从分数到分式-教学设计

从分数到分式-教学设计一、教学目标1.知识与技能目标了解分式的概念，能识别分式与整式。理解分式有意义、无意义及值为零的条件，并能熟练求出相应情况下分式中字母的取值范围。2.过程与方法目标通过类比分数的概念，探索分式的概念，体会类比的数学思想方法。通过对分式有意义、无意义及值为零条件的讨论，培养学生严谨的数学思维和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过数学活动，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在合作交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神。二、教学重难点1.教学重点分式的概念。分式有意义、无意义及值为零的条件。2.教学难点对分式概念中分母不为零的理解。分式值为零条件的综合运用。三、教学方法讲授法、讨论法、类比法相结合四、教学过程（一）导入新课1.展示一些实际问题，如：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？某工程队要修一条长为a米的路，原计划每天修b米，实际每天比原计划多修5米，那么实际完成这项工程比原计划少用多少天？2.引导学生根据问题列出式子：对于第一个问题，设江水的流速为vkm/h，可列出式子：\(\frac{90}{30+v}=\frac{60}{30v}\)。对于第二个问题，可列出式子：\(\frac{a}{b}\frac{a}{b+5}\)。3.观察这些式子，与我们以前学过的分数有什么不同？从而引出本节课的课题从分数到分式。（二）探究新知1.分式的概念让学生回顾分数的概念，如\(\frac{3}{5}\)，\(\frac{7}{9}\)等，引导学生思考分数的分子、分母有什么特点。观察刚才列出的式子\(\frac{90}{30+v}\)，\(\frac{60}{30v}\)，\(\frac{a}{b}\)，\(\frac{a}{b+5}\)，它们的形式与分数有什么相似之处？类比分数的概念，引导学生得出分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。强调分式概念中的关键要素：分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用。分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母。请学生判断下列式子哪些是分式，哪些是整式：\(\frac{x}{2}\)\(\frac{2}{x}\)\(\frac{x+y}{3}\)\(\frac{3}{x+y}\)\(\frac{x^2+1}{x1}\)\(5x1\)\(\frac{1}{π}\)\(\frac{ab}{c}\)学生回答后，教师进行点评和总结，进一步强化分式与整式的区别。2.分式有意义、无意义及值为零的条件分式有意义的条件引导学生思考：要使分数\(\frac{3}{5}\)有意义，分母5不能等于多少？类比分数，对于分式\(\frac{A}{B}\)，要使其有意义，分母B应满足什么条件？学生通过思考和讨论得出：分式\(\frac{A}{B}\)有意义的条件是分母\(B≠0\)。例如，对于分式\(\frac{2}{x}\)，当\(x≠0\)时，分式有意义。分式无意义的条件继续引导学生：当分母\(B=0\)时，分数\(\frac{3}{0}\)有意义吗？类比得出：分式\(\frac{A}{B}\)无意义的条件是分母\(B=0\)。例如，对于分式\(\frac{3}{x2}\)，当\(x=2\)时，分式无意义。分式值为零的条件思考：分数\(\frac{0}{5}\)的值是多少？要使分数的值为零，分子和分母需要满足什么条件？类比分数，对于分式\(\frac{A}{B}\)，当分子\(A=0\)且分母\(B≠0\)时，分式的值为零。例如，对于分式\(\frac{x1}{x+2}\)，当\(x=1\)时，分子\(x1=0\)，此时分母\(x+2=3≠0\)，所以分式的值为零。组织学生进行小组讨论，完成以下表格：|分式|有意义的条件|无意义的条件|值为零的条件|||||||\(\frac{1}{x}\)|||||\(\frac{x+1}{x2}\)|||||\(\frac{x^24}{x+2}\)||||小组讨论后，每组派代表发言，教师进行点评和总结，确保学生理解并掌握分式有意义、无意义及值为零的条件。（三）例题讲解1.例1：当\(x\)取何值时，下列分式有意义？\(\frac{1}{x1}\)\(\frac{2x}{x^2+1}\)\(\frac{3}{x^24}\)解：对于分式\(\frac{1}{x1}\)，由分母\(x1≠0\)，解得\(x≠1\)。所以当\(x≠1\)时，该分式有意义。对于分式\(\frac{2x}{x^2+1}\)，因为\(x^2+1\)恒大于\(0\)，即\(x^2+1≠0\)对于任意实数\(x\)都成立。所以\(x\)取任意实数时，该分式都有意义。对于分式\(\frac{3}{x^24}\)，由分母\(x^24≠0\)，即\((x+2)(x2)≠0\)，解得\(x≠2\)且\(x≠2\)。所以当\(x≠2\)且\(x≠2\)时，该分式有意义。总结：对于分式有意义的问题，关键是找出使分母不为零的条件，通过求解不等式得到\(x\)的取值范围。2.例2：当\(x\)为何值时，下列分式无意义？\(\frac{x+1}{2x3}\)\(\frac{5}{x^21}\)解：对于分式\(\frac{x+1}{2x3}\)，由分母\(2x3=0\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。所以当\(x=\frac{3}{2}\)时，该分式无意义。对于分式\(\frac{5}{x^21}\)，由分母\(x^21=0\)，即\((x+1)(x1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)。所以当\(x=1\)或\(x=1\)时，该分式无意义。总结：分式无意义的情况就是分母等于零的情况，通过解方程求出使分母为零的\(x\)的值。3.例3：当\(x\)为何值时，下列分式的值为零？\(\frac{x2}{x+3}\)\(\frac{x^29}{x+3}\)解：对于分式\(\frac{x2}{x+3}\)，由分子\(x2=0\)，解得\(x=2\)。当\(x=2\)时，分母\(x+3=2+3=5≠0\)。所以当\(x=2\)时，该分式的值为零。对于分式\(\frac{x^29}{x+3}\)，由分子\(x^29=0\)，即\((x+3)(x3)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=3\)。当\(x=3\)时，分母\(x+3=0\)，分式无意义，应舍去。所以当\(x=3\)时，该分式的值为零。总结：分式值为零需要同时满足分子为零且分母不为零这两个条件，缺一不可。先求解分子为零的方程，再检验分母是否不为零，舍去使分母为零的解。（四）课堂练习1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？\(\frac{a}{3}\)\(\frac{1}{x+y}\)\(\frac{x+1}{2}\)\(\frac{xy}{xy}\)\(\frac{2}{π}\)\(x^2+\frac{1}{x}\)2.当\(x\)取何值时，下列分式有意义？\(\frac{3}{x5}\)\(\frac{2x+1}{3x+4}\)\(\frac{1}{x^21}\)3.当\(x\)为何值时，下列分式无意义？\(\frac{5}{2x3}\)\(\frac{x2}{x^2+2}\)\(\frac{3}{(x1)(x+2)}\)4.当\(x\)为何值时，下列分式的值为零？\(\frac{x4}{x+1}\)\(\frac{x^216}{x+4}\)\(\frac{2x6}{x^29}\)学生完成练习后，教师进行巡视指导，及时纠正学生的错误，并对学生的练习情况进行点评和总结。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容：分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。分式有意义、无意义及值为零的条件：分式\(\frac{A}{B}\)有意义的条件是分母\(B≠0\)。分式\(\frac{A}{B}\)无意义的条件是分母\(B=0\)。分式\(\frac{A}{B}\)值为零的条件是分子\(A=0\)且分母\(B≠0\)。2.请学生分享本节课的收获和体会，培养学生的总结归纳能力和语言表达能力。教师对学生的发言进行补充和完善，强调重点知识和易错点。（六）布置作业1.书面作业：教材第[X]页练习第[X]题。当\(x\)取何值时，分式\(\frac{2x+1}{x^24}\)的值为正？2.拓展作业：查阅资料，了解分式在生活中的其他应用，并举例说明。思考：当分式\(\frac{A}{B}\)中分子\(A\)与分母\(B\)的次数相同（且最高次项系数不为零）时，分式的值有什么特点？五、教学反思通过本节课的教学，学生对分式的概念、分式有意义、无意义及值为零的条件有了初步的理解和掌握。在教学过程中，采用类比分数的方法引入分式的概念，符合学生的认知规律