2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷（原卷版+解析版）

2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求1.的倒数是（）A. B. C.3 D.2.2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A.调查某班学生的身高情况B.调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况C.调查某批汽车抗撞击能力D.调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量4.如图，，，，则的度数是A. B. C. D.5.下列命题是真命题的是（）A.四边都是相等的四边形是矩形 B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形6.将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后（）A. B. C. D.7.等式成立的的取值范围在数轴上可以表示为（）A B.C. D.8.如图，如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下的影子正好与建筑物一样高，当光线与地面的夹角是时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离，到墙角B的距离，（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物的高度为（）A. B. C. D.9.开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种10.如图，在平面直角坐标系中，过原点的圆与轴，轴分别交于两点，且，，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.11.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（）A.2 B. C. D.12.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4，则下列说法：①b＜0；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1，正确的是（）A.①②④ B.①③⑤ C.②③④ D.②③⑤二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13.在实数范围内分解因式：=___________．14.若数据10，9，a，12，9平均数是10，则这组数据的方差是_____15.甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是______．16.若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为______．17.如图，四边形与四边形都是菱形，其中点在上，点，分别在，上，若，，则等于___．18.如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为______．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．20.某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．21.如图，在矩形中，，F是上一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．（1）当F为的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，的面积为．22.已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进．（1）求该公司购进农产品的总质量．（2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）．23.如图，已知，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且．（1）求证：是的切线；（2）若⊙O的半径为2，，求的长．24.如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴于E，连接，以为直径作，如图（2），试求当与相切时D点的坐标；②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．25.将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．（1）如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．

2025年四川省绵阳市安州区中考数学二诊试卷一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求1.的倒数是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再求倒数．【详解】因为，所以的倒数是．故选：D．【点睛】本题主要考查绝对值，倒数，熟练掌握绝对值，倒数的求法是解题的关键．2.2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，其中，，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：数据87790000000用科学记数法表示为．故选：C3.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A.调查某班学生的身高情况B.调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况C.调查某批汽车的抗撞击能力D.调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量【答案】C【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；

B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；

C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；

D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．

故选：C．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4.如图，，，，则的度数是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．【详解】，，，，=180°-∠ACD-∠CAD=，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．5.下列命题是真命题的是（）A.四边都是相等的四边形是矩形 B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选D．【点睛】熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．6.将一张正方形纸片如图所示折叠两次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形的性质，结合空间思维，分析折叠的过程及剪菱形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．【详解】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在垂直于斜边的位置上剪菱形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且菱形关于对角线对称．故选C．7.等式成立的的取值范围在数轴上可以表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及不等式组的解法是解题的关键．由二次根式有意义的条件可得，求解该不等式组并将其解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：由题意得：，由得：或，由得：，由得：，不等式组的解集为，在数轴上可以表示为：故选：．8.如图，如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下的影子正好与建筑物一样高，当光线与地面的夹角是时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离，到墙角B的距离，（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物的高度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．过点作于点，易得四边形是矩形，则，，在中，由正切的定义可得，在中，由正切的定义可得，进而可得，由此即可求出的长．【详解】解：如图，过点作于点，则，由题意得：，，四边形是矩形，，，在中，，在中，，，故选：．9.开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【答案】B【解析】【分析】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元，根据小强和小亮所花费的钱数列出方程组，可求得笔和本的单价，然后设小伟购买了a支笔，b个本，接下来根据小伟的花费列出关于a、b的方程，最后求得方程的非负整数解即可．【详解】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元．根据题意得：．解得：．设小伟购买了a支笔，b个本．根据题意得：5a+3b=48且b≥a．当a=3时，b=11，当a=6时，b=6．故选B．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，根据题意列出方程和方程组是解题的关键．10.如图，在平面直角坐标系中，过原点的圆与轴，轴分别交于两点，且，，则图中阴影部分的面积为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，特殊三角形的三角函数，合理的做出辅助线是解题的关键．作，的垂直平分线，两线交于点，则点为圆心，由题意可得，，由勾股定理可得，由特殊三角形的三角函数可得，继而可得，再根据扇形的面积即可求出阴影部分的面积．【详解】解：如图，作，的垂直平分线，两线交于点，则点为圆心，由题意，，得，，，，，，，故选：A．11.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接CC′．首先证明四边形AC′CE是菱形，再证明△AEC′是等边三角形即可解决问题．【详解】连接CC′．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠C′AE=∠AEB=∠AEC′，∴AC′=EC′．∵EC=EC′，∴AC′=EC，∴四边形AC′CE是平行四边形．∵AC⊥EC′，∴四边形AC′CE是菱形，∴AC′=AE=EC′，∴△AEC′是等边三角形，∴∠EAC′=60°，∴∠ACB=∠CAC′=∠EAC′=30°，∴∠BAC=60°．在Rt△ABC中，=tan60°=．故选D．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．12.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4，则下列说法：①b＜0；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1，正确的是（）A.①②④ B.①③⑤ C.②③④ D.②③⑤【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由对称轴可知：＞0，a＜0，∴b＞0，故①错误；②将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，∴a﹣b+c＝0，故②正确；③由题意可知：△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④2b﹣3c＝2（a+c）﹣3c＝2a+2c﹣3c＝2a﹣c，∵a＜0，c＞0，∴2a﹣c＜0，∴2b＜3c，故④错误；⑤将（m，0）代入y＝ax2+bx+c，∴am2+bm+c＝0，∴am2+bm＝a﹣b，∴am2﹣a＝﹣bm﹣b，∴a（1﹣m）＝b，∴（b﹣c）（1﹣m）＝b，∴mb＝c（m﹣1），∴，∴＝1，故⑤正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13.在实数范围内分解因式：=___________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．14.若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是_____【答案】1.2【解析】【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，∴(10+9+a+12+9)÷5=10，解得：a=10，∴这组数据的方差是15[(10−10)²+(9−10)²+(10−10)²+(12−10)²+(9−10)²]=1.2故选B．【点睛】本题考查方差和平均数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15.甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是______．【答案】甲【解析】【分析】根据图象，先分别比较甲和乙；丙和丁的速度；最后比较甲、丁的速度即可．【详解】解：由图象知，乙在所用时间为30分钟时，甲走的路程大于乙走的路程，故甲的速度较快；丙在所用时间为50分钟时，丁走的路程大于丙走的路程，故丁的速度较快；甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快，故答案为：甲．【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键．16.若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为______．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求得，，再根据，求解即可．【详解】解：，得：，解得，将代入，得，又∵，∴，∴，解得：，∴k的值为1．故答案为：1．17.如图，四边形与四边形都是菱形，其中点在上，点，分别在，上，若，，则等于___．【答案】【解析】【分析】本题考查菱形的性质以及解直角三角形，根据菱形的性质可得，，过点作于点，设，可得，，即可求解．【详解】∵，，四边形与四边形都是菱形，∴，，如图，过点作于点，设，在中，，，中，，则．故答案为：．18.如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为______．【答案】6【解析】【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值．【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，∵，∴由圆的对称性得到C的坐标是，∴，∴，∴，∵，∴，∴当时，有最小值6，故答案为：6．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值并化简绝对值，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可，即先乘除后加减；（2）根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的除法，再算减法，然后与括号外的部分相乘后约分即可得出化简结果，再将代入化简结果求值即可．【详解】解：（1）；（2），当时，原式．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，分式化简求值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握实数的运算法则及分式的运算法则是解题的关键．20.某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．【答案】（1）喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为（2）【解析】【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率：（1）类项目的人数除以所占的比例求出总人数，再用总人数乘以类项目的人数所占的比例求解即可；（2）设喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：（人）．．答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为．小问2详解】喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．．答：抽中一名男生和一名女生的概率为．21.如图，在矩形中，，F是上一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．（1）当F为的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，的面积为．【答案】（1）（2）当的值为2或4时，的面积为．【解析】【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，解一元二次方程等知识．（1）当F为的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可．【小问1详解】解：∵在矩形中，，，，为的中点，，又∵点在反比例函数的图象上，，∴反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：由题意知，两点坐标分别为，，，的面积为，∴，整理得，解得，，∴当的值为2或4时，的面积为．22.已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进．（1）求该公司购进农产品的总质量．（2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）．【答案】（1）该公司购进农产品的总质量为80吨；（2）公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元．【解析】【分析】本题考查了分式方程和二次函数的应用．熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、成本的关系，列方程，列函数解析式，是解题的关键．（1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：，然后进行计算即可解答；（2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答．【小问1详解】解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的根，∴（吨），∴该公司购进农产品的总质量为80吨；【小问2详解】解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，由题意得：，∵，∴，∵，∴当时，y有最大值，元，故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元．23.如图，已知，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且．（1）求证：是的切线；（2）若⊙O的半径为2，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AE，求出，推出，求出，根据切线的判定即可证明结论．（2）根据．求出，根据证，推出，由勾股定理得出求解即可．【小问1详解】证明：连接，∵是的直径∴，∴，∵，∴，∵E为弧中点，∴，∴，∴，∵为直径，∴是的切线．【小问2详解】解：∵的半为2，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴∴，设，由勾股定理得：，解得：（负数舍去），∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解答本题的关键．24.如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴于E，连接，以为直径作，如图（2），试求当与相切时D点的坐标；②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②存在，或或【解析】【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；（2）①连接，证明，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.②分四种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】解：（1）∵点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式是：；【小问2详解】解：①令,，则，，由（1）知，如答图1，设与相切于F，连接，，∵与相切，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，则，∴，∴，即，又∵，∴，解得