2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级（下）质检数学试卷（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级（下）质检数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为(

)A.1.179×107 B.1.179×108 C.2.下列命题正确的是(

)A.方差越小则数据波动越大 B.等边三角形是中心对称图形

C.对角线相等的四边形是矩形 D.正多边形的外角和为360°3.下列运算正确的是(

)A.3a2−a=2a B.(a+b)2=4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是(

)A. B. C. D.5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(

)A.ab>0 B.a+b<0 C.|a|>|b| D.a−b<06.小刚同学一周的跳绳训练成绩(单位：次/分钟)如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是(

)A.160，162 B.158，162 C.160，160 D.158，1607.已知点A(−3,y1)，B(−2,3)，C(−1,y2)，D(2,y3)都在反比例函数y=kA.y2<y1<y3 B.8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为(

)A.125B.245C.59.如图，在▱ABCD中，AB=2，AD=3，∠ABC=60°，在AB和AD上分别截取AE(AE<AB)，AF，使AE=AF，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G，作射线AG交BC于点H，连接DH，分别以D，H为圆心，以大于12DH的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交CD于点K，则CK的长为(

)A.34 B.23 C.3510.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t(s)，DE2为y，y关于t的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是(

)

①当t=1时，DE=2.5；②AB=2；③DE有最小值，最小值为2；④AF+CF有最小值，最小值为26．①②③ B.①③④ C.②③ D.②④二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,3)，B(−1,3)，C(−1,−3)，D(4,3)，E(3,−5)，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______．12.如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处.若∠1=80°，则∠2的度数是______．13.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，△ABC的周长为14，则AB边上的高为______．14.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y(km)与时间x(ℎ)的关系，则小明与小亮交谈的时间为______ℎ.15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，E为AD中点，F为边CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，G为边BC上一点，连接AG，将△ABG沿AG翻折，点B的对应点恰好也为D′，则BG=______．三、计算题：本大题共1小题，共7分。16.计算：(−1)四、解答题：本题共9小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题7分)

解不等式组：2x−1<3x,x−22−x−1318.(本小题7分)

如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，连结BE，DF.求证：BE=DF．19.(本小题8分)

根据以下素材，探索完成任务．探究车牌识别系统的识别角度素材1某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高BC=4.5mBC⊥AC，出入口斜坡AB长20.5m．素材2图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方DB=1.5m，D，B，C三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.(参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43素材3汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速5km/ℎ．问题解决任务一确定斜坡坡比：如图1，求BCAC任务二判断车辆是否顺利通过：如图3，当∠EDB=53°时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．20.(本小题8分)

如图，在⊙O中，AB是直径，点C是⊙O上一点，AC=9，BC=3，点E在AB上，AE=2BE，连接CE并延长交⊙O于点D，连接AD，AF⊥CD，垂足为F．

(1)求证：△ADF∽△ABC；

(2)求DF的长．21.(本小题9分)

为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．

①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如图(不完整)：

说明：A：0≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<85；D：85≤x≤100；

②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为：70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．

③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七73.57484八73.5______85根据以上信息，解答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)八年级这40名学生成绩的中位数是______；

(3)在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是______(填“七”或“八”)年级的学生；

(4)该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？22.(本小题10分)

某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元．

(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？

(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？23.(本小题10分)

如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为(m,−3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．

(1)求k的值并写出点B的坐标；

(2)线段EF=1在x轴上运动，且F点在右侧，求四边形BEFC周长的最小时点E的坐标；

(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点24.(本小题12分)

阅读材料并完成问题．材料：直线y=kx+b(k≠0)上任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，x1≠x2，线段MN的中点P(x3,y3)，P点坐标及k可用公式：x3已知抛物线y=mx2−2mx−3(m>0)，根据以上材料解答下列问题：

(1)若该抛物线经过点A(3,0)，求m的值；

(2)在(1)的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点D(2,1)，求直线BC的表达式；

以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：

设直线BC的表达式为：y=kx+b，B(xB,yB)，C(xC,yC)，则有yB=mxB2−2mxB−3①，yC=mxC2−2mxC−3②.①−②得：yB−yC=m(xB2−xC225.(本小题12分)

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°．

(1)如图1，在△ACE中，∠CAE=120°，AE=2AC，F是AE中点，连接BF.若BC=1，求线段BF的长；

(2)如图2，在△BCD中，∠BDC=120°，BD=2CD，F是AB中点，连接DF，求BFDF的值；

(3)如图3，在△CDE中，∠CDE=120°，DE=2CD，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求DFBD的值．

参考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.D

11.2512.50°

13.7314.0.4

15.6−216.解：原式=1×8+1+|317.解：2x−1<3x①x−22−x−13≤0②，

解不等式①得：x>−1，

解不等式②得：x≤4，

∴不等式组的解集为：−1<x≤418.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DE//BF.又DE=BF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴BE=DF．

19.解：任务一：∵BC=4.5m，BC⊥AC，AB=20.5m，

∴AC=AB2−BC2=20m，

∴BCAC=4.520=940；

任务二：闸门没有打开，理由如下：

如图，过点E作EF⊥BC于F，

∵∠EDB=53°，tan53°≈43=EFDF，

∴设EF=4x m，则DF=3x m，

∵EF⊥BC，BC⊥AC，

∴EF//AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴BFEF=BCAC=94020.(1)证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，∵AF⊥CD，

∴∠AFD=∠ACB=90°，

∵∠ADF=∠B，

∴△ADF∽△ABC；

(2)解：如图，过点C作CH⊥AB于点H．

∵AC=9，BC=3，∠ACB=90°，

∴AB=BC2+AC2=32+92=310，

∵AE=2BE，

∴BE=10，AE=210，

∵12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH，

∴CH=91010，

∴BH=BC2−CH2=32−(91010)2=31010，

∴EH=BE−BH=71010，

∴EC=CH2+EH2=(91010)2+(71010)2=13，

∵∠CHE=∠AFE=90°，∠AEF=∠CEH，22.解：(1)设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元．

根据题意，得3a+2b=2852a+5b=410，

解得a=55b=60．

答：A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元．

(2)设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶(20−x)箱．

根据题意，得x−(20−x)≥6x≤3(20−x)，

解得13≤x≤15，

设总费用为W元，则W=55x+60(20−x)=−5x+1200，

∵−5<0，

∴W随x的增大而减小，

∵13≤x≤15，

∴当x=15时，W值最小，W最小=−5×15+1200=1125，20−15=5(箱)．

答：购买A品牌的牛奶15箱、B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元．

23.解：(1)∵直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A(m,−3)，

∴−3=32mk=−3m，

解得：m=−2k=6，

∴点A(−2,−3)，反比例函数的表达式为：y=6x，

∵直线y=32x与双曲线y=6x都关于原点O对称，

∴点A，B关于原点O对称，

∴点B的坐标为(2,3)；

(2)过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，如图1所示：

∵点B(2,3)，

∴BH=3，

∵BC=2CD，

∴BD=3CD，

∵BH⊥x轴，CK⊥x轴，

∴BH//CK，

∴△BCK∽△DBH，

∴CKBH=CDBD，

∴CK3=CD3CD，

∴CK=1，

∴点C的纵坐标为1，

对于y=6x，当y=1时，x=6，

∴点C的坐标为(6,1)，

∴BC=(2−6)2+(3−1)2=25，

当线段EF=1在x轴上运动时，四边形BEFC的周长为：BC+EF+BE+CF，

∴当BE+CF为最小时，四边形BEFC的周长为最小，

作点B关于x轴对称点P，过点P作PQ/​/x轴，且PQ=1(点Q在点P的右侧)，连接PE，QF，QC，如图2所示：

∴BE=PE，

∵线段EF在x上移动，且EF=1，

∴PQ//EF，PQ=EF=1，

∴四边形AEFQ是平行四边形，

∴PE=QF=BE，

∴BE+CF=QF+CF，

根据“两点之间线段最短”得：QF+CF≤QC，

∴点Q，F，C在同一条直线上时，QF+CF为最小，即BE+CF为最小，如图3所示：

∵点B(2,3)，点B与点P关于x轴对称，

∴点P(2,−3)，

∵AQ=1，

∴点Q(3,−3)，

设直线CQ的表达式为：y=kx+b，

将点C(6,1)，点Q(3,−3)代入y=kx+b，

得：6k+b=13k+b=−3，

解得：k=43b=−7，

∴直线QC的表达式为：y=43x−7，

对于y=43x−7，当y=0时，x=214，

∴点F的坐标为(214,0)，

∴OF=214，

∵EF=1，

∴OE=OF−EF=214−1=174，

此时点E的坐标为(174,0)；

(3)存在，理由如下：

①当点P在x轴上上时，过点B作BM⊥x轴于点M，如图4所示：

则∠OMB=90°，

∵点B(2,3)，

∴OM=2，BM=3，

在Rt△OBM中，由勾股定理得：OB=OM2+BM2=13，

∵四边形ABPQ是矩形，

∴∠OMB=∠OBP=90°，

又∵BOM=∠POB，

∴△OBM24.解：(1)把点A坐标代入抛物线y=mx2−2mx−3得：9m−6m−3=0，解得m=1．

(2)当m=1时，抛物线解析式为：y=x2−2x−3．

由于点D是线段BC中点，根据材料可知：xB+xC2=2，yB+yC2=1．

B、C两点在抛物线上，则yB=xB2−2xB−3，yC=xC2−2xC−3．

两式相减得：yB−yC=xB2−xC2−2xB+2xC=(xB−xC)(xB+xC−2)．

yB−yCxB−xC=(xB+xC−2)=2．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由材料可得k=2，则y=2x+b．

把点D坐标代入得：1=2×2+b，b=−3．

故直线BC的表达式为y=2x−3．

(3)Ⅰ.根据(2)题干思路，对于直线EF，k=(52−2)m，b=n．

则k=m(xE+xF)−2m．

结合直线EF和抛物线解析式可得：mx2−2mx−3=(52−2)mx+n，

整理得：mx2−52mx−3−n=0，

由根与系数的关系得：xE+xF=52，

则EF中点的横坐标为：xE+xF2=522，

∴EF中点在定直线x=522上．

Ⅱ.如图，直线l2的与坐标轴相交于AB两点，过原点O作l2的垂线，点C为垂足，抛物线交y轴负半轴于点25.解：(1)如图1中，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠AB