2025届云南省呈贡一中高三第一次调研考试数学试题试卷

2025届云南省呈贡一中高三第一次调研考试数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A． B． C． D．12．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．193．已知向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A． B．或C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．7．关于函数，有下述三个结论：①函数的一个周期为；②函数在上单调递增；③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．② C．②③ D．③8．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则A．PQ B．QPC．Q D．Q9．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A． B． C． D．11．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（）A． B． C． D．12．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.14．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____15．在中，，，则_________.16．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（λ），则实数_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.18．（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段的长.20．（12分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.22．（10分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．【详解】如图，MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故选：C．【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2、B【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出，则不符合题意，排除；若输出，则，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.3、D【解析】

由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解：，，即，将和代入，得出，所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.4、C【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.5、D【解析】

根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.6、A【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．7、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.【详解】因为，故①错误；当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.8、C【解析】

解：因为P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此选C9、B【解析】

设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.10、C【解析】

设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点，则的夹角为MN和NP夹角或其补角可知，.作BC中点Q，则为直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.11、D【解析】

如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设，则，故，故.因为为直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.12、B【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由，得，所以，.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为，则由题意得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.14、【解析】

由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36，所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为：【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.15、【解析】

先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.【详解】由知：，则在方向的投影为，由向量数量积的几何意义得：，∴故答案为【点睛】本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.16、1【解析】

根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．【详解】∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案为：1．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.【详解】（1）由成等差数列，则，即，①当时，，又，②由①②可得：，即，时，.所以是以3为首项，3为公比的等比数列，，所以.（2），所以.【点睛】此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析：（I）当时，化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．所以的解集为．（II）由题设可得，所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．由题设得，故．所以a的取值范围为19、（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；

（2）由（1）可得曲线是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得的长.【详解】（1）由题意可得直线：，由，得，即，所以曲线C：.（2）由（1）知，圆，半径.∴圆心到直线的距离为：.∴【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．20、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理将，转化，即，由余弦定理求得，再由平方关系得再求解.（2）由，得，结合再求解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，则，而，又，解得，故.（2）因为，则，因为，故，故，解得，故，则.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.21、（1）（）；（2）证明见解析.【解析】

（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【详解】（1）设，由已知，∴，∴（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的