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文档简介

广东省陆丰市东海中学2025年高三数学试题第一次适应性测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.2.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°5.在三棱锥中,,,,,点到底面的距离为2,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.6.在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则()A. B. C. D.7.已知,则p是q的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是().A. B. C. D.9.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.10.设是虚数单位,,,则()A. B. C.1 D.211.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.12.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同;②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元;④利润最高的月份是2月份.14.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.15.已知函数是定义在上的奇函数,则的值为__________.16.若函数为偶函数,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.18.(12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)证明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.20.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的值域;(2)的角的对边分别为且,,求边上的高的最大值.21.(12分)已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数),若直线与圆相切,求实数的值.22.(10分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.2、D【解析】

由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.3、C【解析】

因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.4、C【解析】

如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.5、C【解析】

首先根据垂直关系可确定,由此可知为三棱锥外接球的球心,在中,可以算出的一个表达式,在中,可以计算出的一个表达式,根据长度关系可构造等式求得半径,进而求出球的表面积.【详解】取中点,由,可知:,为三棱锥外接球球心,过作平面,交平面于,连接交于,连接,,,,,,为的中点由球的性质可知:平面,,且.设,,,,在中,,即,解得:,三棱锥的外接球的半径为:,三棱锥外接球的表面积为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题,求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.6、D【解析】

由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以.故选:D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养7、B【解析】

根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选:B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.8、B【解析】

求出在的解析式,作出函数图象,数形结合即可得到答案.【详解】当时,,,,又,所以至少小于7,此时,令,得,解得或,结合图象,故.故选:B.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.9、A【解析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.10、C【解析】

由,可得,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解:,,解得:.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题,易错点是把当成进行运算.11、C【解析】

根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.12、C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若,根据线面平行的性质定理,可得;若,根据线面平行的判定定理,可得.故选:C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③【解析】

通过图片信息直接观察,计算,找出答案即可.【详解】对于①,2至月份的收入的变化率为20,11至12月份的变化率为20,故相同,正确.对于②,支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份的10万元,故支出最高值与支出最低值的比是6:1,正确.对于③,第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40万元,50万元,60万元,故第三季度的平均收入为50万元,正确.对于④,利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元,高于2月份的利润是80﹣60=20万元,错误.故答案为①②③.【点睛】本题考查利用图象信息,分析归纳得出正确结论,属于基础题目.14、2【解析】

将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.15、【解析】

先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.【详解】解:,又因为定义在上的奇函数,则,则,又因为,所以,,所以.故答案为:【点睛】本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.16、【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数,将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数,知其一次项的系数为0,所以,,所以,故答案为:-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数,求函数值,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出数列是以为首项,1为公差的等差数列,,,问题转化为证明:,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.【详解】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),,当时,f′(x)<2,当时,f′(x)>2,所以函数f(x)在上单调递减,在单调递增.(Ⅱ)设,则,因为x≥2,故,(ⅰ)当a≥1时,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)单调递减,而g(2)=2,所以对所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)当1<a<1时,2<1﹣a<1,若,则g′(x)>2,g(x)单调递增,而g(2)=2,所以当时,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)当a≤1时,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)单调递增,而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;综上,a的最小值为1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an•an+1,由a1=1得,an≠2,所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,,,⇔,由(Ⅱ)知a=1时,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因为,所以,故.法二:⇔下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即,则n=k+1时,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式对任何n∈N*都成立.故.考点:1利用导数研究函数的单调性;1、利用导数研究函数的最值;3、数列的通项公式;4、数列的前项和;5、不等式的证明.18、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)求出导函数,由在上恒成立,采用分离参数法求解;(2)观察函数,不等式凑配后知,利用时可证结论.【详解】(1)因为在上单调递减,所以,即在上恒成立因为在上是单调递减的,所以,所以(2)因为,所以由(1)知,当时,在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来,利用函数的特例得出不等式的证明.19、(Ⅰ)见解析(Ⅱ).【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.【详解】(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP⊂平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz,如图所示:则A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),设平面ACP的法向量为(x,y,z),则,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,|.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.20、(1).(2)【解析】

(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,得出结论.(2)由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得的最大值,可得边上的高的最大值.【详解】解:(1)∵函数,当时,,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,当且仅当时,取等号,即的最大值为3.再根据,故当取得最大值3时,取得最大值为.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式,考查正弦函数的性质,余弦定理,三角形面积

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