解题秘籍04 几何模型在压轴题中的运用（11种题型汇-总+专题训练）（解析版）-2025年中考数学重难点突破VIP

解题秘籍04几何模型在压轴题中的运用（11种题型汇总+专题训练）【题型汇总】题型01三角形拼接模型常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：类型两条斜边平行斜边于直角边平行两条直角边平行图示顶点在斜边上顶点在直角边上顶点在边上顶点重合【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.1．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD>OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°<α<90°）度到D1OE1位置，使O

(1)求α的值；(2)如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处．设E2D2交OD1于点G，OE1交AC【答案】(1)30°(2)正方形，见解析【分析】（1）确定旋转角α=∠AOD1，结合OD（2）先证明四边形OHE【详解】（1）根据题意，得旋转角α=∠AOD∵OD1∥AC，∴∠AOD故α=30°．（2）根据题意，得旋转角α=∠AOD∵OD1∥AC，∴∠AOD∵OE2=O∴∠E2OG=45°，∴∠E∵∠E1O

∴∠E∴∠AOE∴∠AHO=180°-60°-30°=90°，∴四边形OHE∵OG=GE∴四边形OHE【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．

（依据：______________________）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴_____________________．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，∴G是AC的中点，∴DG为△ACD中位线．∴CG=12AC=12×8=4(2)“希望”学习小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：△AHD∽△ABC；②求出重叠部分（△DGH）的面积．(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交于点M，N，当△DMN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（△DMN）的面积是________．【答案】(1)等边对等角，DG∥BC(2)①证明见解析；②75(3)7516或【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB=DA；由△ABC≌△FDE，得到角相等，进而证得DG⊥AC，从而求解；（2）①利用AA证明△AHD∽△ABC即可；②证明∠1=∠2可得出GH=GD，证明∠A=∠3可得出AG=GD，则点G为AH的中点，利用勾股定理求出AB，证明△ADH∽△ACB，可求出DH=15（3）分MN=MD，MN=DN，DM=DN三种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．（依据：等边对等角）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，∴G是AC的中点，∴DG为△ACB中位线．∴CG=12AC=∴SDCG故答案为：等边对等角，DG∥BC；（2）①证明：∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ADH=∠C，又∠A=∠A，∴△AHD∽△ABC；②如图，

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1，∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴GH=GD．∵∠A+∠2=90°，∠1+∴∠A=∠3．∴AG=GD．∴AG=GH．∴点G为AH的中点．在Rt△ABC中，AB=∵D是AB中点，AD=1在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，∴△ADH∽△ACB．∴ADAC∴58∴DH=15∴SΔ（3）解：当MN=MD时，过D作DH⊥MN于H，

则∠MND=∠MDN=∠B，∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，∴△AHD∽△ACB．∴ADAB∴510∴DH=3，∵∠MND=∠B，∠DHN=∠ACB=90°，∴△DHN∽△ACB，∴DHAC∴38∴NH=9设MN=MD=x，则MH=x-9在Rt△DMH中，D∴x2解得x=25∴S△DMN当MN=DN时，过D作DH⊥MN于H，则∠NMD=∠MDN=∠B，同理：△DHM∽△ACB，∴DHAC∴38∴MH=9设MN=ND=x，则NH=x-9在Rt△DNH中，D∴x2解得x=25∴S△DMN当MD=ND时，过D作DH⊥MN于H，过M作MG⊥DN于G，

则∠DGM=∠C=90°，又∠MDN=∠B，∴△DMG∽△BAC，∴DGBC=MG∴DG3设DG=3a，则MG=4a，DM=5a，∴NG=DN-DG=DM-DG=2a，∴MN=M∵∠MGN=∠DHN=90°，∠MNG=∠DNH，∴△MNG∽△DNH，∴MNDN=MG∴a=3∴MN=3，∴S△DMN综上，△DMN的面积是为7516或9故答案为：7516或9【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．题型02四边形折叠模型解题方法：与特殊平行四边形有关的折叠问题与轴对称的知识联系紧密，解决这类问题有两个“秘诀”:一是折叠前后的两部分是全等的(对应边、对应角相等)；二是折叠前后的对应点所连线段被折痕垂直平分.3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，即得∠EAH=∠FCG，由折叠的性质可得AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，即得CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，进而得AH=CG，即可由ASA证明（2）由（1）得∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥∴∠EAH=∠FCG，由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，∴AH=CG，在△AEH和△CFG中，∠EAH=∠FCGAH=CG∴△AEH≌△CFGASA（2）证明：由（1）知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，∴EH∥FG，∴四边形EGFH为平行四边形．4．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，【解决问题】(1)当点C'与点A重合时，求B(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AF【答案】(1)10(2)285或【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．（1）过点C作CH⊥AD，则CH=AB=12，AH=BC=8，再求出HD，根据勾股定理求出CD，当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，则有AM=MC，设B'M=MB=x，则AM=MC=12-x，再利用勾股定理即可得出（2）分两种情况，当点F在AB上时和当点F在BA的延长线上时，设AF=5x，AC'=12x，则C'F=13x【详解】（1）解：如图1，过点C作CH⊥AD，则CH=AB=12，AH=BC=8，∴HD=AD-AC∴CD=CHtan∠ADC=当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，则有AM=MC，设B'M=MB=x，则∵∠ABC=90°∴在Rt△MBC中x解得：x=10故B（2）如图2，当点F在AB上时，如下图：由(1)可知tan∠ADC=∵∠AF∴tan∠AF设AF=5x，AC'=12x，则根据折叠的性质可得出：B'C'∵∠B∴tan∠∵∠ABC=90°∴在Rt△BFM中，FM=13则5x+12解得：x=7A如图3，当点F在BA的延长线上时，同上tan∠AF在Rt△AF设AF=5x，AC'=12x，FC在Rt△MFFM=135则FB=5x+12=解得x=13则AC综上：AC'的值为：2855．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系．【详解】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P为CD中点，∴DP=CP=1设EP=AE=x，∴ED=AD-x=3-x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AE=x=5∴ED=AD-AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG-PH=3（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P为CD中点，∴设DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H为BC中点，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．题型03射影定理类型射影定理作高用射影定理条件∠ABC=∠ADB=90°F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°图示结论1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD2),,3）AB•BC=BD•AC（面积法）过点C作CD⊥AB于点D∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB6．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AB∴AC（2）△AEB是直角三角形；理由如下：∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC∴△ACF∽△AEC，∴AC∴AC由（1）得AC∴AF⋅AE=AD⋅AB，∴AF∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，∴∠ADF=∠AEB=90°，∴△AEB是直角三角形．（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，∴△CEB∽△CBD，∴CE∴CD⋅CE=CB如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于则CD∵CD0为∴∠CDD∴CD∴CD∵∠ECE∴△ECE∴∠CDD∴点E在过点E0且与C过点B作BE'⊥E0∵垂线段最短，∴当点E在点E'处时，BE即BE的最小值为BE∵∠CE∴四边形CE∴BE在Rt△CE0即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．7．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．(1)初步探究如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；(3)创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=27，求BE【答案】(1)证明见解析(2)CD=2(3)21【分析】（1）根据题意，由∠ACD=∠B，∠A=∠A，利用两个三角形相似的判定定理即可得到△ACD∽（2）设AD=BD=m，由（1）中相似，代值求解得到AC=2m，从而根据△ACD与△ABC的相似比为（3）过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，如图1所示，设CE=DE=a，过点B作BF⊥EC于点F，如图2所示，利用含30°的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到ADAC=AC【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽∴ACAB∴AC（2）解：∵点D为AB中点，∴设AD=BD=m，由（1）知△ACD∽∴AC∴AC=2∴△ACD与△ABC的相似比为ADAC∴CDBC∵BC=4∴CD=22（3）解：过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，过C作CY⊥AB，如图1所示：∵点E为CD中点，∴设CE=DE=a，∵∠CDB=∠CBD=30°，∴CB=CD=2a，∠DCB=120°，在Rt△BCY中，CY=12过点B作BF⊥EC于点F，如图2所示：∴∠FCB=60°，∴∠CBF=30°，∴CF=1∴CF=a，BF=3∴EF=2a，∴BE=7∵CH∥BE，点E为∴CH=2BE=27a，DH=2DB=43又∵∠ACD=∠EBD，∴∠ACD=∠H，△ACD∽∴ADAC又∵AC=27∴AD=2，AH=14，∴DH=12，即43∴a=3∴BE=7【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30°的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．8．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的“(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．【答案】(1)证明见解析(2)图见解析(3)mn-m2【分析】（1）证△ACD∽△CBD，根据“关联点”的定义即可得结论；（2）以AB为直径作⊙O，过点D作AB的垂线，交⊙O于P，由圆周角定理可得∠APB=90°，由（1）可得DP2=AD⋅DB，以D为圆心，DP为半径作圆，在直线DP右侧的⊙D上取点C（3）分类讨论，①当m<n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m<n时，同①方法．【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠CDA=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD，∴CDBD∴CD∴点D是点C的“关联点”．（2）解：如图，①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径作圆；③过D作DP⊥AB交⊙O于点P；④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．连接AC、BC，△ABC即为所求，证明：∵P在以AB为直径的圆上运动，∴∠APB=90°，由（1）可知：DP∵DC=DB，∴CD（3）①当m<n时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形，此时AC∵DC2=DA⋅DB，且DA=m∴D在Rt△ADC1在Rt△ADC2∴mn-②当m>n时，同理可得：mn+m综上所述，mn-m2<AC<【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．题型04一线三等角模型类型一线三等角模型（同侧型）一线三垂直模型（同侧型）条件∠B=∠D=∠ACE=α∠B=∠D=∠ACE=90°图示结论∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC图示结论9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=23【答案】(1)AB=DE(2)10(3)9(4)547或【分析】（1）根据旋转的性质可得∠CBD=90，CB=BD，进而证明△ABC≌△EDBAAS（2）根据（1）的方法证明△ABC≌△EDB(AAS)，进而证明△DEF∽△CAF，求得EF=4，则（3）过点N作NM⊥AF于点M，证明△ABC∽△MNB得出MN=13BM，证明△EMN∽△ECA，设BM=x，则ME=BE-BM=6-x（4）当P在B点的左侧时，过点P作PQ⊥BC于点Q，当P在B点的右侧时，过点P作PT⊥BC交CB的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

∵∠CBD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90，∴∠DBE=∠ACB，又∵∠A=∠DEB=90°且CB=BD∴△ABC≌△EDB(AAS∴DE=AB；（2）解：∵∠CBD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90，∴∠DBE=∠ACB，又∵∠A=∠DEB=90°且CB=BD，∴△ABC≌△EDB(AAS∴DE=AB，BE=AC∵AB=2，AC=6∴DE=2，BE=6∴AE=AB+BE=2+6=8，∵∠DEB+∠A=180°∴DE∥∴△DEF∽△CAF，∴DE∴2∴EF=4，∴BF=BE+EF=6+4=10，∴S△BDF（3）解：如图所示，过点N作NM⊥AF于点M，

∵∠A=∠BMN=90°，∠ACB=90°-∠ABC=∠NBM∴△ABC∽△MNB∴BNBC即BNBC=BM又∵MN∴△EMN∽△ECA∴MEAE设BM=x，则ME=BE-BM=6-x，6-x解得：x=∴BNBC（4）解：如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作PQ⊥BC于点Q

∵tan∴tan∠BCP=PQCQ=23又∵AC=6,AB=2，∠BAC=90°∴tan∠ABC=AC∴tan∴BQ=∴BC=CQ+BQ=∴113解得：a=在Rt△PBQ中，PQ=2a,∴PB=∴AP=PB-AB=如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作PT⊥BC交CB的延长线于点T，

∵∠ABC=∠PBT,∠A=∠T=90°∴∠BPT=∠ACB∵tan∴tan设BT=b，则PT=3b，BP=10∵tan∠BCP=PT∴3b解得：b=∴BP=∴AP=AB+BP=2+综上所述，AP=547或18【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）DE+CD=AE，理由见详解，（2）AD=2BE+DF，理由见详解，（3）【分析】（1）直接证明△ABE≌△BCD，即可证明；（2）过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，先证明Rt△AEM≌Rt△FEN，可得AM=NF，结合等腰直角三角形的性质可得：MD=DN=22DE，NF=ND-DF=MD-DF，即有（3）过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，先证明△HAE≌△GEF，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．【详解】（1）DE+CD=AE，理由如下：∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°，∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，∴∠ABE=∠C，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，AE=BD，∴DE=BD-BE=AE-CD，∴DE+CD=AE；（2）AD=2过E点作EM⊥AD于点M，过E点作EN⊥CD于点N，如图，∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，BD平分∠ADC，∠ADC=90°，∴2AD=即DE=BD-BE=2∵EN⊥CD，EM⊥AD，∴EM=EN，∵AE=EF，∴Rt△AEM≌∴AM=NF，∵EM=EN，EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC=90°，∴四边形EMDN是正方形，∴ED是正方形EMDN对角线，MD=ND，∴MD=DN=22DE，∴NF=AM=AD-MD=AD-22DE∴AD-22DE=∵DE=2AD-BE∴AD=2即有AD=2（3）AD=2过A点作AH⊥BD于点H，过F点作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图，∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°，∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°，∴∠HAE=∠FEG，又∵AE=EF，∴△HAE≌△GEF，∴HE=FG，∵在正方形ABCD中，∠BDC=45°，∴∠FDG=∠BDC=45°，∴∠DFG=45°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴FG=2∴HE=FG=2∵∠ADB=45°，AH⊥HD，∴△ADH是等腰直角三角形，∴HD=2∴DE=HD-HE=2∴BD-BE=DE=2∵BD=2∴2AD-BE=∴AD=2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键．11．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②AB=3k；PE=【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．证明△APC≌△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2∵AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90°，∴四边形ABNC为正方形∴CN=AC=CM又∵CE=CE，∴Rt∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠CPF=90°∴∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°∴△PCF是等腰直角三角形．②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．∵∠1+∠5=∠5+∠6=90°，∴∠1=∠6，由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，∴△APC≌△RFPAAS∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，∴AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2∴AP=BR=FR=k，∴PB=2AP=2k，∴AB=AP+PB=BN=3k，由BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90°，∴四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k，由FQ⊥BN，CN⊥BN得：FQ∥∴△QEF∽△NEC，∴QENE=即2k-NENE=k由①知：PM=AP=k，ME=NE=3∴PE=PM+ME=k+3【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．题型05半角模型类型正方形内含型半角等腰直角三角形内含型半角条件正方形ABCD，∠EAF=45°∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°图示辅助线作法延长BC至点G，使DE=GB,连接AG过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接AD,DF结论1）旋转全等2）对称全等3）EF=DE+BF1）旋转全等2）对称全等3）在Rt△DBF中，即90°含45°120°含60°条件∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE图示结论∆BAE∽∆ADE∽∆CDA∆BAE∽∆ADE∽∆CDA12．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'中，___∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=___【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

【答案】【问题解决】①△ADE≌△AD'E；②EC2+CD【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可；【知识迁移】如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF'．过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH．由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'．结合题意得EF=DF+BE=DF+DF'=F'F．证明△AEF≌AF【拓展应用】如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM,HE．则△ADF≌△AGH．则DF=GH,AG=AD,AF=AH，∠DAF=∠HAG，根据∠EAF=45°，证明△AEH≌△AEF，得出EF=HE，过点H作HO⊥CB交CB于点O，过点H作HG⊥BM交BM于点M，则四边形OHGB为矩形．得出OH=BG,OB=HG，证明△BME,△DNF,△CEF,△AMN是等腰直角三角形，得出GM=DN=DF=HG，∠HME=90°，在Rt△OHE【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到BE'C'，连接E'D．过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E'作EG'⊥BC'，垂足为G'．过点E'作E'F∥BA，过点D作DF∥BC交AB于点H,E'F、DF交于点F．由旋转的特征得BE=BE',∠CBE=∠C'BE',EG=E'G【详解】【问题解决】解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△D'AE中，AD=AD'∴①△ADE≌∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'中，∵CD'=BD=3∴DE=D'【知识迁移】DN2证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF过点D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接

由旋转的特征得AE=AF由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE，∴EF=DF+BE=DF+DF在△AEF和△AF'F∴△AEF≌AF'∴∠EAF=∠F又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°．∵DH⊥BD，∴∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°．在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH,AB=AD,∠ABM=∠ADH，∴△ABM≌△ADHASA∴AM=AH,BM=DH．在△AMN和△AHN中，AM=AH,∠MAN=∠HAN,AN=AN，∴△AMN≌△AHN(SAS∴MN=HN．在Rt△HND中，D∴DN【拓展应用】2BE证明：如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM,HE．则△ADF≌△AGH．则DF=GH,AG=AD,AF=AH，∠DAF=∠HAG，∵∠EAF=45°，∴∠HAE=∠HAG+∠GAE=∠DAF+∠GAE=45°，在△AEH和△AFE中AH=AF∠HAE=∠FAE=45°∴△AEH≌△AEF(SAS∴EF=HE，过点H作HO⊥CB交CB于点O，过点H作HG⊥BM交BM于点M，则四边形OHGB为矩形．∴OH=BG,OB=HG，∵∠CEF=45°，∴∠CEF=∠CFE=∠DFN=∠DNF=∠BME=∠BEM=45°，∴△BME,△DNF,△CEF,△AMN是等腰直角三角形，∴CE=CF,BE=BM,DN=DF,AN=AM，∴AM-AG=AN-AD，∴GM=DN=DF=HG，∴∠HMG=45°，∴∠HME=45°+45°=90°，在Rt△OHE中，OE2∴(GH+BE)2即(GH+BE)2又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM，∴(GH+BE)2即2D【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE'C'，连接E'D．过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E'作EG'⊥BC'，垂足为G'．过点E'作

由旋转的特征得BE=BE∵∠ABC=90°,∠DBE=45°，∴∠CBE+∠DBA=45°，∴∠C'B在△EBD和△E'BD∴△EBD≌△E∴DE=DE∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3，∴AC=A又∵AD=x,CE=y，∴DE∵DF∥∴∠ADH=∠C,∠AHD=∠ABC=90°，∴△AHD∽△ABC，∴AHAB=∴HB=AB-AH=4-4同理可得EG=4∴E∵E∴E又∵E'∴四边形FE∴∠F=90°,FH=EFE在Rt△E'∴1-解得y=21x-60【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N

（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，BM2（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图【答案】图②的结论是：BM2+NC2【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，选②，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在BK上截取BQ=CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，构造全等三角形，得出AN=AQ，∠CAN=∠QAB，再证明△AQM≌△ANM，得到MN=QM；在Rt△QHM中由勾股定理得QH2+H【详解】解：图②的结论是：B证明：∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在BK上截取BQ=CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为

∵AB=AC，∠C=∠ABQ，CN=BQ∴△ACN≌△ABQ∴AN=AQ，∠CAN=∠QAB又∵∠CAN+∠BAM=30°∴∠BAM+∠QAB=30°即∠QAM=∠MAN又∵AM=AM，∴△AQM≌△ANM，∴MN=QM；∵∠ABQ=60°,∠ABC=60°,∴∠QBH=60°，∴∠BQH=30°,∴BH=12∴HM=BM+BH=BM+1在Rt△QHM中,可得：即3整理得B∴B图③的结论是：B证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°，在BK上截取BQ=CN，连接QA、QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为

∵AB=AC，∠C=∠ABQ，CN=BQ∴△ACN≌△ABQ∴AN=AQ，∠CAN=∠QAB又∵∠CAN+∠BAM=60°∴∠BAM+∠QAB=60°即∠QAM=∠MAN又∵AM=AM，∴△AQM≌△ANM，∴MN=QM在Rt△BQH中，∠QBH=60°，∴BH=12HM=BM-BH=BM-1在Rt△QHM中,可得：即3整理得B∴B14．（2023·江苏南通·中考真题）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵

(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是___________；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG【答案】(1)AF(2)∠GDC的度数为45°或135°(3)2【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到△ABE≌△ADF，即可得到答案；（2）当点E在边BC上时，过点G作GM⊥AD，垂足为M，延长MG交BC于点N，证明△AMG≌△GNE，得到AM=GN，推出当点E在边CD上时，过点G作GN⊥DF，垂足为N，延长NG交BA延长线于点M，则四边形ADNM是矩形，同理得到△AMG≌△GNE，得到（3）由平行的性质得到分线段成比例FGAG【详解】（1）AF．∵正方形ABCD，∴AB=AD,∠B=∠D=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF．（2）解：①当点E在边BC上时（如图），过点G作GM⊥AD，垂足为M，延长MG交BC于点N．∴∠AMG=∠DMG=∠GNE=90°，四边形CDMN是矩形．∴∠2+∠3=90°．∵EG⊥AF，∠EAF=45°，∴∠2+∠1=90°，△AEG为等腰直角三角形，AG=EG．∴∠1=∠3．∴△AMG≌∴AM=GN．∵AM+MD=GN+MG，∴MD=MG．∴△MDG为等腰直角三角形，∠4=45°．∴∠GDC=45°．

②当点E在边CD上时（如图），过点G作GN⊥DF，垂足为N，延长NG交BA延长线于点M，则四边形ADNM是矩形，同理，△AMG≌∴GN=AM=DN．∴△NDG为等腰直角三角形，∠1=45°．∴∠GDC=180°-45°=135°．

综上，∠GDC的度数为45°或135°．（3）解：当点F在边CD延长线上时，点E在边CD上（如图），设GN=DN=a，则DG=2∴DF=DG=2∴FN=DF-DN=2∵GN∥∴FGAG【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]EF【分析】[探究一]证明△CNM≌△CNH，即可得证；[探究二]根据正方形的性质证明∠CEF=∠FNB，根据三角形内角和得出∠CEF=∠FNB，加上公共角∠ECF=∠NCM，进而即可证明[探究三]先证明△ECD∽△NCA，得出∠CED=∠CNA，ECNC=CDAC=12，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上．得出△NCG≌△NCM，根据全等三角形的性质得出∠MNC=∠GNC，进而可得∠CNM=∠CEF，证明△ECF∽△NCM【详解】[探究一]∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，∴CM=CH,∠MCH=90°，∴∠NCH=∠MCH-∠MCN=90°-45°=45°，∴∠MCN=∠HCN，在△CNM与△CNH中CM=CH∴△CNM≌△CNH∴∠CNM=∠CNH[探究二]证明：如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，又∠MCN=45°，∴∠FBN=∠FCE=45°，∵∠EFC=∠BFN，∴∠CEF=∠FNB，又∵∠CNM=∠CNH，∴∠CEF=∠CNM，又∵公共角∠ECF=∠NCM，∴△CEF∽△CNM；[探究三]证明：∵AC,BD是正方形的对角线，∴∠CDE=∠CDA+∠EDM=135°，∠CAN=180°-∠BAC=135°，∴∠CDE=∠CAN，∵∠MCN=∠DCA=45°，∴∠MCN-∠DCN=∠DCA-∠DCN，即∠ECD=∠NCA，∴△ECD∽△NCA，∴∠CED=∠CNA，ECNC如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上．

∴MC=GC，∠MCG=90°，∴∠NCG=∠NCM=45°，又CN=CN，∴△NCG≌△NCM，∴∠MNC=∠GNC，∵∠CNA=∠CEF，∴∠CNM=∠CEF，又∠ECF=∠NCM，∴△ECF∽△NCM，∴EFNM=EC即EFNM【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．题型06手拉手模型条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，图示：解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.16．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE

(1)求证：△CAD≌△CBE；(2)若AD=2时，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，18【分析】（1）由SAS即可证明△CAD≌△CBE；（2）证明△CAD≌△CBE（SAS），勾股定理得到DE，在Rt△CDE（3）证明AD【详解】（1）解：由题意，可知∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE．∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB．即∠ACD=∠BCE．∴△CAD≌△CBE(SAS（2）∵在Rt△ABC中，AC=BC=3∴∠CAB=∠CBA=45°,AB=2∴BD=AB-AD=6-2=4．∵△CAD≌△CBE，∴BE=AD=2，∠CBE=∠CAD=45°．∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∴DE=B∴在Rt△CDE中，CE=CD=（3）由（2）可知，AD∴当CD最小时，有AD2+B∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD=1∴AD即AD2+B【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2024·新疆·中考真题）【探究】（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和【运用】（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上，CE=23．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD【答案】（1）①CA=CE+CD，理由见解析；②CE=CA+CD，理由见解析；（2）6-3或6+2【分析】（1）①CA=CE+CD．证明△BAD≌△CAESAS可得BD=CE，即得BC=BD+CD=CE+CD，进而可得CA=CE+CD；②CE=CA+CD．同理①（2）分点D在BC上，∠EFC=90°和点D在BC的延长线上，∠CEF=90°两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解；本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】解：（1）①CA=CE+CD，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，∵AC=BC，∴CA=CE+CD；②CE=CA+CD，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∴CE=BD=BC+CD=CA+CD，即CE=CA+CD；（2）解：分两种情况：如图，当点D在BC上，∠EFC=90°时，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠EFD=∠ECD=60°，∴C、∵∠EFC=90°，∴CE为该圆的直径，∴∠CDE=90°，∵CE=23，∠ECD=60°∴CD=CE·cos∴BD=BC-CD=6-3如图，当点D在BC的延长线上，∠CEF=90°时，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠ACB=∠EFD=60°，∴∠ECD=120°，∴∠ECD+∠EFD=180°，∴C、∵∠CEF=90°，∴CF为该圆的直径，∴∠CDF=90°，∵∠EDF=60°，∴∠CDE=90°-60°=30°，∴∠CED=180°-120°-30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE=23∴BD=BC+CD=6+23综上，BD的长为6-3或6+218．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．【答案】（1）BE=DF；BE⊥DF；（2）证明见解析；（3）2【分析】（1）如图，由四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰直角三角形，AE=1，证明△BAE≌△DAF，再进一步可得结论；（2）如图，由∠BAD=90°，∠BGD=90°，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论；（3）如图，证明G在以O为圆心，OD为半径的⊙O上，过F作FN⊥AD于N，当∠BAE=α=60°时，证明∠AFD=90°，可得∠ADF=30°，∠AOG=2∠ADF=60°，证明四边形AEGF是正方形，可得当旋转角α从0°变化到60°时，G在AG上运动，再进一步解答即可；【详解】解：BE=DF；BE⊥DF；理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=90°，∵△AEF是等腰直角三角形，AE=1，∴AE=AF=1，∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠AMB=∠DMG，∴∠BGD=∠BAM=90°，∴BE⊥DF；（2）如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵点O是BD的中点，∴OA=OB=OD，∵BE⊥DF，∴∠BGD=90°，∵点O是BD的中点，∴OG=OB=OD，∴OA=OD=OG；（3）如图，∵∠BGD=90°，OB=OG=OD，∴G在以O为圆心，OD为半径的⊙O上，过F作FN⊥AD于N，当∠BAE=α=60°时，∴∠DAF=α=60°，∠AFN=30°，∵AF=AE=1，∴AN=12AF=∴DN=2-12=∴AF∴∠AFD=90°，∴∠ADF=30°，∴∠AOG=2∠ADF=60°，而∠EAF=∠EGF=90°，AE=AF=1，∴四边形AEGF是正方形，∴当旋转角α从0°变化到60°时，G在AG上运动，∵AB=2，OA=OB，AO⊥BD，∴OA=2×2∴点G经过路线的长度为60π【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.题型07正方形风车模型使用场景：已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90°图示：大招结论：1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB3)△EOF为等腰直角三角形4)5)6)(当OE⊥AB时OE取最小值)19．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6-24【答案】（1）4；4；（2）S1=【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键．操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为△BOC（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形OMCN是正方形，求解面积即可；（2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．证明△OGE≌△OHF，从而证明S四边形类比探究：先证明△EOB≌△FOC，从而证明BE+DF=CF+DF=CD，即可证明结论；拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．先证明△OGM≌△OHN，即可证明S△OGM=S△OHN，∠GOM=∠NOH，从而证明∠GOM=15°，根据tan15°=2-【详解】解：操作发现：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为S△BOC当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，∴∠OMC=∠MON=∠BCD=90°，∴四边形MONC是矩形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，OA=OC，∴∠MOC=∠MCO，∴OM=MC，∴四边形OMCN是正方形，∴OM=1∴四边形OMCN的面积是4，故答案为：4，4；（2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．∵O是正方形ABCD的中心，∴OG=OH，∵∠OGC=∠OHC=∠C=90°，∴四边形OGCH是矩形，∵OG=OH，∴四边形OGCH是正方形，∴∠GOH=∠EOF=90°，∴∠EOG=∠FOH，∵∠OGE=∠OHF=90°，∴△OGE≌△OHFASA∴S∴S∴S故答案为：S1类比探究：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OC=OD=OA，∠BCD=∠OCD=45°，∵∠FOE=∠BOC，∴∠EOB=∠FOC，∴△EOB≌△FOCASA∴BE=CF，∴BE+DF=CF+DF=CD，∵CD=2∴BE+DF=2拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．同（2）可知四边形OGBH是正方形，∴BG=BH，OG=OH，∵BM=BN，∴GM=NH，∵∠OGM=∠OHN=90°，∴△OGM≌△OHNSAS∴S△OGM=∵∠MON=60°，∴∠GOM=1由（1）可知OG=2，S正方形∴tan∴GM=2×2-∴S∴重叠部分的面积==4-2×=4320．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．【答案】（1）①1；②见解析；（2）PMPN=k，理由见解析；（3【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；②根据正方形的性质可得∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，∠APM=∠BPN，利用ASA证明△PAM≌△PBN即可；（2）过点P作PG∥BD交BC于G，利用平行线的性质及正方形的性质易证得∠PGC=∠PCG=∠PAM，∠APM=∠GPN，可证明△PAM∽△PGN，利用相似三角形性质即可得出答案；（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，利用AAS证得△PGM≌△ECN，可得：GM=CN，PG=EC，再证得△BPN∽△BCP，可得PB2=BC⋅BN，同理可得：PB2=BA⋅BM，推出EC=2CN，进而可得tan∠ENC=PHHN=【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：OA=OC，∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O∴k=PA故答案为：1；②证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APB=∠MPN=90°，∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，∴∠APB-∠BPM=∠MPN-∠BPM，即∠APM=∠BPN，∴△PAM≌△PBNASA∴PM=PN．（2）PMPN过点P作PG∥BD交BC于G，

∴∠AOB=∠APG，∠PGC=∠OBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°，∠PGC=∠PCG=∠PAM，∴PG=PC，∠APG-∠MPG=∠MPN-∠MPG，即∠APM=∠GPN，∴△PAM∽△PGN，∴PMPN（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，

则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°，∴∠MPN-∠GPN=∠GPH-∠GPN，即∠MPG=∠NPH，∴∠PMG=∠PNH，由（2）和已知条件可得：PM=kPN，EN=kPN，∴PM=EN，∴△PGM≌△ECNAAS∴GM=CN，PG=EC，∵∠BPN=∠PCB=45°，∠PBN=∠CBP，∴△BPN∽△BCP，∴PBBC∴PB同理可得：PB∵BC=BA，∴BM=BN，∴AM=CN，∴AG=2CN，∵∠PAB=45°，∴PG=AG，∴EC=2CN，∴tan∠ENC=令HN=a，则PH=2a，CN=3a，EC=6a，∴EN=3a∴k=EN【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．21．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含（参考数据：sin15°=【答案】(1)1，1，S(2)①△OMN是等边三角形，理由见解析；②3(3)tanα2【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°（3）当点M,N都在BC上时，过点O作OQ⊥BC于点Q，作OMN的外接圆，记为⊙P，连接PO,PM,PN，过点P作PK⊥MN于点K，则∠MPN=2∠MON=2α，MN=2MK设⊙P为R，由于S△OMN=12MN×OQ，而OQ为定值，故MN最小，则S△OMN最小，在Rt△PMK中，PK=R⋅cosα,MK=R⋅sinα，则当R最小，MN最小，因为OP+PK≥OQ，则R⋅cosα+R≥OQ，故当点O,P,K三点共线时，R取得最小值，此时在Rt△OQM中，MQ=OQ×tanα2=tanα2，则S2=12MN×OQ=12×2tanα2×1=tanα2；当点M在BC上，点N在CD上时，过点O作OT⊥CD于点T，过点OR⊥ON交BC于点【详解】（1）解：当OF与OB重合时，OE与OC重合，如图所示，重叠部分的面积=S当OF与BC垂直时，OE⊥CD，如图所示，重叠部分的面积=S一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S理由：设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．如图所示，∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（∴S△PMJ∴S四边形∴S1故答案为：1，1，S1（2）解：①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan15°=2-3∴CM=CJ-MJ=1-（∴S四边形（3）解：当点M,N都在BC上时，过点O作OQ⊥BC于点Q，作OMN的外接圆，记为⊙P，连接PO,PM,PN，过点P作PK⊥MN于点K，则∠MPN=2∠MON=2α，∵PK⊥MN,PM=PN，∴∠MPK=α，MN=2MK设⊙P为R，∵S△OMN=1∴MN最小，则S△OMN在Rt△PMK中，PK=R⋅∴MN=2R⋅sin∴当R最小，MN最小，∵OP+PK≥OQ，∴R⋅cos∴R≥OQ当点O,P,K三点共线时，R取得最小值，如图此时OQ垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOQ=1∴在Rt△OQM中，MQ=OQ×∴MN=2MK=2tan∴S2当点M在BC上，点N在CD上时，过点O作OT⊥CD于点T，过点OR⊥ON交BC于点R，如图同上可得△OTN≌△OQR，∴S△OTN∵SOMCN∴当S△OTN+S∵S△OTN∴S△ORM最小，则S同上，OQ垂直平分RM，如图此时RQ=QM=TN，∴CM=CN，∵CO=CO，∠MCO=∠NCO，∴△MCO≌△NCO，∴S2=2S∴∠QOM=45°-α∴QM=OQ⋅tan∴MC=1-tan∴S综上所述，S2的最小值为tanα2，S【点睛】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．题型08十字架模型使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O,互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF图示：大招结论：相等则垂直，垂直则相等.22．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂