2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列选项正确的是(

)A.(sin10°)′=cos10° B.(lg x)′=1x

C.2.已知集合A={1,2,3,4,8}，B={x|x13∈A}，则A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{3,4,8} D.{2,4,8}3.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有(

)A.25种 B.150种 C.300种 D.50种4.“0<m<2”是“方程x2m+y2mA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设随机变量X～B(2,p)，Y∼B(4,p)，若P(X=0)=49，则D(Y)=(

)A.23 B.43 C.496.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位偶数的个数为(

)A.60 B.48 C.36 D.307.若(ax+1x2)n的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中A.32 B.64 C.80 D.1608.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(π3)−sinx，则f′(πA.12 B.−32 C.9.公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊5人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择1人担任部门总监，其余2人随机分别调到2个部门中担任项目经理，设事件A={甲、乙两人不在同一部门}，事件B={甲担任财务部部门总监}，则P(A|B)=(

)A.23 B.25 C.56二、填空题：本题共6小题，共30分。10.如果随机变量X～N(5,σ2)，且P(X≤3)=0.3，那么P(3≤X≤7)=11.若zz+1=1−i，则z=______．12.已知函数f(x)=12x−cosx,x∈[−π213.3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为______．14.已知(13x−215.若函数f(x)=ex−ax2三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求E(X)和D(X)；

(Ⅲ)求计算机网络不会断掉的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SB⊥底面ABCD，BC⊥CD，AD//BC，SB=CD=BC=2，AD=4，点M是棱SC的中点．

(1)求证：BM⊥平面SCD；

(2)求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；

(3)求平面SAB与平面SCD夹角的大小．18.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx−(2a+1)x+x2．

(1)当a=−1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若a>0，试讨论f(x)的单调性．19.(本小题15分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点(1,32)，其中O为坐标原点．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)过椭圆C1的右顶点作直线与抛物线C2：y2=2x相交于A，B两点；

①求证：OA⊥OB；20.(本小题15分)

数列{an}满足：a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=3+(n−1)⋅3n+1．

(1)求数列{an参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.C

10.0.4

11.−1−i

12.−13.288

14.2

15.(0,116.解：(Ⅰ)由题意，台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互不影响，

可得三台设备正常工作的设备数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，

X的所有可能取值为0，1，2，3

所以P(X=0)=C30×0.80×(1−0.8)3=0.008，X0123P0.0080.0960.3840.512(Ⅱ)因为X～B(3,0.8)，

所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×(1−0.8)=0.48；

(Ⅲ)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X≥1，

因此所求概率为P(X≥1)=1−P(X<1)=1−P(X=0)=1−0.008=0.992．

17.解：(1)证明：因为侧棱SB⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以SB⊥CD，

又因为BC⊥CD，SB∩BC=B，SB，BC⊂平面SBC，所以CD⊥平面SBC，

又BM⊂平面SBC，所以CD⊥BM，

又因为SB=BC=2，点M是棱SC的中点，

所以BM⊥SC，

又SC∩CD=C，SC，CD⊂平面SCD，

所以BM⊥平面SCD．

(2)连接BD，由题意可得BD2=BC2+CD2，可得BD=22，取AD的中点E，

连接BE，则BE⊥AD，则BE=2，AE=2，

所以AB=22+22=22，

所以AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD，

以BA，BD，BS所在直线分别为x轴，y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(22,0,0)，B(0,0,0)，D(0,22,0)，C(−2,2,0)，S(0,0,2)，

M(−22,22,1)，

所以SA=(22,0,−2)，

由(1)可得BM⊥平面SCD，

所以平面SCD的一个法向量为面BM=(−22,22,1)，

设直线SA与平面SCD所成角为α，

sinα=|cos<SA,BM>|=|18.19.解：(1)由椭圆C1的离心率为12，

可得：a2−b2a2=14，

整理得：3a2=4b2，

则椭圆C1：x2a2+y2b2=1的方程可化为x2a2+4y23a2=1．

代入点(1,32)得a2=4，

则椭圆C1的方程为x24+y23=1．

(2)由椭圆C1方程为x24+y23=1可得：该椭圆的右顶点为(2,0)．

①证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线C2只有一个交点，不满足题意．

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my+2，

联立方程组y2=2xx=my+2，

整理得y2−2my−4=0，

则y1，y2为方程y2−2my−4=0的两不等根，

20.解：(1)已知数列{an}满足：a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=3+(