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文档简介
2024-2025学年山东省烟台市招远市高二上学期期末数学检测试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且满足OM=3MA,N为A.12a−34b+122.已知向量a=(2,−3,0),b=(0,3,4),则向量a在向量b方向上的投影向量的模为(
)A.139 B.91313 3.已知A(1,2),B(−2,0),过点C(−1,4)的直线l与线段AB不相交,则直线l的斜率k的取值范围是(
)A.k>1或k<−4 B.−4<k<1 C.−1<k<4 D.k>4或k<−14.“a=14”是直线l1:(2a−1)x−ay+1=0与直线lA.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的左顶点,点P在过AA.23 B.12 C.136.设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若A.x24−y24=1 B.7.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(
)
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块8.已知数列an是各项均为正数的等比数列,若a2,a2022是方程x2−3x+2=0的两个根,则A.20233 B.20232 C.2023 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E、F、G分别为BC、CA.D1D⊥AF
B.直线A1G与EF所成角的余弦值为1010
C.三棱锥G−AEF的体积为10.已知:A(−1,0),B(1,0),直线AP,BP相交于P,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2则(
)A.当k1⋅k2=−2时,P点的轨迹为除去A,B两点的椭圆
B.当k1⋅k2=2时,P点的轨迹为除去A,B两点的双曲线
C.当k1k2=211.已知数列an的前n项和Sn=−nA.an=−2n+32 B.S17为Sn中的最大项
C.a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=3,若E为13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≥0且λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足|PA||PB|=2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且An四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD
的
夹角的大小.16.(本小题12分)
已知圆C:(x+2)2+y2=5,直线l:mx−y+1+2m=0,m∈R.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点A、B;
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;
(3)是否存在实数m,使得圆C上有四点到直线l17.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A(a(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+a2+3a4=25,且a3+2,a4,a5−2成等比数列.19.(本小题12分)
已知数列{an}是首项为2的等比数列,公比q>0,且a4是6a2和a3的等差中项.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn答案和解析1.【正确答案】D
如图,连接ON,
∵N是BC的中点,∴ON=12OB+12OC,
∵OM=32.【正确答案】D
∵向量a=2,−3,0,b=0,3,4,
∴b=02+32+423.【正确答案】C
因为A(1,2),B(−2,0),C(−1,4),
所以直线AC的斜率kAC=−1,直线BC的斜率kBC=4,
因为直线l过点C(−1,4)与线段AB不相交,
所以kAC<k<kBC,
即4.【正确答案】C
当a=0时,两直线的斜率都不存在,
它们的方程分别是x=1,x=1,显然两直线是重合的,舍去.
当a≠0时,两直线的斜率都存在,且它们的斜率相等,
则2a−1a=−12a,解得:a=14.
经验证,a=14时,两直线不重合,符合条件.
综上,a=15.【正确答案】D
由题意可知:A(−a,0),F1(−c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:y=36(x+a),
由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,
则6.【正确答案】D
抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),
则直线l的方程为y=−b(x−1),
∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,
∵C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,
∴−ba=−b,b7.【正确答案】C
设每一层有n环,由题可知从内到外每环之间构成等差数列,公差d=9,a1由等差数列性质知Sn,S2n−Sn则9n2=729则三层共有扇形面石板为S故选C.8.【正确答案】B
由题知
a2·a2022=a10122=2,
9.【正确答案】BD
在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,建立以D为原点,以DA、DC、D1D所在的直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系D−xyz,如图所示:
E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),F(0,2,1),E(1,2,0),G(2,2,1),A1(2,0,2),
对于A:DD1=(0,0,2),AF=(−2,2,1),
∴DD1⋅AF=2≠0,故A错误;
对于B:A1G=(0,2,−1),EF=(−1,0,1),
设直线A1G与EF所成角为α,
∴cosα=|cos<A1G,EF>|=|A1G⋅EF||A1G|⋅|EF|=12×5=10.【正确答案】ABD
不妨设点P(x,y),则k1=yx+1,k2=yx−1;
对于选项A:
若k1⋅k2=−2,则yx+1⋅yx−1=−2,
即x2+y22=1,此时x≠±1,
所以此时对应的轨迹为椭圆,除去A、B两点,所以选项A正确.
对于选项B:
k1⋅k2=2,则yx+1·yx−1=2,整理得
x2−y22=1,x≠±1,
所以此时对应的轨迹为双曲线,除去A、B两点,所以选项B正确.11.【正确答案】AC
对于A:当
n=1
时,
a1=30
;
当
n≥2
时,
a经检验,当
n=1
时,
a1=−2+32=30
,
故
an=−2n+32对于B:令
an=−2n+32≥0
,则
n≤16
,
故当
n>17
时,
an<0
,故
S15
和
S16
为对于C:
a1+a3对于D:
|=16(a1+故选:AC12.【正确答案】18以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接CB1,
由题意得C(0,3,0),E2,32,0,D1(0,0,2),设平面D1EC的法向量为n=x,y,z令z=6,得n=3,4,6,
∴点B1至平面D13.【正确答案】8以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则A(−2,0),B(2,0),
设P(x,y),
因为满足|PA||PB|=2,
所以(x+2)2+y2(x−2)2+y2=2,
两边平方并整理得x2+y2−12x+4=0,
即(x−6)14.【正确答案】{1,2,5}
由anbn=a1+a2n−12b1+b2n−12=A2n−115.【正确答案】(1)解:侧棱PD⊥底面ABCD,而AD,DC⊂底面ABCD,故PD⊥AD,PD⊥DC,
底面ABCD是正方形,故AD⊥DC,
故以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设
DC=1
.依题意得
A1,0,0
,
B1,1,0
,
P0,0,1
,
所以
PA=1,0,−1
,
DB=1,1,0
,设平面EDB的一个法向量为
m=(x则有
DB⋅m=x取
m=(1,−1,1)
,则
PA⋅因为
PA⊄
平面EDB,因此
PA//
平面EDB.(2)解:依题意得
PB=1,1,−1因为
PB⋅DE所以
PB⊥ED
.由已知
EF⊥PB
,且
EF∩DE=E
,EF,ED⊂平面EFD,所以
PB⊥
平面EFD.(3)解:依题意得
C0,1,0
,且
CB=1,0,0
,
设平面CPB的一个法向量为
n=(x则
CB⋅n=x2=0,取
n=0,1,1同理可得PBD
的
一个法向量为
CA=(1,−1,0)
所以
cos ⟨n所以平面CPB与平面PBD的夹角为
π3
本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法,考查空间角的向量求法,属于中档题.
(1)以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,求得平面EDB的一个法向量为
m=(x1,y1(2)由
PB⋅DE=0
,结合
(3)求得平面CPB的一个法向量为
n=(x2,y2,z2)
,同理可得平面16.【正确答案】(1)证明:圆C:(x+2)2+y2=5的圆心为C(−2,0),半径为5,
所以圆心C到直线l:mx−y+1+2m=0的距离|−2m+1+2m1+m2|=|11+m2|<5.
所以直线l与圆C相交,即直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)解:设弦AB的中点为M(x,y),
因为直线l:mx−y+1+2m=0恒过定点N(−2,1),
可知直线l的斜率存在,
kAB=y−1x+2,kMC=yx+2,kAB·kMC=−1,
所以y−1x+2·yx+2=−1,
本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,与圆有关的轨迹问题,考查分析问题解决问题的能力,计算能力,是较难题.
(1)由圆心C到直线l:mx−y+1+2m=0的距离|−2m+1+2m1+m2|=|11+m2|<5,即可得解;
(2)设弦AB的中点为M(x,y),直线l恒过定点N(−2,1)17.【正确答案】解:(Ⅰ)由题意可得e=ca=32,
又△OAB的面积为1,可得12ab=1,
且a2−b2=c2,
解得a=2,b=1,c=3,
可得椭圆C的方程为x24+y2=1;
(Ⅱ)设椭圆上点P(x0,y0),
可得x02+4y02=4,x0≠2,
当x0≠0时,
直线PA:y=y0x0−218.【正确答案】解:(1)由题意,n∈N∗,
在等
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