2025版高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影练习含解析新人教A版选修4-1

PAGEPAGE1一平行射影课时过关·实力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.平行射影是正射影B.正射影是平行射影C.同一个图形的平行射影和正射影相同D.圆的平行射影不行能是圆解析正射影是平行射影的特例,则选项A不正确,选项B正确;对同一个图形,当投影线垂直于投影面时,其平行射影就是正射影,否则不相同,则选项C不正确;当投影线垂直于投影面,且圆面平行于投影面时,圆的平行射影是圆,则选项D不正确.答案B2直线l在平面α上的正射影是()A.点 B.线段 C.直线 D.点或直线解析当l⊥α时,正射影是一个点,否则是一条直线.答案D3两条相交直线的平行射影是()A.两条相交直线B.一条直线C.一条折线D.两条相交直线或一条直线解析两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行,则两条相交直线的平行射影为一条直线.答案D4若一个图形的正射影是一条线段,则这个图形不行能是()A.线段 B.圆 C.梯形 D.长方体解析当线段、圆、梯形所在的平面与投影面垂直时,它们的正射影都是一条线段,很明显长方体的正射影不行能是一条线段.答案D5如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的()解析点D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;点M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中点;点N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中点,则阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为选项A中的图形.答案A6在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是()A.四边形ABCD B.线段ABC.△ABC D.线段A1B1解析由于平面A1ABB1⊥平面ABCD,则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB.答案B7梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在平面α上的平行射影是.

解析若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段.若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行线的平行射影仍是平行线,不平行的直线的平行射影仍不平行,则梯形ABCD在平面α内的平行射影仍是梯形.答案一条线段或一个梯形8已知∠AOB=90°,关于∠AOB在平面α内的平行射影有如下推断:①可能是0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180°的角,其中正确推断的序号是.

解析设∠AOB所在平面为β,当β与投影方向平行时,∠AOB在平面α内的平行射影为一条射线或一条直线;当β与投影方向不平行时,∠AOB在平面α内的平行射影为一个角,并且该角可以是锐角、直角或钝角.因而①②③④⑤都对.答案①②③④⑤9已知P为△ABC外一点,且PA=PB=PC.求证:点P在平面ABC内的射影为△ABC的外心.证明如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接OA,OB,OC,则点O为点P在平面ABC内的射影.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PBO,∴AO=BO.同理可得BO=CO,∴AO=BO=CO,∴点O为△ABC的外心,即点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.实力提升1下列结论中正确的是()①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的平行射影不行能是圆;②平行四边形的平行射影仍旧是平行四边形;③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比;④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.A.①② B.②③ C.③④ D.②③④解析由于平面图形的平行射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了,因而①是错误的,④是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时,平行四边形的平行射影是一条线段,故②错误.很明显③正确.答案C★2已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是()A.一条线段B.一个锐角三角形或一条线段C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形解析当顶点A在平面α内的正射影A'在BC所在直线上时,两条直角边在平面α内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图①.当顶点A在平面α内的正射影A'不在BC所在直线上时,如图②.∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.∴A'B<AB,A'C<AC.在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴BC2>A'B2+A'C2.∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C为钝角,∴△A'BC为钝角三角形.答案D3用平面α截圆柱OO',当OO'与平面α所成的角等于时,截面是一个圆.

答案90°4如图,设C是线段AB上随意一点,点C',A',B'分别是点C,A,B沿直线l的方向在平面α上的平行射影.若AC=4,CB=6,则A'C'C'解析∵AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,∴AA'∥BB'∥CC'.由平行线分线段成比例定理,得A'答案25如图,已知正四棱锥V-ABCD可围着AB随意旋转,CD∥平面α.若AB=2,VA=5,则正四棱锥V-ABCD在平面α内的投影面积的取值范围是.

解析由题意知,侧面上的高为5-1则侧面的面积为12×2×2=又由于底面的面积为2×2=4,当正四棱锥的高平行于平面α时面积最小是3,故正四棱锥V-ABCD在平面α内的投影面积的取值范围是[3,4).答案[3,4)6如图,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影.求证:点A'不行能是△BCD的垂心.分析干脆证明有困难,利用反证法证明.证明假设点A'是△BCD的垂心,则A'B⊥CD.因为AA'⊥平面BCD于点A',则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC,则AB⊥AD,所以AB⊥平面ADC,所以AB⊥AC,这与条件△ABC是斜三角形冲突,故点A'不行能是△BCD的垂心.★7△ABC是边长为2的正三角形,BC∥平面α,点A,B,C在α的同侧,且点A,B,C在平面α内的射影分别为点A',B',C'.若△A'B'C'为直