2024-2025学年山东省烟台市招远市高二上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省烟台市招远市高二上学期期末数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且满足OM=3MA，N为A.12a−34b+122.已知向量a=(2,−3,0)，b=(0,3,4)，则向量a在向量b方向上的投影向量的模为(

)A.139 B.91313 3.已知A(1,2)，B(−2,0)，过点C(−1,4)的直线l与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.k>1或k<−4 B.−4<k<1 C.−1<k<4 D.k>4或k<−14.“a=14”是直线l1:(2a−1)x−ay+1=0与直线lA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过AA.23 B.12 C.136.设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若A.x24−y24=1 B.7.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)

A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块8.已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a2，a2022是方程x2−3x+2=0的两个根，则A.20233 B.20232 C.2023 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CA.D1D⊥AF

B.直线A1G与EF所成角的余弦值为1010

C.三棱锥G−AEF的体积为10.已知：A(−1,0)，B(1,0)，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2则(

)A.当k1⋅k2=−2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆

B.当k1⋅k2=2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线

C.当k1k2=211.已知数列an的前n项和Sn=−nA.an=−2n+32 B.S17为Sn中的最大项

C.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=3，若E为13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≥0且λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足|PA||PB|=2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB与平面PBD

的

夹角的大小．16.(本小题12分)

已知圆C：(x+2)2+y2=5，直线l：mx−y+1+2m=0，m∈R．

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；

(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

(3)是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l17.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，A(a(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．18.(本小题12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2+3a4=25，且a3+2，a4，a5−2成等比数列．19.(本小题12分)

已知数列{an}是首项为2的等比数列，公比q>0，且a4是6a2和a3的等差中项．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设数列{bn答案和解析1.【正确答案】D

如图，连接ON，

∵N是BC的中点，∴ON=12OB+12OC，

∵OM=32.【正确答案】D

∵向量a=2,−3,0,b=0,3,4，

∴b=02+32+423.【正确答案】C

因为A(1,2)，B(−2,0)，C(−1,4)，

所以直线AC的斜率kAC=−1，直线BC的斜率kBC=4，

因为直线l过点C(−1,4)与线段AB不相交，

所以kAC<k<kBC，

即4.【正确答案】C

当a=0时，两直线的斜率都不存在，

它们的方程分别是x=1，x=1，显然两直线是重合的，舍去．

当a≠0时，两直线的斜率都存在，且它们的斜率相等，

则2a−1a=−12a，解得：a=14．

经验证，a=14时，两直线不重合，符合条件．

综上，a=15.【正确答案】D

由题意可知：A(−a,0)，F1(−c,0)，F2(c,0)，

直线AP的方程为：y=36(x+a)，

由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，

则6.【正确答案】D

抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，

则直线l的方程为y=−b(x−1)，

∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，

∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，

∴−ba=−b，b7.【正确答案】C

设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1由等差数列性质知Sn，S2n−Sn则9n2=729则三层共有扇形面石板为S故选C．8.【正确答案】B

由题知

a2·a2022=a10122=2，

9.【正确答案】BD

在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，建立以D为原点，以DA、DC、D1D所在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系D−xyz，如图所示：

E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，

则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，F(0,2,1)，E(1,2,0)，G(2,2,1)，A1(2,0,2)，

对于A：DD1=(0,0,2)，AF=(−2,2,1)，

∴DD1⋅AF=2≠0，故A错误；

对于B：A1G=(0,2,−1)，EF=(−1,0,1)，

设直线A1G与EF所成角为α，

∴cosα=|cos<A1G，EF>|=|A1G⋅EF||A1G|⋅|EF|=12×5=10.【正确答案】ABD

不妨设点P(x,y)，则k1=yx+1，k2=yx−1;

对于选项A：

若k1⋅k2=−2，则yx+1⋅yx−1=−2，

即x2+y22=1，此时x≠±1，

所以此时对应的轨迹为椭圆，除去A、B两点，所以选项A正确．

对于选项B：

k1⋅k2=2，则yx+1·yx−1=2，整理得

x2−y22=1，x≠±1，

所以此时对应的轨迹为双曲线，除去A、B两点，所以选项B正确．11.【正确答案】AC

对于A：当

n=1

时，

a1=30

；

当

n≥2

时，

a经检验，当

n=1

时，

a1=−2+32=30

，

故

an=−2n+32对于B：令

an=−2n+32≥0

，则

n≤16

，

故当

n>17

时，

an<0

，故

S15

和

S16

为对于C：

a1+a3对于D：

|=16(a1+故选：AC12.【正确答案】18以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB1，

由题意得C(0,3,0)，E2,32,0，D1(0,0,2)，设平面D1EC的法向量为n=x,y,z令z=6，得n=3,4,6，

∴点B1至平面D13.【正确答案】8以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(−2,0)，B(2,0)，

设P(x,y)，

因为满足|PA||PB|=2，

所以(x+2)2+y2(x−2)2+y2=2，

两边平方并整理得x2+y2−12x+4=0，

即(x−6)14.【正确答案】{1,2,5}

由anbn=a1+a2n−12b1+b2n−12=A2n−115.【正确答案】(1)解：侧棱PD⊥底面ABCD，而AD，DC⊂底面ABCD，故PD⊥AD，PD⊥DC，

底面ABCD是正方形，故AD⊥DC，

故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设

DC=1

．依题意得

A1,0,0

，

B1,1,0

，

P0,0,1

，

所以

PA=1,0,−1

，

DB=1,1,0

，设平面EDB的一个法向量为

m=(x则有

DB⋅m=x取

m=(1,−1,1)

，则

PA⋅因为

PA⊄

平面EDB，因此

PA/​/

平面EDB．(2)解：依题意得

PB=1,1,−1因为

PB⋅DE所以

PB⊥ED

．由已知

EF⊥PB

，且

EF∩DE=E

，EF，ED⊂平面EFD，所以

PB⊥

平面EFD．(3)解：依题意得

C0,1,0

，且

CB=1,0,0

，

设平面CPB的一个法向量为

n=(x则

CB⋅n=x2=0,取

n=0,1,1同理可得PBD

的

一个法向量为

CA=(1,−1,0)

所以

cos ⟨n所以平面CPB与平面PBD的夹角为

π3

本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法，考查空间角的向量求法，属于中档题．

(1)以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为

m=(x1,y1(2)由

PB⋅DE=0

，结合

(3)求得平面CPB的一个法向量为

n=(x2,y2,z2)

，同理可得平面16.【正确答案】(1)证明：圆C：(x+2)2+y2=5的圆心为C(−2,0)，半径为5，

所以圆心C到直线l：mx−y+1+2m=0的距离|−2m+1+2m1+m2|=|11+m2|<5．

所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)解：设弦AB的中点为M(x,y)，

因为直线l：mx−y+1+2m=0恒过定点N(−2,1)，

可知直线l的斜率存在，

kAB=y−1x+2,kMC=yx+2,kAB·kMC=−1,

所以y−1x+2·yx+2=−1，

本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，与圆有关的轨迹问题，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是较难题．

(1)由圆心C到直线l：mx−y+1+2m=0的距离|−2m+1+2m1+m2|=|11+m2|<5，即可得解；

(2)设弦AB的中点为M(x,y)，直线l恒过定点N(−2,1)17.【正确答案】解：(Ⅰ)由题意可得e=ca=32，

又△OAB的面积为1，可得12ab=1，

且a2−b2=c2，

解得a=2，b=1，c=3，

可得椭圆C的方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)设椭圆上点P(x0,y0)，

可得x02+4y02=4，x0≠2，

当x0≠0时，

直线PA：y=y0x0−218.【正确答案】解：(1)由题意，n∈N∗，

在等