2025年中考数学三轮复习之图形的对称

第36页（共36页）2025年中考数学三轮复习之图形的对称一．选择题（共10小题）1．（2025•方山县一模）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2025•永寿县校级一模）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动．下列折纸作品中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2025•石家庄一模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞2），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB'与射线AD交于点E．下列说法正确的个数是（）（1）当AB'⊥AB时，B'A＝B'E；（2）当点B′落在AD上时，四边形ABPB'是菱形；（3）在点P运动的过程中，线段AE的最小值为4；（4）连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于12AP•BB'A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2025•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）5．（2025•南岗区模拟）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6cm，AD＝4cm，将矩形纸片折叠，使边AD落在边AB上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右折叠，AE与BC交于点F，△CEF的面积为（）cm2．A．1 B．2 C．4 D．66．（2025•武汉模拟）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．7．（2025•官渡区校级模拟）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（）A．盛 B．世 C．中 D．国8．（2025•碑林区校级二模）二十四节气是古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶，它精确地反映了自然节律变化．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2025•铁西区模拟）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD10．（2025•常州模拟）点A（1，2025）关于y轴的对称点是（）A．（﹣1，2025） B．（1，﹣2025） C．（﹣1，﹣2025） D．（2025，1）二．填空题（共5小题）11．（2025•武汉模拟）如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，连接BE，AE，点P在线段DC上运动，连接EP，则AE+EP+BE的最小值是．12．（2025•方山县一模）如图，将AB沿矩形ABCD中过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点B'落在矩形的对角线BD上，AP与BD交于点O，连接PB'．若AB＝3，BC＝4，则BB'的长为．13．（2025•金安区校级一模）如图①，在一张长方形纸ABCD中，E点在AD上，并且∠AEB＝60°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠A′ED′＝16°，则∠CED′的度数为°．14．（2025•茄子河区一模）如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是．15．（2025•秦都区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，CH⊥BC交对角线BD于点H，点E、F分别在线段BH和射线HD上，且BE＝HF，连接CE、CF，则CE+CF的最小值为．三．解答题（共5小题）16．（2025•金安区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在y轴上找出一个点P，使得△ABP的周长最小，在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标．17．（2025•南昌模拟）追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：（1）如图1，把一个长方形纸片ABCD按如图方式折一下，得到四边形ABEF是；（填“特殊的四边形”的名称）拓展应用（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的H处，DG为折痕．若AE∥HG，18．（2025•高新区校级模拟）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在边AD上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出折痕EF；（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求线段EF的长．19．（2025•景德镇模拟）追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）．（1）如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．请问BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．方法应用：（2）如图2，将边长为24的正方形ABCD沿着EF折叠，点A的对应点G恰在CD边上，已知CG＝17，求折痕EF的长．20．（2025•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．（1）求证：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的长；②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．

2025年中考数学三轮复习之图形的对称参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADCDBACBAA一．选择题（共10小题）1．（2025•方山县一模）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D的甲骨文均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；选项A的甲骨文能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．故选：A．【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．2．（2025•永寿县校级一模）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动．下列折纸作品中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形；轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【解答】解：A、B、C中的图形是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；D中的图形不是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．3．（2025•石家庄一模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞2），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB'与射线AD交于点E．下列说法正确的个数是（）（1）当AB'⊥AB时，B'A＝B'E；（2）当点B′落在AD上时，四边形ABPB'是菱形；（3）在点P运动的过程中，线段AE的最小值为4；（4）连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于12AP•BB'A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】（1）画出图形，求出∠B'AD＝∠AEB'＝30°，根据等角对等边即可判断其正确；（2）画出图形，证明出△ABP是等边三角形，从而得到AB＝BP＝B'P＝AB'，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确；（3）画出反例的图形，即可判断其错误；（4）画出图形，连接BB'交AP于点O，根据S四边形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP•OB+12AP•OB′=1【解答】解：（1）如图所示，当AB′⊥AB时，∵AB'⊥AB，∴∠BAB'＝90°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝120°﹣90°＝30°，∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠B'AD＝∠AEB'，∴B'A＝B'E，故（1）正确；（2）如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，∴△ABP是等边三角形，∴AB＝BP＝B'P＝AB'，∴四边形ABPB′是菱形，故（2）正确；（3）如图所示，当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，∴AE＜AB′＝4，故（3）错误；（4）如图所示，连接BB'交AP于点O，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴AP垂直平分BB'，∴S四边形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP•OB+12AP•OB′=1故（4）正确．综上，正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．（2025•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】D【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，可知点B与点A的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点B的坐标，再根据点的平移规律可得点C的坐标．【解答】解：∵点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，∴点B的坐标为（3，2），∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握对应点的坐标是求解本题的关键．5．（2025•南岗区模拟）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6cm，AD＝4cm，将矩形纸片折叠，使边AD落在边AB上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右折叠，AE与BC交于点F，△CEF的面积为（）cm2．A．1 B．2 C．4 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据矩形性质得∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝4cm，AB∥CD，再根据折叠的性质得∠DAE＝∠BAF＝45°，∠ADE＝90°，AD＝4，进而得BD＝2cm，证明四边形DBCE是矩形得CE＝BD＝2cm，再根据AB∥CD得∠CEF＝∠BAF＝45°，则△CEF是等腰直角三角形，即CE＝CF＝2cm，据此即可得出△CEF的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6cm，AD＝4cm，∴∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝4cm，AB∥CD，由折叠的性质得：∠DAE＝∠BAF＝45°，∠ADE＝90°，AD＝4，∴CE＝BD＝2cm，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2（cm），∵∠ADE＝∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形DBCE是矩形，∵AB∥CD，∴AB∥CE，∴∠CEF＝∠BAF＝45°，又∵∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，即CE＝CF＝2cm，∴S△CEF=12CE•CF=12×2×2＝故选：B．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．6．（2025•武汉模拟）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7．（2025•官渡区校级模拟）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（）A．盛 B．世 C．中 D．国【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、D的美术字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项C的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．（2025•碑林区校级二模）二十四节气是古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶，它精确地反映了自然节律变化．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．（2025•铁西区模拟）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】根据△ABO和△CDO关于直线PQ对称得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐项判断即可．【解答】解：如图，连接AC、BD，∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，∴AC∥BD，故B、C、D选项正确，AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确，故选：A．【点评】本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10．（2025•常州模拟）点A（1，2025）关于y轴的对称点是（）A．（﹣1，2025） B．（1，﹣2025） C．（﹣1，﹣2025） D．（2025，1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【答案】A【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．【解答】解：点A（1，2025）关于y轴的对称点是（﹣1，2025）．故选：A．【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•武汉模拟）如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，连接BE，AE，点P在线段DC上运动，连接EP，则AE+EP+BE的最小值是3+2【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】3+2【分析】如图所示，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′，过点A′作A′G⊥DC，交AB，CD于点F，G，则∠EBE′＝∠ABA′＝60°，FG＝CB＝2，BF＝CG，可证△BEE′是等边三角形，得到AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP，当点A′，E′，E，P四点共线且A′P⊥CD时，取得最小值A′G，即可求解．【解答】解：如图所示，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′，过点A′作A′G⊥DC，交AB，CD于点F，G，则∠EBE′＝∠ABA′＝60°，FG＝CB＝2，∴△ABE≌△A′BE′，∴AE＝AE′，BE＝BE′，∴△BEE′是等边三角形，∴BE＝EE′，∴AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP，当点A′，E′，E，P四点共线且A′P⊥CD时，取得最小值A′G，∵四边形ABCD是正方形，边长为2，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△A′BE′，∴A′B＝AB＝2，∠ABA′＝60°，∠BA′F＝30°，∴BF=∴A'∴A'∴AE+EP+BE的最小值是3+2故答案为：3+2【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△A′BE′，得到AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP是解题的关键．12．（2025•方山县一模）如图，将AB沿矩形ABCD中过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点B'落在矩形的对角线BD上，AP与BD交于点O，连接PB'．若AB＝3，BC＝4，则BB'的长为185【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】185【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=5【解答】解：由题意可得：BD=由折叠的性质可知BB′⊥AP，BB′＝2OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BAP+∠ABD＝∠BDA+∠ABD．∴∠BAP＝∠ADB，∵sin∠∴OBAB=AB∴OB=∴BB'故答案为：185【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2025•金安区校级一模）如图①，在一张长方形纸ABCD中，E点在AD上，并且∠AEB＝60°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠A′ED′＝16°，则∠CED′的度数为38°．【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】38．【分析】由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′＝180°﹣120°+16°＝76°，进而可得答案．【解答】解：由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，∵∠AEB＝60°，∴∠AEA′＝2∠AEB＝120°，∵∠A′ED′＝16°，∴∠DED′＝180°﹣120°+16°＝76°，∴∠CED′=12×76故答案为：38．【点评】本题考查角的计算，根据折叠的性质得到BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′是解题关键．14．（2025•茄子河区一模）如图，把图中的一个白色方格涂黑，和原来的两个黑色方格恰好构成一个轴对称图形的概率是57【考点】利用轴对称设计图案；概率公式．【专题】概率及其应用；平移、旋转与对称．【答案】57【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有14种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：由题意可得，共16﹣2＝14种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下10种情况：所以概率P=10故答案为：57【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式的应用，概率＝所求情况数与总情况数之比，同时也考查了轴对称的定义．15．（2025•秦都区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，CH⊥BC交对角线BD于点H，点E、F分别在线段BH和射线HD上，且BE＝HF，连接CE、CF，则CE+CF的最小值为27．【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】27【分析】由菱形的性质易得点A与点C关于BD所在直线对称，连接AE、AC，则CE与AE相等，将CE+CF的最小值转化为AE+CF的最小值，以AE、EF为一组邻边作平行四边形AEFG，则AE+CF＝FG+CF，因此当点F在线段CG上的点F′时，CE+CF取得最小值，此时点E在点E′的位置．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠CBH＝30°，AC⊥BF，点A与点C关于BD所在直线对称，∴AE＝CE，∴CE+CF＝AE+CF，∴AC=∵CH⊥BC，∴CH=即(23∴BH＝4，以AE、EF为一组邻边作平行四边形AEFG，∴AE＝FG，∴FG+CF＝AE+CF，∴当点F在线段CG上的点F′时，CE+CF取得最小值，∵HF＝BE，∴BH＝EF＝AG＝4，∵AG∥EF，AC⊥BF，∴∠CAG＝90°，∴CG=∴CE+CF的最小值为27故答案为：27．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是以AE、EF为一组邻边作平行四边形AEFG，找到最小距离和点．三．解答题（共5小题）16．（2025•金安区校级一模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在y轴上找出一个点P，使得△ABP的周长最小，在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（0，4）．【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1；（2）根据轴对称的性质，连接A1B，交y轴于点P，点P即为所求，求出直线A1B的解析式，然后再求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）如图，所作△A1B1C1即为所求．（2）如上图，点P即为所作．连接AP，根据轴对称可知，AP＝A1P，∴AP+BP+AB＝A1P+BP+AB，∴此时A1P+BP+AB最小，即AP+BP+AB最小，设直线A1B的解析式为y＝kx+b，由条件可得：k+解得：k=1∴直线A1B的解析式为y＝x+4，∴点P的坐标为（0，4）．【点评】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图象，求一次函数解析式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．17．（2025•南昌模拟）追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：（1）如图1，把一个长方形纸片ABCD按如图方式折一下，得到四边形ABEF是正方形；（填“特殊的四边形”的名称）拓展应用（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的H处，DG为折痕．若AE∥HG，【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】展开与折叠．【答案】（1）正方形；（2）8-【分析】（1）由长方形的性质得∠B＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，进而可证明四边形ABEF是正方形；（2）先证明△HDF和△HEG为等腰三角形，在Rt△HDF中，求出DF＝HF＝4，在RtRt△HEG中，求出HG=2HE【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠BAD＝90°．由折叠的性质得，∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，∴四边形ABEF是矩形，∴四边形ABEF是正方形．故答案为：正方形；（2）∵四边形ABEF为正方形，∴∠AEB＝45°．∵AB∥HG，∴∠HGE＝∠AEB＝45°，∴∠EHG＝45°，又∵△CDG沿着直线DG翻折到△HDG，∴CD＝HD，∠C＝∠DHG＝90°，∴∠FHD＝45°，∴△HDF和△HEG为等腰三角形，又∵四边形ABCD是长方形，∴DC=∴HD=在Rt△HDF中，DF=∴HE=4在Rt△HEG中，HG=∴CG=8【点评】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折叠的性质是解答本题的关键．18．（2025•高新区校级模拟）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在边AD上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出折痕EF；（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求线段EF的长．【考点】作图﹣轴对称变换；勾股定理；矩形的性质．【专题】推理能力．【答案】（1）画图见解析；（2）154【分析】（1）作线段BM的垂直平分线即可；（2）连接BE，设BM与EF交于点O，先求出BM的长，利用tan∠EMO=EOOM=ABAM求出EO，证明△【解答】解：（1）连接BM，作线段BM的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接EF，EF即为所求，如图：（2）如图，连接BE，设BM与EF交于点O，∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝AD＝5，DM＝1，∠A＝90°，∴AM＝4，∴BM=由作图知OB＝OM，EF⊥BM，∴OM=∴tan∠即EO5解得：EO=∵四边形ABCD矩形中，AD∥BC，∴∠EMO＝∠FBO，∠MEO＝∠BFO，∵OM＝OB，∴△OEM≌△OFB，∴OF=∴EF=2【点评】本题考查了线段垂直平分线的画法和矩形中的翻折问题，熟练掌握画法和翻折中的计算方法是解题的关键．19．（2025•景德镇模拟）追本溯源题（1）是北师大版初中数学九年级上册第21页例题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）．（1）如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．请问BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．方法应用：（2）如图2，将边长为24的正方形ABCD沿着EF折叠，点A的对应点G恰在CD边上，已知CG＝17，求折痕EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】展开与折叠；推理能力．【答案】（1）BE＝DF，理由见解析；（2）25．【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS证明△CEB≌△CFD即可解题；（2）连接AG，过点F作FH⊥AD于点H，则ABFH是矩形，然后根据勾股定理求出AG＝25，然后根据AAS证明△AGD≌△FEH即可解题．【解答】解：（1）BE＝DF，理由为：∵ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝∠DCF，又∵CE＝CF，∴△CEB≌△CFD（SAS），∴BE＝DF；（2）连接AG，过点F作FH⊥AD，点H为垂足，∵正方形ABCD的边长为24，∴AB＝AD＝DC＝BC＝24，ABFH是矩形，∴DG＝DC﹣CG＝24﹣17＝7，AB＝FH＝24，∠FHE＝∠D＝90°，∴AG=∵将边长为24的正方形ABCD沿着EF折叠，点A的对应点G恰在CD边上，∴EF⊥AG，∴∠AEF+∠DAG＝∠AEF+∠EFH＝90°，∴∠DAG＝∠EFH，∴△AGD≌△FEH（ASA），∴EF＝AG＝25．【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，掌握正方形的性质是解题的关键．20．（2025•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．（1）求证：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的长；②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）①37；②45．【分析】（1）过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（AAS）即可；（2）①在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，求出AG=6②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求．【解答】（1）证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，∵AH⊥EG，∴∠AEH+∠DAH＝90°，∵∠PEG+∠PGC＝90°，∴∠EAH＝∠PGE，∵PG＝AB，∴△ABF≌△GPE（AAS），∴AF＝EG；（2）①∵BF＝2，∴PE＝2，∵AB＝6，BE＝3，∴AE＝3，∴AP＝1，在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，∴AG=6②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，∴四边形EFQG为平行四边形，∴GQ＝EF，∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，∵EG＝AF，EG＝FQ，∴AF＝FQ，∵AF⊥EG，∴AF⊥FQ，∴△AFQ是等腰直角三角形，∵AF=62+∴AQ＝45，∴AG+EF的最小值为45．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．

考点卡片1．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．8．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、9．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．10．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．11．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，