2025届河南省南阳中学高三5月份第一次质检试题（数学试题理）含解析

2025届河南省南阳中学高三5月份第一次质检试题（数学试题理）请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．452．函数（），当时，的值域为，则的范围为（）A． B． C． D．3．函数且的图象是（）A． B．C． D．4．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D．2016年与2019年艺体达线人数相同5．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．6．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定7．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．8．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．09．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为()A． B． C． D．11．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A． B． C． D．12．已知复数，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）14．在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________．15．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．16．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.18．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．19．（12分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.20．（12分）已知.（1）解关于x的不等式：；（2）若的最小值为M，且，求证：.21．（12分）己知圆F1：(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3)，圆F1：(x-1)1+y1=(4-r)1．（1）证明：圆F1与圆F1有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；（1）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k1，直线QN的斜率为k1，是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．22．（10分）已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.2．B【解析】

首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.【详解】因为，所以，若值域为，所以只需，∴.故选：B本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.3．B【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【详解】由题可知定义域为，，是偶函数，关于轴对称，排除C，D.又，，在必有零点，排除A.故选：B.本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.4．A【解析】

设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.5．B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．A【解析】

利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题7．C【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.8．A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.10．C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，故选C本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.11．B【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种，这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选：B本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12．B【解析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以，化简整理得详解：，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1，故答案为：1．本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．14．【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形，以为原点建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，则所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.15．【解析】

由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.16．【解析】

本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）乙同学正确（2）分布列见解析，【解析】

（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.，，于是“理想数据”的个数的分布列本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18．（1）（2）【解析】

（1）项和转换可得，继而得到，可得解；（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解【详解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵数列为递增数列，∴，即．令，即．∴为递增数列，∴，即的取值范围为．本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【详解】解：（Ⅰ）可得，结合，解得，，，得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，由，得，由，得，∵，设点O到直线：的距离为d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，则，四边形的面积当且仅当，即时取“”.∴四边形面积的最大值为4.本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.20．（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.【详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立，当时，等价于，该不等式解集为，当时，等价于，解得，综上，或，所以不等式的解集为.（2），易得的最小值为1，即因为，，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立.本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.21．（1）见解析，（1）存在