专题17 最值模型之将军饮马模型（原卷版）

专题17最值模型之将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（

）A． B． C． D．例2．（2023·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________．例4．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．例5.（2023·重庆·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7 B．6 C．9 D．10例6．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.例1．（2023·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．例2．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15 B．30 C．45 D．60例3．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如图1，两个点都在直线外侧：辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.（2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧：辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.图1图2（3）如图3，两个点都在内侧：辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.（4）如图4，台球两次碰壁模型：辅助线：同图3辅助线作法。图3图4例1．（2023·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．例2．（2023·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2023·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、将军饮马--线段差的最大值【模型探究】A，B为定点，在定直线m上分别找两点P，使PA与PB的差最大。（1）如图1，点A、B在直线m同侧：辅助线：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）如图2，点A、B在直线m异侧：辅助线：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’图1图2例1．（2023·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．例2．（2023.山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（） A.12 B.8 C.6 D.2例3．（2023·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则________．课后专项训练1．（2023·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．53．（2023·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．4．（2023·河南·九年级专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点M，，的周长是，若点在直线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°6．（2023·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________．7．（2023·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．8．（2022·重庆·八年级期末）如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为______．9．（2023·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．10．（2023·陕西安康·八年级期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．11．（2023·广东·七年级期中）如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．12．（2023·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=_____（度）．13．（2023·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．14．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．15．（2023·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．16．（2023·广东·八年级专题练习）如图，