六安市霍邱县2023年九年级《数学》上学期月考试题与参考答案

6/27六安市霍邱县2023年九年级《数学》上学期月考试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分。1.若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先由正弦求出∠A，再求出∠A的余弦．【详解】因为，sinA＝，所以，∠A=60°所以，cosA=cos60°=故选D2.对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是直线x＝﹣2C.顶点坐标是（2，1） D.与x轴有两个交点【答案】C【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【详解】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，整理得：，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.在中，，，．下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，在中，，，所以根据勾股定理得：，所以，，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．4.如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC=8cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF=4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：8【答案】B【分析】根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答．【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点，，，，，，，，，，，，，，的面积与阴影部分的面积比为：，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线．5.如图，DE∥BC，且：：，，则的长为()A. B. C. D.【答案】D【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．【详解】解：，，即，解得：，故选：D．6.一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为（）A.3＜x＜－4 B.x＜－4 C.－4＜x＜3 D.x＞3或x＜－4【答案】C【分析】根据图象结合不等式ax2+bx+c＞mx+n可直接进行求解．【详解】解：由图象可知二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y1=mx+n(m≠0)的交点横坐标分别为，因为不等式ax2+bx+c＞mx+n，即二次函数的图象要在一次函数的图象的上方，所以不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为－4＜x＜3；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．7.已知，则锐角A的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．【详解】解：故选：C．【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．8.如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（）A.先减小后增大 B.先增大后减小 C.一直不变 D.先增大后不变【答案】C【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数的图象上，可以解答本题．【详解】解：因为等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数的图象上运动，且AC=BC，设点C的坐标为，所以，即△ABC的面积不变，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．9.将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（）A.5元 B.15元 C.25元 D.35元【答案】C【分析】设应降价元，利润为,根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：设应降价元，根据题意得，．因为，所以当时，取得最大值，为了获得最大的利润，则应降价25元．故选C．10.如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（）A. B.3 C. D.2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．【详解】解：在中，，，所以所以由勾股定理得,过点D作于点E，如图，因为，，所以所以所以所以因为所以所以所以,在中,所以因为所以故选：C二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分。11.若，则＝__________．【答案】【分析】设a=3k，b=2k，将a，b代入即可求解．【详解】解：因为，所以设a=3k，b=2k，将a=3k，b=2k代入，得，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的基本性质，把a，b换元是解本题的关键．12.若三角形三个内角的比为，则它的最长边与最短边的比为________．【答案】2【分析】先根据三个内角的度数之比为利用设k法求出三个内角的度数，是含的直角三角形性质即可解答．【详解】解：根据题意，设三个内角分别是，则，解得，所以这个三角形的三个内角分别是，所以它的最长边与最短边之比为：（角所对的直角边等于斜边的一半）．故答案为：．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的边的关系，求出三角形三个内角的度数是解题的关键，也是突破口．13.如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则___________．【答案】【分析】连接，利用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：连接，由题意得：，，，所以，所以是直角三角形，所以，在中，，，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4．则：（1）________；（2）________．【答案】①.②.【分析】根据两个正方形面积可得，设，则，由勾股定理得，，解方程可得x的值，从而解决问题．【详解】解：因为大正方形的面积是，所以，因为小正方形的面积是4，所以小正方形的边长为，所以，设，则，由勾股定理得，，解得或（负值舍去），所以，所以，故答案为：；三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15计算：．【答案】【分析】将各特殊角的三角函数值代入化简求解即可．【详解】解：原式．【点睛】有关三角函数值的计算是一种重要题型，解这类问题时，要在熟记各种特殊角的三角函数值的基础上，先将各角的三角函数值代入，然后化简计算或者先根据代数式的特点，化简整理后再代入求值．16.如图，是△中边上的高，且，，．求的长．【答案】【解析】【分析】解，得出，解，得出，根据，即可求解．【详解】是中边上的高，，．在中，，．在中，，．所以，即的长为．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于x轴对称的，点的坐标为；（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出放大2倍后的，点的坐标为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；．【解析】【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；（2）分别确定A，B，C关于原点O的位似对应点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；小问1详解】解：如图，，即为所求作的三角形，由图象可得，【小问2详解】如图，，即为所求作，由图象可得，【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形，以及确定对称与位似的对应点的坐标，掌握“轴对称与位似的性质进行画图”是解本题的关键．18.如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C度数；（2）求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．【答案】（1）30°（2）【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）过点B作BD⊥AC与点D，根据已知可求得BD的长，再根据三角函数即可求得BC的长．【小问1详解】解：由题意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，所以∠C＝180°－105°－45°＝30°．【小问2详解】解：作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△ABD中，，∠BAC＝45°，所以，在Rt△CBD中，∠C＝30°，所以．即B处船与小岛C的距离为海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在平面直角坐标系xOy中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点C．求抛物线的表达式．【答案】【分析】过点C作轴于点D，证明得到点C坐标，代入抛物线表达式中求解即可．【详解】解：过点C作轴于点D，则,即，因为是等腰直角三角形，所以，，所以，所以，又，所以，所以，，因为，，所以，，所以，，所以点C的坐标为，因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的表达式为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．20.如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．（1）若，，，试比较、的大小；（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【答案】（1）（2），理由见解析【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解；（2）同（1）的方法，即可求解．【小问1详解】解：在中，，，在中，，，又，；【小问2详解】解：由（1）得，，，，．【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．六、（本题满分12分）21.在2022年北京冬奥会上，为了得出一名滑雪运动员从山坡滑下时滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的函数关系式，测得一组相关数据如下表．滑行时间01234滑行距离04.51428.548（1）以为横坐标，为纵坐标建立平面直角坐标系（如图所示）．请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；（2）观察图象，请你选用恰当的函数模型近似地表示与之间的函数关系，并求出这个函数关系式；（3）如果该滑雪运动员滑行了，请你用（2）中的函数模型推算他滑行的时间．（参考数据：）【答案】（1）见解析（2）（3）20秒【分析】（1）描点，连线，画出函数图象，（2）由图象可得出与的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；（3）把代入（2）中解析式，解方程即可得出结论．【小问1详解】解：描点，连线，如图所示：【小问2详解】观察函数图象，与的关系可近似看成二次函数，设关于的函数关系式为，将，代入，得：，解得，所以近似地表示关于的函数关系式为；【小问3详解】把代入得：，解得：，（舍去），所以滑雪者滑行的时间是20秒．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．七、（本题满分12分）22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？【答案】（1）（2）m的值为1或9【分析】（1）由一次函数解析式求得的坐标，根据三角形面积求得的纵坐标，代入一次函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一