点中学2025届高三毕业班3月适应性线上测试(一)数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.2.“且”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.4.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.5.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()A. B. C. D.6.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④7.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.8.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.9.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.210.设(是虚数单位),则()A. B.1 C.2 D.11.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()A. B. C. D.12.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.14.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.15.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是_____16.函数的值域为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在正四棱锥中,,点、分别在线段、上,.(1)若,求证:⊥;(2)若二面角的大小为,求线段的长.18.(12分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.19.(12分)△的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长.20.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.21.(12分)已知a>0,证明:1.22.(10分)已知数列中,a1=1,其前n项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,若数列为递增数列,求λ的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图,“且”表示的区域是如图所示的正方形,记为集合P,“”表示的区域是单位圆及其内部,记为集合Q,显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件,故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.3.D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.4.C【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.5.B【解析】

设左焦点的坐标,由AB的弦长可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点,由题意可得,由,可得,所以双曲线的方程为:所以,所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r,所以三角形的面积,所以,解得,故选:B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法,内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用,属于中档题.6.D【解析】

利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故①错误;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故③错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.综上,真命题是②④.故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.7.D【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.8.A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.9.C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.10.A【解析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.【详解】∵,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.11.C【解析】由三视图可知,该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积为,上部半圆锥的体积为,所以该几何体的体积为,故应选.12.B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据题意求出点N的坐标,将其代入椭圆的方程,求出参数m的值,再根据离心率的定义求值.【详解】由题意得,将其代入椭圆方程得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,属于中档题.14.【解析】

根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.15.20+45,8【解析】试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8,故填:20+4考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.16.【解析】

利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:由于图形是正四棱锥,因此设AC、BD交点为O,则以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系,可用空间向量法解决问题.(1)只要证明=0即可证明垂直;(2)设=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量为,利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得.试题解析:(1)连结AC、BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系.因为PA=AB=,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因为=0,所以MN⊥AD(2)解:因为M在PA上,可设=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).设平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一组解为x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取=(λ-1,0,λ).因为平面ABD的法向量为=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,从而M,N,所以MN==.考点:用空间向量法证垂直、求二面角.18.(1);(2)【解析】

(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】(1)因为函数定义域为,即恒成立,所以恒成立由单调性可知当时,有最大值为4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值为.当且仅当,,时,等号成立【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.(I);(II).【解析】

试题分析:(I)由已知可得;(II)依题意得:的周长为.试题解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依题意得:∴,∴,∴,∴,∴的周长为.考点:1、解三角形;2、三角恒等变换.20.(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.21.证明见解析【解析】

利用分析法,证明a即可.【详解】证明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要证明1,只要证明a1(a)1﹣4(a)+4,只要证明:a,∵

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