2025届安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校高三下第一次（4月）月考数学试题

2025届安徽省合肥市巢湖市汇文实验学校高三下第一次（4月）月考数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．33．已知等比数列满足，，则（）A． B． C． D．4．已知命题，，则是（）A．， B．，.C．， D．，.5．已知集合M＝{y｜y＝2x，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－xA．（1，＋∞） B．（1，2） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）6．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A． B． C． D．9．已知为虚数单位，若复数，则A． B．C． D．10．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（）A．7 B．8 C．9 D．1011．的展开式中，满足的的系数之和为（）A． B． C． D．12．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A． B． C．4 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则展开式中的系数为__14．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）因为所以不是函数的周期；对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；“”是“”成立的充分必要条件；若实数满足则．15．已知向量，，且，则实数m的值是________．16．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量与时间的函数关系为（如图所示），实验表明，当药物释放量对人体无害.（1）______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷地区造林总面积造林方式人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过的概率；（3）在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.18．（12分）已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：.（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.20．（12分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．21．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.【详解】连接，则，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根据双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率故选：D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．A【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.3．B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，选B.4．B【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.5．B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2)．故选B．6．C【解析】

在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.7．C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．8．C【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率．故选：C【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.9．B【解析】

因为，所以，故选B．10．C【解析】

根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.11．B【解析】

，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．【详解】当时，的展开式中的系数为．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．12．D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1．【解析】

由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数．【详解】∵已知，则，

它表示4个因式的乘积．

故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项．

故展开式中的系数．

故答案为：1．【点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．14．【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式再判定即可.【详解】解：因为当时,所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确；对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确；当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误；若实数满足则所以成立,故正确．正确命题的序号是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.15．1【解析】

根据即可得出，从而求出m的值．【详解】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．16．240【解析】

（1）由时，，即可得出的值；（2）解不等式组，即可得出答案.【详解】（1）由图可知，当时，，即（2）由题意可得，解得则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.故答案为：（1）2；（2）40【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；（2）；（3）分布列见详解，数学期望为【解析】

（1）通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.（2）通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过的地区个数，然后可得结果.（3）计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数，退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为，列出所有取值并计算相应概率，然后可得结果.【详解】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.（2）记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区新封山育林面积占总面积的比值超过根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过，则（3）退化林修复面积超过一万公顷有6个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为0，1，2所以，，随机变量X的分布列如下：【点睛】本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.18．（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】

（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.【详解】（1），即，化简可得.令，，因为，所以，.所以，在上单调递减，.所以的最小值为.（2）要证，即.两边同除以可得.设，则.在上，，所以在上单调递减.在上，，所以在上单调递增，所以.设，因为在上是减函数，所以.所以，即.（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证，由可知，即要证.当时，，，因而在上单调递增.当时，，，因而在上单调递减.因为，所以，要证.即要证.记，.因为，所以，则..设，，当时，.时，，故.且，故，因为，所以.因此，即在上单调递增.所以，即.故得证.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.19．（1）（2）.【解析】

（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量，，则.（2），.，，整理得，化简得，即，，，，即.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.20．（1）（2）【解析】

（1）当时，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集