中职数学：幂函数教学教案

中职数学：幂函数教学教案一、教学目标1.知识与技能目标理解幂函数的概念，能判断一个函数是否为幂函数。掌握常见幂函数\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的图象和性质。能利用幂函数的图象和性质解决简单的问题，如比较函数值大小、求函数定义域等。2.过程与方法目标通过观察、分析幂函数的图象，培养学生的识图能力和归纳总结能力。通过对幂函数性质的探究，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过幂函数图象的对称性等美学特征，培养学生对数学美的欣赏，激发学生学习数学的兴趣。在探究幂函数性质的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点幂函数的概念、图象和性质。利用幂函数的性质解决相关问题。2.教学难点幂函数图象和性质的探究过程。理解幂函数性质与指数之间的关系，并能灵活运用这些性质。三、教学方法1.讲授法：讲解幂函数的基本概念、性质及相关知识点，使学生对幂函数有初步的认识。2.直观演示法：通过多媒体展示幂函数的图象，让学生直观地观察幂函数图象的特征，帮助学生理解幂函数的性质。3.小组合作探究法：组织学生进行小组讨论，探究幂函数的性质，培养学生的合作能力和自主探究能力。4.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用幂函数性质解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.引导学生回顾初中学习过的函数，如一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)、二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)等。提问：这些函数的表达式有什么共同特点？它们的图象和性质是什么样的？2.展示几个函数：\(y=2x^{3}\)，\(y=3x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{2}\)，让学生观察这些函数与之前学过的函数有什么不同。引出课题：幂函数（二）讲解新课（25分钟）1.幂函数的概念给出幂函数的定义：一般地，函数\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\)为常数）叫做幂函数，其中\(x\)是自变量，\(\alpha\)是常数。强调幂函数的表达式中，底数\(x\)是自变量，指数\(\alpha\)是常数，系数为\(1\)。让学生判断以下函数哪些是幂函数：\(y=5x\)，\(y=x^{4}+1\)，\(y=\frac{1}{x^{2}}\)，\(y=\sqrt[3]{x}\)，\(y=(2)x^{\frac{1}{2}}\)通过判断，加深学生对幂函数概念的理解。2.幂函数的图象和性质让学生在同一平面直角坐标系中画出幂函数\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的图象。小组合作探究：观察这几个幂函数的图象，讨论它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并完成以下表格：|幂函数|定义域|值域|单调性|奇偶性|图象特征|||||||||\(y=x\)|||||||\(y=x^{2}\)|||||||\(y=x^{3}\)|||||||\(y=x^{\frac{1}{2}}\)|||||||\(y=x^{1}\)||||||各小组派代表发言，展示小组讨论结果。教师根据学生的发言进行补充和完善，总结幂函数的性质：定义域：当\(\alpha=1\)时，定义域为\(R\)；当\(\alpha=2\)时，定义域为\(R\)；当\(\alpha=3\)时，定义域为\(R\)；当\(\alpha=\frac{1}{2}\)时，定义域为\([0,+\infty)\)；当\(\alpha=1\)时，定义域为\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。值域：当\(\alpha=1\)时，值域为\(R\)；当\(\alpha=2\)时，值域为\([0,+\infty)\)；当\(\alpha=3\)时，值域为\(R\)；当\(\alpha=\frac{1}{2}\)时，值域为\([0,+\infty)\)；当\(\alpha=1\)时，值域为\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。单调性：当\(\alpha>0\)时，幂函数在\([0,+\infty)\)上单调递增；当\(\alpha<0\)时，幂函数在\((0,+\infty)\)上单调递减。奇偶性：当\(\alpha\)为奇数时，幂函数是奇函数；当\(\alpha\)为偶数时，幂函数是偶函数；当\(\alpha\)为分数且分子为偶数、分母为奇数时，幂函数是非奇非偶函数。图象特征：所有的幂函数图象都过点\((1,1)\)。当\(\alpha>0\)时，幂函数图象在第一象限内上升；当\(\alpha<0\)时，幂函数图象在第一象限内下降。3.幂函数性质的应用比较函数值大小例1：比较\(1.5^{\frac{1}{2}}\)与\(1.7^{\frac{1}{2}}\)的大小。分析：因为幂函数\(y=x^{\frac{1}{2}}\)在\([0,+\infty)\)上单调递增，且\(1.5<1.7\)，所以\(1.5^{\frac{1}{2}}<1.7^{\frac{1}{2}}\)。例2：比较\((1.2)^{3}\)与\((1.5)^{3}\)的大小。分析：幂函数\(y=x^{3}\)是奇函数，且在\(R\)上单调递增。\((1.2)^{3}=(1.2)^{3}\)，\((1.5)^{3}=(1.5)^{3}\)，因为\(1.2^{3}<1.5^{3}\)，所以\((1.2)^{3}>(1.5)^{3}\)，即\((1.2)^{3}>(1.5)^{3}\)。求函数定义域例3：求函数\(y=x^{\frac{3}{4}}\)的定义域。分析：由幂函数的定义可知，\(y=x^{\frac{3}{4}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}\)，要使函数有意义，则\(x>0\)，所以函数的定义域为\((0,+\infty)\)。（三）课堂练习（15分钟）1.比较下列各题中两个值的大小：\(2.5^{\frac{3}{4}}\)与\(2.7^{\frac{3}{4}}\)\((\frac{2}{3})^{1}\)与\((\frac{3}{5})^{1}\)\(3.14^{\frac{2}{3}}\)与\(\pi^{\frac{2}{3}}\)2.求下列函数的定义域：\(y=x^{\frac{5}{6}}\)\(y=x^{\frac{2}{3}}\)3.已知幂函数\(y=f(x)\)的图象过点\((2,\frac{\sqrt{2}}{2})\)，求函数\(y=f(x)\)的解析式，并判断其奇偶性。学生完成练习后，教师进行巡视指导，及时纠正学生出现的错误。然后请几位学生上台展示答案，教师进行点评和总结。（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括幂函数的概念、图象和性质，以及利用幂函数性质解决问题的方法。2.请学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行补充和完善。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.拓展作业：已知幂函数\(y=x^{\alpha}\)的图象过点\((4,2)\)，求不等式\(f(x+1)<f(2x1)\)的解集。五、教学反思通过本节课的教学，学生对幂函数的概念、图象和性质有了一定的理解和掌握。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、直观演示法、小组合作探究法等，充分调动了