浙江省宁波市2024年高一《数学》一月月考试卷与参考答案

6/20浙江省宁波市2024年高一《数学》上册一月月考试题与参考答案一、单选题1.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【详解】依题意，解得且，所以的定义域为.故选：B2.已知集合，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【分析】解方程化简集合，然后利用元素和集合、集合和集合的关系逐项判断即可.【详解】集合，所以，，，.故选：AC.3.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，定义域不同，故不为同一函数；对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：对于D，，定义域不同，故不为同一函数．故选：C．4.已知，，则“且”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，，由，取，此时，所以“且”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知无理数，若，，，则它们的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据指数函数、幂函数的单调性即可比较大小.【详解】因为函数为增函数，所以，又函数在上单调递增，所以，所以，又，所以.故选：A6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数是偶函数可判断错误，根据，可排除.【详解】依题可知：函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，故函数为偶函数，故错误；又当时，，故错误，故选：.7.已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则且，即，则；若乙正确，则且，即，则；若丙正确，则二次函数开口向上即；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故.故选：C8.已知函数定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（）A B.C. D.【答案】B【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在，使得，令，结合题意分析证明.【详解】对于选项A：例如函数符合题意，则，故A错误；对于选项CD：例如符合题意，则，故C错误；令，则，可知，故D错误；对于选项B：反证：假设存在，使得，令，则，可得，这与假设相矛盾，故假设不成立，所以对任意，，故B正确；故选：B.二、多选题9.集合，集合则集合可表示为（）A. B. C. D.【答案】ABC【分析】化简集合，结合集合的运算判断各选项的对错.【详解】不等式的解集为或，所以或，因为，所以或，B正确，，则或，A正确，，又或，C正确，，，故D错误.故选：ABC10.下列函数中，属于偶函数并且值域为的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根据偶函数的定义即函数的值域，逐项判断即可.【详解】对于函数，定义域为，且值域，故错误；对于函数，定义域为,且，故为偶函数，且值域为，故正确；对于函数，定义域为，且，故函数为偶函数，又，当且仅当时，等号成立，故函数的值域为，故正确；对于函数，令得，或者或者，故函数的定义域或或，关于原点对称，，故函数为偶函数，且函数的值域为，故正确，故选：11.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.且B.在10℃的保鲜时间是60小时C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D.在零下2℃的保鲜时间将超过150小时【答案】AB【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且，可判断出正确；根据及，可得，则可求得的值，判断出正确；解不等式得，则错误；当时，可求得，则错误.【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得是减函数，结合复合函数的单调性可知，又，可知，所以正确；又，即，故，，则，故正确；若，则，结合，不等式化为，即，又，所以，故错误；当时，，故错误；故选：12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若的图象与直线有三个交点，则实数B.若有三个不同实数根，则C.不等式的解集是D.若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】对于AB，作出函数的图象即可判断；对于C，先根据图象求出的范围，再分情况讨论即可；对于D，根据图象结合图象平移分析运算即可判断.【详解】对于A，如图，作出函数的图象，由图可知，若的图象与直线有三个交点，则实数，故A正确；对于B，如图，作出函数的图象，由题意得两函数交点得横坐标为，不妨设，则关于对称，故，由图可知，所以，故B正确；

对于C，由函数的图象可知，当时，，则由，可得，则或，解得或，所以不等式的解集是，故C错误；对于D，当时，显然不成立，故舍去，当时，可以通过向左平移个单位得到，如图2，显然不成立，舍去，当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，以射线与相切为临界，即，则，所以，解得，所以，综上所述，实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD.三、选择题13.实数且，则函数的图象恒过定点______．【答案】【分析】令，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令，则，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.14.化简求值：______．【答案】3【分析】根据指数幂运算公式计算.【详解】原式=.故答案为：3.15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则______．①定义域为，值域为②在定义域内是偶函数③的图象与x轴有三个公共点【答案】（答案不唯一）【分析】由题意结合二次函数的性质可取，再证明即可.【详解】根据题意可取，函数的定义域为，值域为，故①符合，因为，所以函数为偶函数，故②符合，令，解得或，所以的图象与x轴有三个公共点，故③符合，所以函数符合题意.故答案为：.16.若正数a，b满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】引入待定系数，结合基本不等式求出答案.【详解】正数a，b满足，引入待定系数，得到，令，解得，解得，负值舍去，则，故，当且仅当时，等号成立，故答案为：四、解答题17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．【答案】（1）;（2）答案见解析.【分析】（1）根据集合的并运算，直接求解即可；（2）选择不同的条件，根据集合之间的关系，分别讨论参数的范围即可.【小问1详解】∵当时，集合，∴．【小问2详解】选择①若，∴，∴当时，，解得；当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是．选择②若，∵或，∴时，，解得；当时，，解得满足题意；综上所述：实数的取值范围是．18.已知命题p：“，”是真命题，（1）求实数a的取值所构成的集合A；（2）在（1）的条件下，设不等式的解集为B，若是的必要条件，求实数b的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意方程无解，利用判别式法求解即可；（2）先求出集合B，由题意，分类讨论，列不等式组求解即可【小问1详解】因为命题p：“，”是真命题，所以方程无解，所以，解得，所以实数a的取值所构成的集合.【小问2详解】因为，所以，解得，所以，又是的必要条件，所以，当时，即，满足题意；当时，，解得；综上，.19.已知幂函数（为常数）的图象经过点.（1）求的解析式；（2）设，（i）判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】19.20.（i）在区间上单调递增，证明见解析；（ii）【分析】（1）根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可.（2）（i）判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可；（ii）利用在上单调性可得，即可得解.【小问1详解】因为幂函数（为常数）的图象经过点，则，所以，故；【小问2详解】，（i）在区间上单调递增，证明如下：设，所以，因为，所以，所以，所以，可得函数在区间上单调递增；（ii）因在上恒成立，所以，又函数在区间上单调递增，所以，所以.20.已知是定义在上的奇函数，且时，.（1）求；（2）当时，求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据奇函数的性质，再令，即可得解；（2）设求出，再根据奇函数的性质计算可得；（3）判断函数的单调性，再根据奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，令，则，所以；【小问2详解】解：因为是定义在上的奇函数，且时，，设，则，则，又，所以，即当时，；【小问3详解】解：由（1）（2）可得，所以函数图象如下所示：即在，上单调递增，则不等式等价于，所以或或，解得或或，所以实数的取值范围为.21.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】（1）40元（2）10.2万件，30元【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，设每件定价为元，得，整理得，解得.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以，当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.22.已知函数．（1）若，求函数的定义域，并指出其单调区间（不需要证明）：