矩阵的等价-相似-合同的关系及应用

矩阵的等价-相似-合同的关系及应用摘要：本文详细探讨了矩阵的等价、相似与合同这三种重要关系。首先阐述了它们各自的定义，接着深入分析了三者之间的联系与区别，包括相互推导的条件等。通过具体的例子展示了这些关系在矩阵运算、线性变换等方面的应用，为更好地理解和运用矩阵知识提供了全面的指导。一、引言矩阵是线性代数中的核心内容，而矩阵的等价、相似与合同关系在矩阵理论中具有举足轻重的地位。它们不仅反映了矩阵之间的内在联系，还在众多领域如物理学、工程学、计算机科学等有着广泛的应用。深入研究这三种关系，有助于我们更深入地理解矩阵的性质，解决相关的实际问题。二、矩阵的等价（一）定义设\(A\)，\(B\)是两个\(m\timesn\)矩阵，如果存在可逆矩阵\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)等价，记作\(A\congB\)。（二）等价矩阵的性质1.反身性：\(A\congA\)，因为\(IAI=A\)（其中\(I\)为单位矩阵）。2.对称性：若\(A\congB\)，则\(B\congA\)，由\(PAQ=B\)可得\(P^{1}BQ^{1}=A\)。3.传递性：若\(A\congB\)，\(B\congC\)，则\(A\congC\)。设\(PAQ=B\)，\(RBS=C\)，则\((RP)A(QS)=C\)。（三）等价标准形对于任意一个\(m\timesn\)矩阵\(A\)，总可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为如下形式的矩阵：\[\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\]其中\(I_r\)是\(r\)阶单位矩阵，\(r\)等于矩阵\(A\)的秩\(rank(A)\)，这个矩阵称为矩阵\(A\)的等价标准形。（四）等价关系在矩阵运算中的应用1.求矩阵的秩：通过初等变换将矩阵化为等价标准形，标准形中单位矩阵的阶数就是原矩阵的秩。例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换：\[\begin{align*}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}&\xrightarrow{R_22R_1,R_33R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}\]可得\(rank(A)=1\)。2.解线性方程组：将线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为等价矩阵，从而求解方程组。设线性方程组\(Ax=b\)，其中\(A\)为系数矩阵，\(x\)为未知数向量，\(b\)为常数向量。对增广矩阵\((A|b)\)进行初等行变换，若化为\((\widetilde{A}|\widetilde{b})\)，则\((\widetilde{A}|\widetilde{b})\)与\((A|b)\)等价，且同解。三、矩阵的相似（一）定义设\(A\)，\(B\)是\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{1}AP=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)相似，记作\(A\simB\)。（二）相似矩阵的性质1.反身性：\(A\simA\)，因为\(I^{1}AI=A\)。2.对称性：若\(A\simB\)，则\(B\simA\)，由\(P^{1}AP=B\)可得\(PBP^{1}=A\)。3.传递性：若\(A\simB\)，\(B\simC\)，则\(A\simC\)。设\(P^{1}AP=B\)，\(Q^{1}BQ=C\)，则\((PQ)^{1}A(PQ)=C\)。4.特征值相同：若\(A\simB\)，则\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明：因为\(P^{1}AP=B\)，则\(\vert\lambdaIB\vert=\vert\lambdaIP^{1}AP\vert=\vertP^{1}(\lambdaIA)P\vert=\vert\lambdaIA\vert\)。5.行列式相等：若\(A\simB\)，则\(\vertA\vert=\vertB\vert\)。由\(\vertB\vert=\vertP^{1}AP\vert=\vertP^{1}\vert\vertA\vert\vertP\vert=\vertA\vert\)可得。6.秩相等：若\(A\simB\)，则\(rank(A)=rank(B)\)。因为相似矩阵可经过相似变换相互转化，而相似变换不改变矩阵的秩。（三）相似对角化1.定义：如果一个\(n\)阶方阵\(A\)相似于一个对角矩阵\(\Lambda\)，即\(P^{1}AP=\Lambda\)，其中\(\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\)，则称矩阵\(A\)可相似对角化。2.可相似对角化的条件：\(n\)阶方阵\(A\)可相似对角化的充分必要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。若\(A\)的\(n\)个特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)互不相同，则\(A\)可相似对角化。对于\(A\)的每个特征值\(\lambda_i\)，其几何重数等于代数重数时，\(A\)可相似对角化。例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求其特征值：\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&0&0\\0&\lambda3&1\\0&0&\lambda3\end{vmatrix}=(\lambda2)(\lambda3)^2\)特征值为\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=3\)。对于\(\lambda=3\)，求其线性无关的特征向量：\((3IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)可得特征向量\(\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，再求\(\lambda=2\)对应的特征向量\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)。由于\(A\)有三个线性无关的特征向量，所以\(A\)可相似对角化，令\(P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，则\(P^{1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)。（四）相似关系在矩阵运算中的应用1.计算矩阵的幂：若\(A\sim\Lambda\)，即\(P^{1}AP=\Lambda\)，则\(A=P\LambdaP^{1}\)，\(A^k=P\Lambda^kP^{1}\)，而\(\Lambda^k\)是对角矩阵，其幂次计算简单。例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\)，求\(A^n\)。先求\(A\)的特征值，\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda1&2\\0&\lambda3\end{vmatrix}=(\lambda1)(\lambda3)\)，特征值\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)。求特征向量，对于\(\lambda=1\)，\((IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}0&2\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)；对于\(\lambda=3\)，\((3IA)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，得\(\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)。令\(P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，则\(P^{1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\)。\(A^n=P\Lambda^nP^{1}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n&0\\0&3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3^n1\\0&3^n\end{pmatrix}\)。2.判断矩阵是否可对角化：根据可相似对角化的条件，通过求矩阵的特征值和特征向量来判断。四、矩阵的合同（一）定义设\(A\)，\(B\)是\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)合同，记作\(A\simeqB\)。（二）合同矩阵的性质1.反身性：\(A\simeqA\)，因为\(I^TAI=A\)。2.对称性：若\(A\simeqB\)，则\(B\simeqA\)，由\(C^TAC=B\)可得\((C^T)^{1}BC^{1}=A\)，即\((C^{1})^TBC^{1}=A\)。3.传递性：若\(A\simeqB\)，\(B\simeqC\)，则\(A\simeqC\)。设\(C_1^TAC_1=B\)，\(C_2^TBC_2=C\)，则\((C_1C_2)^TA(C_1C_2)=C\)。4.秩相等：若\(A\simeqB\)，则\(rank(A)=rank(B)\)。因为合同变换不改变矩阵的秩，由\(C^TAC=B\)，\(rank(B)=rank(C^TAC)\leqrank(A)\)，且\(A=(C^T)^{1}BC^{1}\)，\(rank(A)\leqrank(B)\)，所以\(rank(A)=rank(B)\)。5.正负惯性指数相同：二次型\(f(x)=x^TAx\)与\(g(x)=x^TBx\)合同，则它们的正负惯性指数相同。（三）合同关系在二次型中的应用1.化二次型为标准形：通过合同变换将二次型对应的矩阵化为对角矩阵，从而得到二次型的标准形。对于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3\)，其矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\)。求可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC\)为对角矩阵。对\(A\)进行合同变换：\[\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{R_2R_1,R_3R_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{R_3R_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{C_2C_1,C_3C_1}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{C_3C_2}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}\]通过一系列初等行变换和相应的初等列变换得到可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，则二次型化为标准形\(f(y_1,y