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文档简介
吉林省通化市梅河口市博文学校2025年高三下学期4月四校联考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.2.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.23.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.4.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象关于轴对称,则的最小正值是()A. B. C. D.5.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.7.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.8.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.9.已知的垂心为,且是的中点,则()A.14 B.12 C.10 D.810.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()A.2 B.5 C.7 D.811.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.12.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.14.设函数,若在上的最大值为,则________.15.若函数,则__________;__________.16.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知;.(1)若为真命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题且为假命题,求实数的取值范围.18.(12分)设的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)证明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.20.(12分)已知函数,.(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.21.(12分)已知函数.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)设函数.当时,,求的取值范围.22.(10分)在数列和等比数列中,,,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2.A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.3.B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.4.D【解析】
由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式,再利用诱导公式得到关于的方程,对赋值即可求解.【详解】由题意知,函数的最小正周期为,即,由函数的图象平移变换公式可得,将函数的图象向右平移个周期后的解析式为,因为函数的图象关于轴对称,所以,即,所以当时,有最小正值为.故选:D【点睛】本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质;熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.A【解析】
由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图,连接OP,AM,由题意得,点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.6.A【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.7.B【解析】
根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值.【详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B.【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.8.B【解析】
由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.9.A【解析】
由垂心的性质,得到,可转化,又即得解.【详解】因为为的垂心,所以,所以,而,所以,因为是的中点,所以.故选:A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10.B【解析】
求出,,,,,,判断出是一个以周期为6的周期数列,求出即可.【详解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一个以周期为6的周期数列,则.故选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.11.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.12.A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.14.【解析】
求出函数的导数,由在上,可得在上单调递增,则函数最大值为,即可求出参数的值.【详解】解:定义域为,在上单调递增,故在上的最大值为故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,属于基础题.15.01【解析】
根据分段函数解析式,代入即可求解.【详解】函数,所以,.故答案为:0;1.【点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用,属于基础题.16.【解析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径,由圆心在曲线上,设圆的圆心坐标,到直线的距离等于半径,再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标,进而求出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为,由题意可得,所以,由题意设圆心,由题意可得,由直线与圆相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值为2,当且仅当时取等号,可得,所以圆心坐标为:,半径为,所以圆的标准方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验正等号成立的条件.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)或【解析】
(1)根据为真命题列出不等式,进而求得实数的取值范围;(2)应用复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真.【详解】(1),且,解得所以当为真命题时,实数的取值范围是.(2)由,可得,又∵当时,,.∵当为真命题,且为假命题时,∴与的真假性相同,当假假时,有,解得;当真真时,有,解得;故当为真命题且为假命题时,可得或.【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题,存在性问题,考查复合命题的真假判断,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,由此求得的值,进而求得的大小.(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式,求得的表达式,进而求得的取值范围.【详解】(1)由题设知,,即,所以,即,又所以.(2)由题设知,,即,又为锐角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范围,求边的比值的取值范围,属于中档题.19.(Ⅰ)见解析(Ⅱ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.【详解】(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP⊂平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz,如图所示:则A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),设平面ACP的法向量为(x,y,z),则,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,|.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.20.(1);(2)不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】
(1)分类时,恒成立,时,分离参数为,引入新函数,利用导数求得函数最值即可;(2),导出导函数,问题转化为在上有解.再用导数研究的性质可得.【详解】解:(1)因为当时,恒成立,所以,若,为任意实数,恒成立.若,恒成立,即当时,,设,,当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,所以当时,取得最大值.,所以,要使时,恒成立,的取值范围为.(2)由题意,曲线为:.令,所以,设,则,当时,,故在上为增函数,因此在区间上的最小值,所以,当时,,,所以,曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而,即方程无实数解.故不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【点睛】本题考查不等式恒成立,考查用导数的几何意义,由导数几何把问题进行转化是解题关键.本题属于困难题.21.(1);(2).
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