经济数学基础教案4

经济数学基础教案4一、教学目标1.知识目标理解不定积分的概念与性质。掌握不定积分的基本公式。熟练运用换元积分法和分部积分法求不定积分。2.能力目标通过不定积分概念的学习，培养学生的抽象思维能力。在不定积分计算方法的学习中，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。3.情感目标培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。让学生体会数学在经济领域中的重要应用，增强学习数学的兴趣。二、教学重难点1.教学重点不定积分的概念和性质。基本积分公式的应用。换元积分法和分部积分法的运用。2.教学难点换元积分法中如何正确选择换元方式。分部积分法中如何合理选择u和dv。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）课程导入（5分钟）通过回顾导数的概念，提问学生：已知一个函数的导数，如何求原函数？引出本节课的主题不定积分。（二）知识讲解1.不定积分的概念（15分钟）设函数$f(x)$在某区间$I$内有定义，如果存在函数$F(x)$，使得对于该区间内任一点$x$，都有$F^\prime(x)=f(x)$，那么函数$F(x)$就称为$f(x)$在区间$I$内的一个原函数。例如，因为$(x^2)^\prime=2x$，所以$x^2$是$2x$的一个原函数；又因为$(x^2+1)^\prime=2x$，所以$x^2+1$也是$2x$的一个原函数。一般地，如果$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，那么$f(x)$的所有原函数都可以表示为$F(x)+C$（$C$为任意常数）。函数$f(x)$的全体原函数$F(x)+C$（$C$为任意常数）称为$f(x)$的不定积分，记作$\intf(x)dx$，即$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$\int$称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x)dx$称为被积表达式，$x$称为积分变量，$C$称为积分常数。通过具体例子，如求$\int2xdx$，进一步加深学生对不定积分概念的理解。2.不定积分的性质（10分钟）性质1：$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$为非零常数）。例如，$\int3x^2dx=3\intx^2dx$。性质2：$\int[f(x)\pmg(x)]dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx$。例如，$\int(2x+3x^2)dx=\int2xdx+\int3x^2dx$。强调性质的应用规则，通过简单的计算题目让学生练习，如求$\int(5x^32x+1)dx$。3.基本积分公式（15分钟）给出常见的基本积分公式，如：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq1$）。$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$。$\inte^xdx=e^x+C$。$\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C$（$a\gt0$且$a\neq1$）。$\int\sinxdx=\cosx+C$。$\int\cosxdx=\sinx+C$。逐一讲解每个公式的推导过程，帮助学生理解记忆。通过课堂练习，让学生运用基本积分公式求不定积分，如求$\intx^4dx$，$\int\frac{1}{x^2}dx$等。4.换元积分法（20分钟）第一类换元积分法设$f(u)$具有原函数$F(u)$，$u=\varphi(x)$可导，则有换元公式$\intf[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=F[\varphi(x)]+C$。例如，求$\int2x\cos(x^2)dx$。令$u=x^2$，则$du=2xdx$。原式$=\int\cosudu=\sinu+C=\sin(x^2)+C$。总结第一类换元积分法的步骤：凑微分、换元、积分、回代。通过练习题，如求$\int(3x+2)^5dx$，让学生掌握第一类换元积分法的应用。第二类换元积分法设$x=\varphi(t)$是单调的、可导的函数，并且$\varphi^\prime(t)\neq0$，又设$f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)$具有原函数$F(t)$，则$\intf(x)dx=\intf[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{1}(x)]+C$，其中$t=\varphi^{1}(x)$是$x=\varphi(t)$的反函数。例如，求$\int\frac{1}{\sqrt{1x^2}}dx$。令$x=\sint$，则$dx=\costdt$。原式$=\int\frac{\cost}{\cost}dt=\intdt=t+C=\arcsinx+C$。强调第二类换元积分法的关键在于选择合适的代换$x=\varphi(t)$，使积分变得容易计算。布置一些相关练习题，如求$\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$，让学生巩固第二类换元积分法。5.分部积分法（20分钟）设函数$u=u(x)$及$v=v(x)$具有连续导数，则$\intudv=uv\intvdu$。例如，求$\intx\cosxdx$。令$u=x$，$dv=\cosxdx$，则$du=dx$，$v=\sinx$。原式$=x\sinx\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。讲解分部积分法的选择原则：一般来说，当被积函数是幂函数与三角函数或指数函数的乘积时，可考虑用分部积分法，并让$u$为幂函数；当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，也可考虑用分部积分法，并让$u$为对数函数或反三角函数。通过练习题，如求$\intxe^xdx$，$\intx^2\lnxdx$等，让学生熟练掌握分部积分法。（三）课堂小结（5分钟）1.回顾不定积分的概念、性质。2.总结基本积分公式、换元积分法和分部积分法。3.强调计算不定积分时需要注意的问题，如积分常数的添加等。（四）课堂练习（15分钟）1.求下列不定积分：$\int(2x^33x^2+4x5)dx$$\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$$\int\sin^3xdx$$\intx\ln(1+x^2)dx$2.让学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。（五）课后作业1.求下列不定积分：$\int\frac{1}{x^24x+5}dx$$\int\frac{\lnx}{x^2}dx$$\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$$\int\cos^4xdx$2.思考：如何利用不定积分解决一些简单的经济问题，如已知边际成本求总成本函数等。五、教学反思通过本节课的教学，学生对不定积分的概念、性质、基本公式以及积分方法