2024-2025学年上海市高一下册3月月考数学学情检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市高一下学期3月月考数学学情检测试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效.2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号.3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、填空题（第1到6题每题4分，第7到12题每题5分，共计54分）1.已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．【正确答案】3或1分析】根据3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可．【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}，∴a22a=3，解得a=1或3故答案为1或3．本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．2.弧度数为2的角的终边落在第______象限.【正确答案】二【分析】将弧度化为角度,即可判断出所在象限.【详解】根据弧度与角度关系可知所以则弧度数为2的角的终边落在第二象限故答案为:二本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题.3.已知角的终边过点P（1，2），则___________.【正确答案】【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出的值，再利用两角和的正切公式求解即可【详解】因为角的终边过点P（1，2），所以，所以，故4若非零向量，且设，则实数__________．【正确答案】【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，故5.函数的定义域是__．【正确答案】【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.【详解】由，得，解得且，所以函数的定义域为.故答案为.6.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知米，米（），线段、线段、弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是______．【正确答案】【分析】根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式.【详解】根据题意，利用弧长公式可知（米），（米），整理得：，故答案为.7.对于任意实数，不等式无解，则实数的取值范围是___________.【正确答案】【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、进行求解处理.【详解】当时，即，则，无解，所以；当时，即，要使不等式无解，则，解得；综上，.故答案为.8.已知函数（）是偶函数，则的最小值是______．【正确答案】##【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，解得，又，所以当时，的最小值是.故答案为.9.如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________．【正确答案】【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案.【详解】设，其中，则，于是．因为是中点，所以，即或，又因为，所以，即点的纵坐标是.故答案为.10.已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.【正确答案】【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数.因为，所以等价于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为.方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可.11.设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是______.【正确答案】【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到关于的方程组，通过作差分析可得，最后检验即可.【详解】因为在区间上具有单调性，，则，故，，则的图象关于点对称，关于直线对称，，且，两式相减，可得，又因为，故，当时，由，得，又，则，故，所以它的最小正周期为.故答案为.12.设，满足，则的最小值为__________.【正确答案】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，，当且仅当时等号成立.故答案:.本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16每题5分，共18分）13.下列关系中，角存在的是（）A. B. C.且 D.【正确答案】B【分析】由题意结合两角和的正弦公式可得，即可判断A、B；利用同角三角函数的平方关系可判断C；由两角和的余弦公式可得，即可判断D；即可得解.【详解】对于A、B，，因为，，故A不存在，B存在；对于C，若且，则，故C不存在；对于D，，因为，故D不存在.故选：B.本题考查了三角恒等变换的应用，考查了同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.14.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件和必要条件结合正弦定理分析判断即可.【详解】当时，，则由正弦定理得，当时，由正弦定理得，所以，所以“”是“”的充要条件，故选：C15.若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由，求得，结合夹角公式即可求解；【详解】设，由，可得，所以，所以，又，所以向量、的夹角为，故选：B16.已知，，，，满足，，，有以下个结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①、②都成立B.结论①不成立、②成立C.结论①成立、②不成立D.结论①、②都不成立【正确答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.【详解】对于结论①，∵，，∴，，∴，∴，∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵又∵∴化简得，∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.方法二：（特值法）当时，，∴，∴.∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.故选：B.本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.三、解答题（第17、18、19每题14分，第20、21每题18分，共78分）17.已知向量与的夹角为，，．（1）求；（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围．【正确答案】（1）1（2）【分析】（1）通过求平方即可求解；（2）根据与的夹角为锐角，由a+b⋅λa+b>0且【小问1详解】，所以【小问2详解】因为与的夹角为锐角，所以a+b⋅λa+b首先λa因为，所以，解得；其次当时，由（1）得与的夹角为，所以，所以的取值范围为．18.已知在中，所对边分别为，且.（1）若，求面积；（2）若，求的周长.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求，再利用正弦定理即可求解.【小问1详解】，【小问2详解】依题意，正弦定理：，所以代入计算：，则.当为锐角时，，所以，当为钝角时，，所以，综上：或.19.已知函数（且）.（1）讨论的奇偶性与单调性；（2）若不等式的解集为，求的值.【正确答案】（1）是奇函数；单调性见解析（2）或【分析】（1）先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断的奇偶性；利用复合函数的单调性判断的单调性，从而得解；（2）利用（1）中结论，分类讨论并转化的等价条件，从而得解.【小问1详解】对于，有，解得，故的定义域为，又，故是奇函数；因为，易得在上单调递增，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减；【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递增，且为奇函数，则等价于，即，则，得；当时，在上单调递减，且为奇函数，则等价于，即，则，得；综上，或.20.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在锐角三角形中，若，求的取值范围；（3）设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用三角恒等变形，最后化为已知角的某个三角函数值，去求另一个角的三角函数值；（2）利用三角形已知一个角，再利用三角形内角和消元，从而化为一个三角函数的值域来求解；（3）利用二倍角关系，转化为同一个角的三角函数式上来，再利用分离参变量思想来求解.【小问1详解】，由题意知，所以，又，，则，故；【小问2详解】由得，，，，，故，由是锐角三角形，得，则，得，即的取值范围为；【小问3详解】，当时，，令，则，在区间上恒成立，等价于关于的不等式在区间上恒成立，即有在区间上恒成立，又在区间上单调递减，当时，有最大值，故有，即的取值范围为．21.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）已知，，，若，，求的值（3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离