材料力学电子教案

Mechannincsofmaterials

Strengthofmaterials

Introduction

材料力学是固体力学的一个基础分支，是工科重要的技术基础课，

只有学好材料力学才能学好与本专业有关的后续课程（例如：机械零件

等）。

材料力学与工程的关系：材料力学广泛应用于各个工程领域中，如

众所周知的飞机、飞船、火箭、火车、汽车、轮船、水轮机、气轮机、

压缩机、挖掘机、拖拉机、车床、钠机、铳机、磨床、杆塔、井架、锅

炉、贮罐、房屋、桥梁、水闸、船闸等数以万计的机器和设备、结构物

和建筑物，在工程设计中都必须用到材料力学的基本知识。对于某些工

程如化学工程，由于客观条件的苛刻，如：高温、高压、低温、低压、

易燃、易爆、腐蚀、毒性对于机器和设备的力学设计将提出更高的要求。

因此对于各类高等工业大学的学生和实际工程中的工程师们都必须具备

扎实的材料力学知识。

第一章绪论

§1.1材料力学的任务

§1.2变形固体的基本假设

§1.3外力及其分类

§1.4内力、截面法和应力的概念

§1.5变形与应变

§1.6杆件变形的基本形式

§1.1材料力学的任务

材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状

态和破坏准则，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等

问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。

材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸

率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极

限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。

构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。

构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成部分。

强度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。

所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作

用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一

定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形

而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如

飞机坠毁、轮船沉没、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水

闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤

亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不

忍睹……因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力——强度，进行强度计

算，以保证构件有足够的强度。

刚度——构件抵抗变形的能力。

当构件受载时一，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要

求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿

轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降

低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡，

引起振动；铁路桥梁变形过大，会引起火车脱轨，翻车……因此必须研

究构件抵抗变形的能力——刚度，进行刚度计算，以保证构件有足够的

刚度。

稳定性——构件保持原来平衡形态的能力。

如细长的活塞杆或者连杆，当诸如此类的细长杆子受压时，工程中

要求它们始终保持直线的平衡形态。可是若受力过大，压力达到某一数

值时，压杆将由直线平衡形态变成曲线平衡形态，这种现象称之为压杆

的失稳。又如受均匀外压力的薄壁圆筒，当外压力达到某一数值时，它

由原来的圆筒形的平衡变成椭圆形的平衡，此为薄圆筒的失稳。失稳往

往是突然发生而造成严重的工程事故，如19世纪末，瑞士的孟希太因大

桥，20世纪初加拿大的魁北克大桥都由于桥架受压弦杆失稳而突然使大

桥坍塌。……因此必须研究构件保持原来形态能力—稳定性，进行稳

定性计算，以保持构件有足够的稳定性。

§1.2变形固体的基本假设

刚体——假定受力时不发生变形的物体。

适用于理论力学研究物体的外部效应—平衡和运动。

变形固体——在外力作用下发生变形的物体。

变形固体的实际组成及其性质是很复杂的，为了分析和简化计算将

其抽象为理想模型，作如下基本假设：

1）连续性假设:认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。

（某些力学量可作为点的坐标的函数）

2）均匀性假设：认为固体内到处有相同的力学性能。

3）各向同性假设：认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。

各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。

各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。

§1.3外力及其分类

,,,自重力（N/n?）

体力《，

惯性力（N/n?）

作用方式［分布力］面分布力（NW）

载荷1面力｛1线分布力（N/m）

外力支反力f

集中力（N、kN）

f静载荷

变化与否冲击载荷

动载荷

交变载荷

载荷——作用于构件上的主动力

体积力——连续分布在物体内各点的力

面积力——作用于物体表面上的力

面分布力——连续分布于物体表面某一面积上的力

线分布力---沿着物体某一轴线上分布的力

集中力——若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线

长度

静载荷——若载荷从零开始缓慢增加到某值后保持不变或变化很小

动载荷——随时间而变化的载荷

冲击载荷——由于物体运动状态瞬时发生突然变化而引起的载荷

交变载荷——随时间而发生周期性变化的载荷

§1.4内力、截面法和应力的概念

1.内力(附加内力)

物体因受外力而变形，其内部各部分之间相对位置将发生改变而引

起的相互作用就是内力。

当物体不受外力作用时一，内部各质点之间存在着相互作用力，此为

内力。但材料力学中所指的内力是与外力和变形有关的内力。即随着外

力的作用而产生，随着外力的增加而增大，当达到一定数值时会引起构

件破坏的内力，此力称为附加内力。为简便起见，今后统称为内力。

2.截面法

为进行强度、刚度计算必须由已知的外力确定未知的内力，而内力

为作用力和反作用力，对整体而言不出现，为此必须采用截面法，将内

力暴露。

截面法三步骤：

(1)切：欲求某一截面上的内力，即用一假想平面将物体分为两部分

(2)代：两部分之间的相互作用用力代替

(3)平：建立其中任一部分的平衡条件，求未知内力

注：内力为连续分布力，用平衡方程，求其分布内力的合力

上述步骤可以叙述为：一截为二，去一留一，平衡求力

例1.试求图示悬臂梁机-加截面上的内力

解：截面法

（1）切

（2）代

（3）平平衡条件：

乙一f=0

=0〃_&=0

求得：F6=FM=Fa（剪力、弯矩）

3.应力

P

、F(j

△A

mT

因内力为分布力系，为研究内力在截面上的分布规律，引入内力集

度的概念

AF

p,„

p,„一与上的平均集度，称为平均应力上的平均集度，称为平均应力

....AF

p=limP,”=lim---

p——。点的内力集度，称为C点处总应力，P为矢量。

<7--正应力

p<

[r-----切应力

lPa=lN/m2

IMPa=lxlO6Pa

IN/mm2=IMPa

§1.5变形与应变

变形——物体受力后形状和尺寸的改变

1.线应变（简称应变）Y

假设：固体受到约束无刚体位移，只有变形位

移，若有刚体位移，应从总位移中扣除。

△S

m每单位长度线段的平均伸长或缩短称为平均线应变。

£-

-Ar

e-----"点沿x方向的线应变。

2.切应变（角应变）

原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变（角应变）

2）

y-----为Af点在孙平面内的切应变或角应变。

§1.6杆件变形的基本形式

基本变形

1.轴向拉伸或压缩

F-_qF一.

•________________________________________________________J

Fi|-F

I_________________________________________I

2.剪切

4弯曲

f♦♦t

4-，一一二一二一二一3

组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。

MM

第二章拉伸、压缩与剪切

§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例

§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

§2.4材料拉伸时的力学性能

§2.5材料压缩时的力学性能

§2.7失效、安全因数和强度计算

§2.8轴向拉伸或压缩时的变形

§2.9轴向拉伸或压缩的应变能

§2.10拉伸、压缩超静定问题

§2.11温度应力和装配应力

§2.12应力集中的概念

§2.13剪切和挤压的实用计算

§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例

1.实例

(1)液压传动中的活塞杆

(2)内燃机的连杆

(3)汽缸的联接螺栓

(4)起吊重物用的钢索

(5)千斤顶的螺杆

(6)桁架的杆件

2.概念及简图

当杆件在其两端受到等值、反向、作用线与杆轴重合的一对力(F,F)

作用时杆件将沿轴线方向发生伸长

或缩短变形，此类变形称为拉伸或

压缩。

§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上

的内力和应力

1.内力

(1)截面法

暴露内力。因为外力与轴线重合，故分布内力系的合力作用线必然

与轴线重合，若设为乙，瓜称为轴力。

（2）轴力符号规定：拉为正，压为负。

（3）平衡方程

££=0

"一尸=0

FN=F

2.多力杆的轴力与轴力图

例2.1试作图示杆的轴力图

解：1-1Zj=02-不=。

Fw=2kN（压力）

2-2匕=0耳2-4+2=0

FN2=2kN（拉力）

3-3Z号=05-以3=0

FN3=5kN（拉力）

例2.2试作图示杆的轴力图

解：A-AZ工=04+3—2—FNA=。

FNA=5kN

1-15=0

%=5kN（拉力）

2-2YFv=0FN2+4-5=0

2

FN2=IkN（拉力）

3-3工4=0%-2=0

=2kN

FN3（压力）

3.应力

内力分布规律的研究

⑴儿何学（变形）平面假设

应力分析（2）物理学（纤维均拉）

（3）静力学（平衡方程）

口产网

FN^TjAdA=cx4

均匀分布

A

注：正应力符号规定与轴力相同，拉为正，压为负。

4.轴向拉（压）渐变杆近似计算

万N（x）

<7（X）=

/（x）

5.圣维南原理

（静力等效或局部效应）

实验证实：作用于弹性体某一局部区域上的外力系，可以用它的静

力等效力系来代替，这种代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，

而对较远处（距离略大于外力分布区域）其影响即可不计，这就是圣维

南原理。

圣维南原理的实用价值：它给简化

计算带来方便。

例如：图示杆件由于采用不同连接

(钾接、焊接、较接)而使杆件在连接处,

传递力的方式就各不同，而使局部区域

内的应力分布也各不相同，而且非常复

杂。但是用静力等效力系替代后，若得

到相同的计算简图(如右图示)，则应力计算就可采用相同的公式:

6.正应力公式应用条件

。吟

(1)外力(或其合力)通过横截面形心且沿杆件轴线作用。

(2)适用于弹性及性范围。

(3)适用于角a«20°横截面连续变化的直

杆。

*(4)在外力作用点附近或杆件横截面突然

变化处，应力分布不均匀，不能用此公式，稍远

一些的横截面上仍然应用。

例1.图示结构中AC、CD为刚性杆，①、

②两杆的截面直径分别为：t/i=lOmm,12=20mm,

试求两杆内的应力。

解：①受力分析及受力图

②由图(b)：

。=0FRC=10kN

③由图(c)：

-OkN

ZM&=0《x170x2=0

FN2=20kN

=0FN1xl-Fscxl=0

%=FRC=10kN

④求应力

区==4x10x10'=127(N/mn?)=127MPa

'A,血;/7TXW2

6=2=4=63.7MPa

A2㈤；

§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截k

-——F

面上的应力k

1.横截面上的正应力kPa

F______凄

Akk」

F____________yP\

2.斜截面上的应力——

F.=F

4A

“cosa

FF

=cosa=acosa

4A

2

oa-pacosa-acosa

'（T.

Ta=pasina=<7cosasma=—sin2a

讨论

（1）％均为a的函数，随斜截面的方向而变化。

（2）当a=0°时，OaM=。、q=0横截面上。

当a=45。时'Tamar=|>=|

当a=90°时，。-％=0平行于轴线纵截面。

§2.4材料拉伸时的力学性能

材料在外力作用下表现出变形及破坏的特性。材料的宏观力学性能

主要依靠实验方法测定。如材料的比例极限叫，弹性极限q,屈服极限q,

延伸率3断面收缩率W,弹性模量£,横向变形因数（泊松比）〃等。

［静载

载荷<

动载

试验，'常温

温度■高度

低温

常温、静载下拉伸试验是确立材料力学性能的最基本试验。

试验设备：万能材料试验机。

'圆截面：I=5彻=10d

标准试件〈矩型截面：/=5.65/7或

以低碳钢（含碳量低于0.3%的碳素钢）

为例介绍拉伸试验。

一、低碳钢（Q235）拉伸时的力学性

能

（1）夹持试件

（2）油压缓慢加载使试件受拉

（3）记录F〜AL测试数值

（4）直至拉断，观察力与变形的全过程

（5）绘制F〜AL拉伸曲线（自动绘图）

（6）清除尺寸影响作。〜£曲线，根据曲

线特征大致分为四个阶段研究材料力学性能。

1.弹性阶段（Ob）

此阶段的变形为弹性变形

（oa）直线段吸一比例极限

当（7〃时

CT=E£（胡克定律）

E=?=tana（弹性模量瓦比例常数X线弹性）

（ab）非直线段（非线弹性）

4一弹性极限

2.屈服阶段（be）

屈服现象：当应力超过b点后，应

力先是下降后是微小波动，曲线出现接近水平线小锯齿形线段。即应力

不再增加，但应变显著增加，此现象称为屈服。

*观察测力度盘指针停走或后退。

*观察试件表面可见大致与轴线成45°方向上有细线，称为滑移线。

因为45°方向上剪应力最大。材料内部晶格沿45°方向滑动。

*0s——屈服极限。（下屈服点）

*屈服阶段主要产生塑性变形。

*屈服极限为重要的强度指标。

3.强化阶段（ce）

*材料抵抗变形的能力又继续增加，即随着试件继续变形，外力也

必须增大，此现象称为材料强化。

*0b——强度极限，发生断裂时的应力

4.局部变形阶段（颈缩）（ef）-1—

----

试件局部范围横向尺寸急剧缩小，称为颈缩。

5.延伸率和断面收缩率

试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形保留下来。

延伸率：

。/,-/

5=-!—X100%

I

牛=牛*100%=6（塑性应变）

I—原标距

/,——拉断后标距长度

塑性指标：

8>5%——塑性材料，钢、铜、铝

6<5%——脆性材料，铸铁、玻璃、陶瓷

断面收缩率：

w=土。100%

A

A-----试件原截面面积

A\——拉断后颈缩处断面面积

6.卸载定律及冷作硬化

试件若拉到强化阶段，如d点卸载，则沿（ddz）直线变化，短期

内再加载，仍然沿（dd‘）直线上升，说明比例极限提高，而延伸率降

低，这种现象称为冷作硬化现象。

。.冷拔工艺，提高强度（如起重钢索，建筑用钢筋）

工程应用卜.喷丸处理，提高表面强度（如机器零件表面形成冷硬层，提高抗疲劳强度）

。・滚压工艺，提高疲劳强度

缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件变硬变脆,

给机加工带来困难，为便于加工，需退火消除冷硬

层。

二、其他塑性材料拉伸时的力学性能

其他塑性材料：中碳钢、高碳钢、合金钢、铝

合金、青铜、黄铜。

讨论

①有明显的四个阶段Q345（16Mn）,Q235钢；无。51015202530354035055

屈服阶段：黄铜（H62）；无屈服，无颈缩：高碳钢（T10A）

②名义屈服极限。0.2（对无屈服阶段的材料）通常以产生0.2%的塑

性应变所对应的应力值作为名义屈服应力，作为屈服指标。

③对各种碳素钢的比较表明：随着含碳量的增加，屈服极限，强度

极限提高，但延伸率降低，说明强度提高，塑性

降低，如合金钢，工具钢等。

④强度又高，塑性又好的材料，始终是材料

科学研究的方向。如南京长江大桥，采用16Mn

钢比采用A3钢节约成本15%,解放牌汽车降低

40%,寿命提高20%。

20MPa大气压的大型尿素合成塔为高压容器

采用18MnMoNb合金钢比采用碳钢节约60%。

三、铸钢拉伸时的力学性能

⑴较低应力下被拉断

⑵无明显直线段，无屈服，无颈缩

⑶延伸率低属脆性材料，b<5%

⑷弹性模量E随应力的大小而变化。因此

以。〜£曲线开始部分的割线斜率作为弹性模量,

称为割线弹性模量,近似认为材料服从胡克定律

O=£E

⑸。b——强度极限为唯一强度指标

⑹抗压不抗拉，不宜作抗拉件

§2.5材料压缩时的力学性能

一.低碳钢的压缩

(1)压缩时的E、0s与拉伸时相同，但得

不到。b。

(2)抗拉抗压强度相同。

二.铸铁的压缩

低碳钢压缩

(1)破坏断面与轴线成45°〜55°

角，说明铸铁不抗剪。

(2)抗压强度比抗拉强度高4〜5

倍

(3)铸铁坚硬、耐磨，易浇铸成

型，有良好的吸

振能力，故宜用作机身，机座，轴承座

及缸体等受压

物件。

§2.7失效、安全因数和强度计算

一.失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。

①脆性断裂①塑性变形

②弹性变形过大②冲断(冲击、撞击)

③疲劳③失稳

④蠕变(高温)④腐蚀(等等)

二.破坏准则：就强度而言

塑性材料：。=。,

脆性材料：0=0b

强度条件：oW［。］

。——工作应力

［。］---许用应力

［司=.（塑性材料）

（脆性材料）

三.安全因数：

（1）4、"b称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的

构件：

ws=1.2-2.5为=2.0~3.5

（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）

'①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性）

②载荷情况（静载、动载，估计准确度）

③简化过程，计算方法精确度

j④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。

⑤设备机动性、自重的要求。

⑥其它尚无考虑的因素。

综合考虑后确定。

四.强度条件

「①强度校核：巴四xlOO%<5认为安全

强度计算1②设计截面：A百

㈤

③确定许用载荷：FN<［a］A

例2.7.1已知产=130kNa=30°

AC为钢杆：（7=30mm

[o]=160MPa

BC为铝杆：t/=40mm

［。］a=60MPa

试校核结构的强度。

解：（1）求各杆轴力FNAC，尸NBC

=°然心。sina-&4

FNBC=FN/C

=0FNXCCOSCT+FN.BC

F130

FN.AC~FN.BC75.1kN

2cosa273/2

（2）求各杆应力

4

。=区欧=211半I=59.8N/ir

BC

ABC"X4()2/4

=59.8MPa<[a]„

.••安全

例2.7.2图示托架，已知：F=60kN,。=

AC为圆钢杆[。]s=160MPa

BC为方木杆[。]w=4MPa

试求钢杆直径小木杆截面边长b

解：(1)求各杆轴力

XFV=0F2sin«-F=0:

F=-^=60X1—=12X104N

2sina0.5IN

B

=0F2cosa-F}=0

4

F、=F2cos<7=10.4X10N

(2)设计截面

AC杆:

mm

例273滑轮结构

已知AB为圆钢杆d=2Qmm,[o]s=160MPa

BC为方木杆a=60mm,[o]w=12MPa

试求此结构的许用载荷W

解：（1）求各杆的轴力与W的关系

LFv=0F2COS30°-居cos30°=0

纽.=0片cos60°+工cos600-2%=0

2W

K=F,=-=2W

'22cos60°

(2)分别按各杆强度条件确定沙

L

AB杆：—<[CF]5

4

4

万x2()2

r1j160x----------

，%＜丝」_=-------4=25.1xl()3N=25.1kN

22

F

BC杆：工匕C

a

—--匕

“2

⑻甲4=12x60-=21.6xl()3N=2i.6kN

22

取［仞=21.6kN

§2.8轴向拉伸或压缩时的变形

1.轴向变形

△/=/「/

A/

£--t

0_FN_FLI

AA

胡克定律：

（y=Ee^^-=E—

AI

••・△/=X（胡克定律的另一种形式）

EA

EA——杆件抗拉（或抗压）刚度

2.横向变形

,kbb.-b

E=—=------

hb

试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的

绝对值是一个常数。

e'

—=〃

横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数）

/.£=-U£

3.渐变杆轴力变化时变形计算

微段伸长：d（A/）=3"

EA（x）

杆件伸长：△/=[3华

JEA（x）

例1除梯杆、求总变形△/总

已知：小=400mm2/I=200mm

=2

^2S00mm/2=200mm

£=200GPa

解：（1）求各段轴力并作轴力图

40KNi20KN

（2）求各段变形及总变形

F/1_40X103X200

NI=0.1mm

3

EAt-200X10X400

F/_20xl03x200

N22=0.025mm

M3

EA2-200X10X800

=A/]+A/=0.1-0.025=0.075

△/总二Z”,2

mm

例2求节点/的位移

已知：F=10kN。=45°

AB为钢杆£]=200GPa^^lOOmm2/^1000mm

AC为松木杆£2=10GPa242=4000mm2/2=707mm

解：(1)求轴力

=0£sin45。一尸=0

F.=F=10A/2=14.14kN(fe)

1sin45°

纥=0F2-^sin45°=0

F2=F1cos45°=14.14x-^r=10kN(ffi)

(2)轴向变形

FJ_14.14X103X100

M=0.707mm

200X103X100

Fl_10X103X707

A22

/2=30.177mm

E2A2~10X10X4000

(3)A点位移AB,

A/,

AAs=---------=1.00mm

cos45°

A4A5=A/2=0.177mm

AAA=AAs+4445=1.177mm

刀3=［石；+4团=71.1772+0.177=1.193mm

例3结构如图CD为刚杆

AB杆为钢杆，d=30mm,a=lm,E=210GPa

(1)试验测得标距S=20mm内的伸长变形△5=14.3X10-3mm,试求

F力为若干。

(2)若AB杆的材料［o］=160MPa,试求许用载荷［月，及此时D点

的位移JD

解：(1)求AB杆的轴力入

■:内

EA

_E4A5_4X14.3

N一S-20-

=106.1xl03N=106.1kN

求载荷尸

EMC=0FN-<7-F'2a=0

心输=!^=53kN

22

（2）求因

［稣］=［b］/=160x^^-=113x1()3=113kN

4

伊］=率=56.5kN

(3)求§D

忻113X103xl000x4「

•。B--:——=---------;---------T=也7

BEA210X103X^-X3O2

/.3D=2b8=2x0.762=1.524mm

§2.9轴向拉伸或压缩的应变能

1.变形能（应变能）

固体受外功作用而变形，在变

形过程中，外力所作的功转变为储

存于固体内的能量，固体在外力作

用下，因变形而储存能量称为变形

能或应变能。变形能有弹性变形能

与塑性变形能。当外力逐渐减小，

变形逐渐减小，固体会释放出部分

能量而作功，这部分能量为弹性变

形能。

2.轴向拉（压）时的应变能

d%=Fd（A/）

%=0Fd（A/）

线弹性应变能：（三角形面积）匕

W=-FM

2

r=W=-FM

E2

Fl

胡克定律△/=--，则

EA

a

F7

=W=-FAl=o

22Z4

3.应变能密度（比能）

力（odydz）位移（1*（1£单兀体内

应变能：

dJV=fodvdzdxdf

dVe-£odydzdrdf['odfbdK

dV-----单元体的体积

单位体积内的应变能:

V=5i=1ode

'dr小

结论：匕为应力一应变曲线o-£）下的面积

线弹性应变能密度：

1

V.=-or

£2

由胡克定律：。=石£,则

1Ee2cr

‘222E

注：v,的单位为J/n?

以比例极限。p代入上式可求出的

应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的

能力。

£2P2E

例1利用功能原理求A点的垂直位移8

已知：F-10kNa=45°

杆（1）为钢杆E^ZOOGPa,小=100mm:/i=1000mm

2

杆（2）为木杆£2=10GPa,742=4000mm,/2=707mm

解：（1）求轴力

ZF,,=0FN1sin45°-F=0

FN.=F——kN

N,sin45°

ZFV=0FN2-FN1cos45°=10kN

(2)求位移(视作弹性杆系)

Vt=W

、

(14.14X103)2X1000(10X103)2X707

3

310xl0

200x103<10010X103X4000

7

=1.18mm

(3)此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。

能量法求位移见下册13章。

§2.10拉伸、压缩超静定问题

一.超静定问题

图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即ElA.=E2A2,F、a、I、

53、力3已知，试求三杆内力尺1、EN2、乐3。

解：(1)静力平衡方程

ZFV=0FN2sina-FN1sina=0

FN1=FN2>(a)利用静

EF\,=0Fcosa-F=0

N3+2FN1

力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超

静定问题。此问题称一次静不定问题，未知力的数

与独立平衡数目之差数称为超静定次数。

二.超静定问题解法

(1)建立足够的补充方程

（a）静力学方面——平衡方程

（b）几何学方面——变形协调条件

（c）物理学方面——物理条件

（b）（c）补充方程。

(2)变形协调条件

A/,=A/jcosa(b)

（3）物理条件

A/,=区在

E'A'(c)

△/

44J

式（c）代入式（b）

E14E3Ay

,：l卡I/i=//cosa,故

"NJ"COS（X_FN31

EME3A3

式（d）为补充方程。

联解式（a）与式（d）得

2

1r_Feosa

N2一"反不

2cos'a+——

E4

心\+2，cos”

EH

例1已知AB为刚性杆，F、a、L已知。

①②③杆抗拉压刚度相等。求：FNI、/N2、FN3

解：一次静不定问题

（1）平衡方程：

2MB=0Fwx2a+Fma=0（）

C'

B'

（2）变形协调条件

A/,+A/3=2A/2(b)

(3)物理条件

AZ,=融

EA

△/,=冬退(c)

EA

州=隆

3EA

注意：受力图与变形图必须保持一致式（c）代入式（b）得

补充方程

+FJ_2FNJ（d）

~EA^~EA~~EA

联解式（a）与式（d）得

%=-7（压力）

6

FN2=T,

F5F

F-=TJ

§2.11温度应力和装配应力

一.温度应力

温度变化将引起物体的膨胀或收缩。

当温度变化时，静定结构可以自由变形，

将不会在构件内引起内力。但对超静定结

构，其变形及部分或全部受到约束，往往

引起内力。这种由于温度变化而引起构件

的应力称为热应力或温度应力。*（温度

伸缩节

均匀变化；温度非均匀变化）

例1已知高压蒸汽管道。八£、/、/、&T,求温度应力内一线膨胀系数。

解：（1）平衡方程：

E网=0死―弓=0(a)

FA=FB,

(2)变形条件：MT=A/ra(b)

(3)物理条件：

A/r=CX[ATI

-里(c)

，，EA.

式(c)代入式(b)a\Tl=—(d)

}EA

联解(a)(d)得：巴=FB=EAa^T

应力：%="=&/£AT

A

二.装配应力

静定结构，由于构件制造的微小误差，在装配时会引起结构几何形

状的微小改变，而不会引起内力。但超静定结构，由于加工的微小误差，

在装配时，将在结构内引起应力，这种应力称为装配应力。

例2已知8为很小量,小=42,h=12,Ei=E?,E3,4，I,a,求：

°1°2,。3

解：（1）平衡方程〃〃/〃〃/〃/〃/

=0Fsina-Fsina=0

N1N2'：（

=0F-cosa-Fcosa=0

N3FN1N2

（2）变形协调条件

A/3+A/,/cosa-5

rvjol

（3）物理条件：

E3A>⑹\WUI6

A/_.r//cosa

‘一44JALI\

式（c）代入式（b）得补充方程D品&

F"［九N/〃cosa=6Q

E3A344cosa

X

A

联解式（a）式（d）得

p_毋34

N3/2£3

"/（14-£34IAcosa）

F二阳4

N22/cos"（1+44/2用4cos3a）

应力历=%=勺

44

例3钢杆①②③Z=200mm2,/=1000mm,£=210GPa,5=0.8mm,

AC为刚性杆，求：装配后的&1、⑸2、&3

解：装配后的变形如图示

(1)平衡方程

=0FN3-2（7-然2a=0

EM=0FN1-2a-FN2a=0

(2)变形协调条件

M+2M+M=3（b）

(3)物理条件:

式(c)代入式(b)得补充方程

、+2^~+刷=3

EAEAEA

联解式（a）式（d）得

FNI=5.33kN

FN2=10.66kN

FN3=5.33kN

§2.12应力集中的概念

1.概念

等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。

由于实际需要，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以

致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。实验结果和理论分析表明，在

零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。

2.应力集中——由于杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大

的现象，称为应力集中。

3(b)

3.理论应力集中因数

(7

K=—

。max最人应力

0-----平均应力

试验结果表明：截面尺寸改变得越急剧、角越尖，孔1

越小，应力集中的程度就越严重。因此，零件应尽量避免""

带尖角的孔和槽，对阶梯轴的过渡圆弧，半径应尽量大一------

些。/仁1

4.材料对应力集中敏感性讨论

\F

塑性材料（不敏感由于屈服可使应力重新分布而松驰

脆性材料（敏感康大应力达到强度极限而产裂纹,若裂纹

西却升失稳扩展而发生断裂

灰铸铁（不敏感的部不均匀性和缺陷往往是产生应力集

中的主要因素，外形改变引起的应力集中的次要因素对

强度无明显影响

动载荷（非常敏感晋零件受冲击载荷或交变应力作用时，不论是塑

性材料还是脆性材料都有严重影响，往往是零件破坏的主

要根源

§2.13剪切和挤压的实用计算

1.剪切的实用计算

（1）连接件：抑钉.、销钉、螺栓、键等都是

受剪构件。

剪切：当在杆件某一截面处，在杆件两侧受

到等值，反向、作用线平行且相距很近一对力作

用时，将使杆件两部分沿这一截面（剪切面）发

生相对错动的变形，这种变形称为剪切。(b)

（2）切应力

ZF,=0F-Fs=0

Fs=F

假定切应力在剪切面上均匀分布，则

F

T=——s

A

（3）强度条件

r=—<[r]

A

强度计算：（p校核

②设计截面%>鲁F

③确定许用载荷&《用力

2.挤压的实用计算

(1)挤压：在外力作用下，在连接件和被连接件之间，必须在接触

面上相互压紧，这种现象称为挤压。

(2)挤压应力

F

Gbs-丁

F——挤压力

/bs——挤压面面积

假定挤压应力在挤压面上均匀分布。

(3)挤压面面积：

①挤压面为平面，面积为平面面积

②挤压面为圆柱面，取直径面面积,所得平均应力与最大挤压应力

大致接近。Ahs=8d

(4)强度条件:

P

4

例1已知材料的剪切许用应力［T］和拉伸的许用应力［。］