2025版高考数学二轮复习专题限时集训10圆锥曲线的定义方程及性质理

PAGE1-专题限时集训(十)圆锥曲线的定义、方程及性质[专题通关练](建议用时：30分钟)1．(2024·贵阳一模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，则C的焦点坐标为()A．(4,0) B．(2,0)C．(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C[因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.]2．(2024·沈阳一模)若点(eq\r(3)，0)到双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的距离为eq\r(2)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)或eq\f(\r(6),2) D.eq\f(\r(3),3)A[双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即ay±bx＝0，由题知(eq\r(3)，0)到渐近线的距离为eq\r(2)，即eq\f(|\r(3)b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(2)，由a2＋b2＝c2得eq\r(3)b＝eq\r(2)c,3(c2－a2)＝2c2，即c2＝3a2，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，故选A.]3．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2eq\r(15)，0)，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,20)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,75)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,20)＝1D[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依题意得，eq\f(2a,2b)＝eq\f(a,b)＝2⇒a＝2b，∵c＝2eq\r(15)，c2＝a2－b2，∴(2eq\r(15))2＝(2b)2－b2⇒b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,20)＝1.]4.如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为()A．2 B．3C．4 D．5B[因为b2＝2，c＝eq\r(a2－2)，所以|F1F2|＝2eq\r(a2－2).又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝eq\f(42＋2a－42－2\r(a2－2)2,2×4×2a－4)＝－eq\f(1,2)，解得a＝3.]5．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为()A．15° B．30°C．45° D．60°B[分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′(图略)，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq\f(1,2)|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝eq\f(1,2)|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B.]6．[易错题]若方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))[由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋m＞0，,m＋1＜0，,2＋m≠－m＋1.))解得－2＜m＜－1且m≠－eq\f(3,2).]7．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)上，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±eq\f(\r(2),2)x[由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线上，代入方程解得a＝eq\r(2)，又因为b＝1，所以渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.]8．[易错题]若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)，则椭圆的方程为________．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1[由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))所以b2＝a2－c2＝9.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.故椭圆的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.][实力提升练](建议用时：20分钟)9．(2024·全国卷Ⅰ)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)D[由题意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故选D.]10．(2024·珠海质检)过点M(1,1)作斜率为－eq\f(1,3)的直线l与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．eq\f(\r(6),3)[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2，,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq\f(b2,a2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,3)，∴a2＝3b2.∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3).][点评]点差法适用范围：与弦的中点轨迹有关、与弦所在直线斜率有关.11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满意eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，则eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kAC)＋eq\f(1,kBC)＝________.0[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝－eq\o(FC,\s\up7(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)，y1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(p,2)，y3))，y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)，kAC＝eq\f(y3－y1,x3－x1)＝eq\f(2p,y1＋y3)，kBC＝eq\f(y3－y2,x3－x2)＝eq\f(2p,y2＋y3)，所以eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kAC)＋eq\f(1,kBC)＝eq\f(y1＋y2,2p)＋eq\f(y3＋y1,2p)＋eq\f(y2＋y3,2p)＝eq\f(y1＋y2＋y3,p)＝0.]12．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，且点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为eq\f(6\r(2),7)，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．[解](1)由题意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2＝b2＋c2，所以b2＝eq\f(3,4)a2.因为椭圆C经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(\f(9,4),\f(3,4)a2)＝1，解得a2＝4，所以b2＝3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，明显Δ＞0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(6t,4＋3t2)，y1y2＝－eq\f(9,4＋3t2)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(36t2,4＋3t22)＋\f(36,4＋3t2))＝eq\f(12\r(t2＋1),4＋3t2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|F1O|·|y1－y2|＝eq\f(6\r(t2＋1),4＋3t2)＝eq\f(6\r(2),7)，化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得teq\o\al(2,1)＝1，teq\o\al(2,2)＝－eq\f(17,18)(舍去)．又圆O的半径r＝eq\f(|0－t×0＋1|,\r(1＋t2))＝eq\f(1,\r(1＋t2))，所以r＝eq\f(\r(2),2)，故圆O的方程为x2＋y2＝eq\f(1,2).题号内容押题依据1圆的标准方程，双曲线的方程及性质，直线与圆的位置关系圆与圆锥曲线的位置关系是最近几年的高考热点，而双曲线的渐近线是双曲线的特有几何性质，将两者结合较好的考查了考生的学问迁移实力2轨迹的求法，弦长公式，方程思想的应用，向量的运算以定长线段为载体，向量为工具考查了动点轨迹的求法，并借助方程思想解决问题，考查了考生的转化实力，探究实力及数学运算实力【押题1】经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则下列说法正确的编号有________．①该双曲线的离心率为2；②该双曲线的一条渐近线方程为y－eq\r(3)x＝0；③该双曲线的标准方程为eq\f(x2,11)－eq\f(y2,\f(11,3))＝1.①②[设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3)，即渐近线方程为y±eq\r(3)x＝0，故②正确；因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，将点(2,1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求双曲线的方程为eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1，故③错误，又离心率e＝eq\r(\