北师大版高中数学必修五教学案

列

§1数列

1.1数列的概念

睦就EH喇自课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P3〜6,思考并完成以下问题

(1)什么是数列？数列的项指什么？

(2)数列的一般表示形式是什么？

(3)按项数的多少，数列可分为哪两类?

(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？

［新加初源］

1.数列的概念

(1)定义：按一定次所排列的一列数叫作数列.

(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项.

(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成。2,。3,…，即…，简记为数列为口数列的第1

项〃”也称首项;%是数列的第〃项，也叫数列的通项.

［点睛］

(I)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是

“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置.

(2)项%与序号”是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中

的位次.

(3)｛斯｝与%是不同概念：｛%｝表示数列“1,a2,43,…，«n,,•,；而。"表示数列｛%｝中的第"

项.

2.数列的分类

项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.

3.数列的通项公式

如果数列｛%｝的第"项％与"之间的函数关系可以用一个式子表示成%=/("),那么这个式子叫

作数列的通项公式.

［点睛］

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，”｝为定义域的函数

解析式.

(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

4.数列的表示方法

数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法.

I小斌身手］

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)同一数列的任意两项均不可能相同.()

⑵数列-1,0,1与数列1,0,—1是同一个数列.()

(3)数列中的每一项都与它的序号有关.()

答案：⑴X(2)X(3)7

2.已知数列｛斯｝的通项公式为即=!一(「则该数列的前4项依次为()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.1,0,1,0D,2,0,2,0

3.已知数列｛%｝中，%=2"+1,那么〃2"=()

A.2"+1B.4"-1

C.4"+1D.4”

,

解析：选C'：a,.=2n+\,..a2„=2(2w)+l=4n+l.

4.数列1,3,6,10,x,21,…中，x的值是()

A.12B.13

C.15D.16

解析：选C—1=2,6—3=3,10—6=4,

x-10=5,

课堂讲练设计，举一能通类题

数列的概念与分类

［典例］下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？

(1)｛0,1,2,3,4｝；(2)0,1,2,3；(3)0』,2,3,4，…；(4)1,-1,1,-1,1,T,(5)6,6,6,6,6.

［解］(1)是集合，不是数列；

(2)(3)⑷⑸是数列.

其中(3)(4)是无穷数列，(2)⑸是有穷数列.

数列分类的判断方法

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限

项，则是有穷数列，否则为无穷数列.

-［活学活用］

下列说法中，正确的是()

A.数歹!|0,2,4,6可表示为｛0,2,4,6｝

B.数列1,3,5,7,9,i的通项公式可记为斯=2"+1

C.数列2013,2014,2015,2016与数列2016,2015,2014,2013是相同的数列

D.数列｛斯｝的通项公式斯=常黑，则它的第A项是1+讦枭

解析：选D数列与数的集合的概念不同，A不正确；当"CN+时，没有第一项1,所以B不

正确；C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.

题型二

［典例］分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.

―22T3-4一52~1

⑴2'3，4，5，…；

/、、1111

(2)-亍干一五,而，…;

(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,•••.

［解］(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.

分子中的好不健寸恰是分母的平方，一1不变，故它的一个通项公式为斯=("：?］L

(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子分子均为1不变，分母

2,6,12,20可分解为1X2,2X3,3X4,4X5,

则它的一个通项公式为斯=(-1

(3)0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001,

0.9999=1-0.0001,

而0.1=10-1,0.01=10~20.001=10-3,0.0001=10-4,

，它的一个通项公式为〃〃=1—10一”.

woo由数列的前几项求通项公式的解题策略

(1)负号用(一1)”与(-1)"+1(或(一1)"7)来调节，这是因为“和”+1奇偶交错.

(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系.

(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、

归纳、转化等方法.

［活学活用］

写出下列数列的一个通项公式:

(1)0,3,8,15,24,…;

(3)1；,2多3习,卷….

解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1—1,3=4—1,8=9—1,15=16—1,24=25—1,…，所以

它的一个通项公式是%="2—1.

(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：;，11学，磊…,

2

所以它的一个通项公式为

(3)此数列的整数部分1,234,…恰好是序号〃，分数部分与序号〃的关系为#p故所求的数

列的一个通项公式为%=〃+不

利用通项公式确定数列的项

［典例］已知数列｛%｝的通项公式为%=3"2—28".

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)—49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由.

|解|(1>%=3〃2—28”,

2

/.a4=3X4-28X4=-64,

2

a6=3X6-28X6=-60.

⑵令3，/-28"=-49,即3M—28"+49=0,

7

解得〃=7,或〃=§(舍).

・・・一49是该数列的第7项，

即〃7=—49.

令3〃2—28〃=68,即3，-28〃-68=0,

解得〃=—2,或〃=芋,

；-2阵N+，合N+，.•.68不是该数列的项.

(1)数列的通项公式给出了第"项％与它的位置序号"之间的关系，只要用序号代替公式中的",

就可以求出数列的相应项.

(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程.若方程的解为正整数，则是

数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项.

-［活学活用］

已知数列｛斯｝的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍.

(1)求这个数列的第4项与第25项；

(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？

解：(1)由题设条件，知%=g+2”.

.,.04=^4+2X4=10,a25=V25+2X25=55.

(2)假设253是这个数列中的项，则253=5+2”，解得“=121.，253是这个数列的第121项.

假设153是这个数列中的项，则153=g+2",解得〃=72；,这与“是正整数矛盾，二153不

是这个数列中的项.

物缰糅‘国唳摩至知课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

f3〃+l,〃为奇数，

1,数列的通项公式为%=、，七口将则“29等于()

12/1—2,〃为偶数，

A.70B.28

C.20D.8

3"+1,”为奇数，

解析：选C由%得畋=2,的=10,所以。2・。3=2().

In—2,〃为偶数，

2.下列叙述正确的是()

A.同一个数在数列中可能重复出现

B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数

C.任何数列的通项公式都存在

D.数列的通项公式是唯一的

解析：选A数列的通项公式的定义域是正整数集N+或它的有限子集，选项B错误；并不是

所有数列都有通项公式，选项C错误；数列一1,1,一1,1,…的通项公式可以写成%=(—1)”,也

可以写成%=(—1)/2,选项D错误.故选A.

3.已知数列｛%｝的通项公式为%=〃2—〃一50,则一8是该数列的()

A.第5项B.第6项

C.第7项D.非任何一项

解析：选C由50=—8,得"=7或"=-6(舍去).

4.数列1,—3,5,—7,9,…的■—个通项公式为()

A.a„=2n~\B.%=(—1)"(1-2")

C.%=(—1)”(2〃-1)D.a,-(-l)n(2n+l)

解析：选B当”=1时，用=1排除C、D;当”=2时，做=-3排除A,故选B.

1j/1—2

5.在数列一1,0,G，…，卞~,…中，0.08是它的()

A.第100项B.第12项

C.第10项D.第8项

>1—2n-25

解析：选C由,2,合一/=0.08,解得〃=10或〃=3(舍去).

6.数列1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式为.

解析：由01=2°,02=2、«3=22,04=2。…易得%=2"L

答案：%=2〃T

7.600是数歹打X2,2X3,3X4,4X5,…的第项.

解析：由题意知，数列的通项公式%=〃(〃+1),令"〃=〃(〃+1)=600,解得〃=24或〃=—25(舍

去).

答案：24

8.已知曲线yuf+l,点(〃，a〃)(〃£N+)位于该曲线上，贝!Uio=.

2

解析：•・•点(〃,%)位于曲线[=/+1上，/.a„=n+l9故4]O=1()2+1=1OL

答案：101

9.根据下面数列｛斯｝的通项公式，写出它的前5项.

(1)«»=2„-1!(2)%=sin詈；(3)%=2"+1.

Q1CQ

解：(1)在通项公式中依次取〃=1,2,3,4,5,得到数列｛%｝的前5项为0,1,g,y,7

(2)在通项公式中依次取"=1,2,3,4,5,得到数列｛明｝的前5项为1,0,-1,0,1.

(3)在通项公式中依次取“=1,2,3,4,5,得到数列｛明｝的前5项为3,5,9,17,33.

10.在数列｛%｝中，«1=2,017=66,通项公式是关于"的一次函数.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求。2016；

(3)2014是否为数列｛%｝中的项？

k+b=2,

解：6设％=〃"+好。0),则有,r-八“

U7A+〃=66,

解得4=4,b=-2.

:.斯=4〃—2.

(2)仅016=4X2016-2=8062.

(3)令2014=4〃-2,解得〃=504£N+,

.*.2014是数列｛%｝的第504项.

层级二应试能力达标

1.数列2,0,4,0,6,0,…的一个通项公式是()

A.%=a1+(-1)”|

B.a„=^y^|l+(—1)，，+1]

C.%=?1+(-1)"+1]

D.。“=咛〜1+(-1)"]

解析：选B经验证可知B符合要求.

2.已知数列2,-5,10,-17,26,一37,…，则下列选项能表示数列的通项公式的是()

A.</„=(—l)n/j2+lB.a„=(—1)"+,(/»2+1)

C.«„=(-1)H(«2+1)D.a„=(-l)"+,(n2-l)

解析：选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1,且奇数项是正的，偶数项是

负的，.•.通项可以写成%=(—1rH(/+1).

3.数列巾,由，2y[2,汨，…，贝!|2m是该数列的()

A.第6项B.第7项

C.第10项D.第11项

解析：选B数列啦，点，2^2,匹，…的一个通项公式为-1("GN+),令2小=

-得"=7.故选B.

4-设%…+±("GN+),那么叫+1一”“等于()

A_>_R^_

人2"+1七"+2

1111

C'2"+l十2"+2D-2n+i_2n+2

解析：选D.•.斯=3工+/+去+~+1?

+++,

..a„+i-H+2+n+3+-2n2n+\2n+2

.__1j11_11

..%+i%-2"+1十2"+2〃+1-2"+12n+l

5.已知数列｛%｝的通项公式%="2-4”-12("dN+),贝lj

(1)这个数列的第4项是；

(2)65是这个数列的第项.

解析：（1）由a4=42-4X4-12=-12,得第4项是一12;

(2)由%="2—4〃-12=65,得«=11或"=一7(舍去)，

.♦.65是第11项.

答案：⑴一12(2)11

6.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第〃个图形中有个点.

①②③④⑤

解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,故第〃个图中

点的个数为(〃-+

答案：,J-〃+1

7.根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.

(1)-3,0,3,6,9,•••；

(2)7,77,777,7777,77777,…；

(3)2,0,2,04,0,•••；

,八115132961

(4)2，4，8'16'32'64',

解：(l)〃i=-3+0X3,a2=-3+lX3,。3=一3+2乂3,%=一3+3乂3,….

〃“=—3+(〃—1)X3=3〃—6(/i£N+).

772

(2)ai=gX(10—l),a2=^(10-l),

«3=^(103-1),«4=^X(104-l),

7

-

9

(3)«1=1+1,“2=1—1,的=1+1,々4=1-1,・••・

.•.%=l+(-l)i("GN+).

小2-322-323-324-3

29

(4)〃i=—―-,a2=2。3=-2?，"4=2：

2W—3

.•.%=(T)"^^("GN+).

|2点选做题

8.写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2

563是否是该数列中的一项.

解：该数列的项为13+1X2,13+2X3,13+3X4,….故其通项公式可以为«„=13+»("+!)(»

EN+).

令13+"("+1)=2563,则n+n=2550.

解得"=50或”=一51(舍去).

，2563是该数列中的第50项.

1.2数列的函数特性

■贩丽0丽理，深前自主学习，基税才能楼高

预习课本P6〜8,思考并完成以下问题

(1)什么数列是递增数列？

(2)什么数列是递减数列？

(3)常数列是什么样的数列？

［新知初探］

数列的单调性

(1)一个数列｛%｝,如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即侬^%,那么这个数列叫

作递增数列.

(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即外"％,那么这个数列叫作

递减数列.

(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列

叫作摆动数列.

(4)如果数列｛%｝的各项都相等，那么这个数列叫作赏数列.

［小就身手］

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“，错误的打"X”)

(1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列.()

(2)数列是特殊的函数，因此其图像是连续不断的曲线.()

(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性.()

答案：⑴义(2)X(3"

2.已知数列｛斯｝满足%3=0,则数列｛。“｝是()

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.不能确定

解析：选A由条件得%+L%=3>0可知%+］>%,所以数列｛%｝是递增数列.

3.已知递减数列｛%｝中，%=A"(A为常数)，则实数A的取值范围是()

A.RB.(0,+~)

C.(一8,0)D.(一8,0)

解析：选Ca„+i—a„=k(n+1)—AM=A<0.

4.设%=—"2+10〃+11,则数列｛%｝的最大项为()

A.5B.11

C.10或11D.36

解析：选D,/a„=-n2+10/»+ll=-(/j-5)2+36,

...当”=5时，％取得最大值36.

字课堂讲练设计，举一能通类题

数列的图像及应用

2

［典例］已知数列｛斯｝的通项公式为斯=五、，画出它的图像，并判断增减性.

|解|图像如图所示，该数列在｛1,2,3,4｝上是递减的，在｛5,6,…｝上也是递减的.

----QM0利用数列的图像判断数列的增减性

数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性.

［活学活用］

已知数列｛%｝的通项公式为作出该数列的图像并判断该数列的增减性.

解：分别取“=1,2,3,…，得到点(1,1),(2,3),(3,5),…，描点作出图像.如图，它的图像是

直线y=2x-l上的一些等间隔的点.

由图像可知该数列为递增数列.

题型二数列增减性的判断

［典例］已知数列｛%｝的通项公式外,=忐，试判断该数列的增减性.

［解I%+1-斯-("+］)2+i-小］

1—一〃

=|(n+l)2+1］(//+1)-

因为〃£N+,所以1—〃2—〃<0,

所以%+i—%<0,

即“〃+］<%.故该数列为递减数列.

应用函数单调性判断数列增减性的方法

(1)作差法，将%+1—%与。进行比较；

(2)作商法，将竽1与1进行比较(在作商时，要注意％<0还是«„>0).

un

［活学活用］

23

--

…的通项公式，并判断它的增减性.

4^7y

解：该数列的通项公式为%=而、,

〃+1

•外尸石下1尸1一而二I

一2

(3"+1)(3〃-2)，

；"GN+,.*.(3«+1)(3»-2)>0,

：.a„+i<a„,J.该数列为递减数列.

一题，取数列的函数特性的应用

题型三题根展现

题点一：求数列的最大(小)项

1.已知数列｛%｝的通项公式%=(〃+1)

"(〃GN+),试问数列｛%｝有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.

解：法一：假设数列｛%｝中存在最大项.

■:%+1-%=("+2)借尸-("+1)借)"=给)",^^'

当时，斯+1—即>0,即。〃+1>%;

当〃=9时，斯+1—%=0,即。〃+1=%；

当w>9时，%+］一即<0,即an+i<an.

故〃尸畋^3V…y9=aio>aii>ai2…，

1O10

所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且的=由0=〒/.

您2您一19

法二：假设数列｛斯｝中有最大项，并设第A项为最大项，则、对任意的AWN+且〃22

4.仅A+1

都成立.

卜+1)⑵式卧，

即[(A+1)借卜(A+2)造尸，

阳+1)2,

A+1叫A+2),

解得9WAW10.

又AGN+,

数列｛%｝中存在最大项是第9项和第10项，

H-一驾

且的一。10-]]9・

题点二：由数列的单调性求参数问题

2

2.已设数列｛斯｝的通项公式为：a„=n+kn(n^+),若数列｛%｝是单调递增数列，求实数A的

取值范围.

解：法一：•・•数列｛%｝是单调递增数列，

:.斯+1-«„>0(/»GN+)恒成立.

又；a,,="2+〃"(“eN+),

；.(〃+1y+A(〃+1)—(〃2+A”)>0恒成立.

即2/i+l+QO.

...A>-(2"+l)("eN+)恒成立.

而“GN+时，一(2〃+1)的最大值为一3("=1时)，

.♦.A>-3.即A的取值范围为(-3,+0°).

法二：结合二次函数y=x2+fcv的图像，要使｛%｝是递增数列，只要。产“2即可，

即1+A<4+2A,得A>-3,

所以A的取值范围为(-3,+8).

题点三：数列与函数的综合应用

3.已知函数/(x)=2"-2数列｛%｝满足/Uog2%)=-2".

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)证明数列｛%｝是递减数列.

解：(1)：於)=2'—2//(log2%)=—2〃，

:.21og2«„—2—log2a„=—2n,

.•.%士-2〃，

2

%+2〃。”-1=0,解得a,t=—n^\]n+l.

Van>0,atl=y///+l—n,〃£N+.

j\Z（/7+1）2+1―（//+1）

(2)证明：

:/干+〃<1.

q（〃+i）2+i+（〃+i）

♦。">0,••%+]<%,

数列｛%｝是递减数列.

函数思想方法在数列问题中的应用

(1)数列的单调性是通过比较｛%｝中任意相邻两项％与%+1的大小来判定的.某些数列的最大项

或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决.

(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N+(或它的有限子集).

尼的猱'建唳卡苧知课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

i.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()

.,111口.兀.27r.37r

A.1,p『…B.smy,sin万，sin万，…

C.—1,—I，—I，—g,…D.L也,小，…,Vil

解析：选CA是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.

fl--1

2.已知数列｛斯｝的通项公式是％=鬲，那么这个数列是()

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

n—12

解析：选A斯=17=1一下7，随着〃的增大而增大.

n~rIn~rI

3.数列｛%｝中，%=—"2+""，则此数列最大项的值是()

B.30

C.31D.32

解析：选B4,=-"2+11"=一("—/)+号，

；"GN+,.,.当”=5或6时，。"取最大值30,故选B.

4.数列｛%｝中，9=1,以后各项由公式〃1•畋g%=〃2给出，则的+的等于()

25-25

A・5Bl6

925

解析：选C'.“is.....%=，/，2a3=9,ara2=4,.\a3=^.同理。5=正，/.a3+a5

925__6£

4+16=16,

5.已知数列｛%｝满足例>0,且。"+1=V7%,则数列｛%｝的最大项是()

A.ci\B.的

C.〃ioD.不存在

解析：选AV«i>0JLan+i=?；«/,,刍"■=一/<1,*'•an+\<an9・,•此数列为递减数

n-riann-ri

列，故最大项为41.

6.若数列｛%｝的通项公式为%=与

(A>0,且A为常数)，则该数列是(填“递增”“递减”)数列.

解析：；i=3"+i7=§<L；A>。，,“"〉。，

二｛即｝是递减数列.

答案：递减

7.数列｛-2/J+9〃+3｝中最大项的值为.

解析：由已知%=—2"2+9/?+3=—2(”一由于“为正整数，故当"取2时，叫取到

最大值13.

数列｛-27+9"+3｝的最大项为做=13.

答案：13

2

8.数列｛%｝中，%=声下则数列｛%｝的最小项的值为.

但赤••_("+1)2_/

解析：“"+1%—(“+1A+1"2+1

("+[)2("2+1)—〃2[(〃+[)2+[]__________2〃+1_______

22=22>0

二|(„+1)+1|(W+1)|(W+l)+l|(n+l)-

：.a„<an+i,数列｛%｝是递增数列，

，数列｛%｝的最小项为«i=2«

答案，

9.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来,

(l)a„=(-l)"+2；

(2)%=*

解：=畋=3,〃3=1,%=3,。5=1,图像如图L

(2)«|=2,02=5,的=§,04=不”5=g•图像如图2.

%

44

33

22

11

o12345nO12345»

图1图2

10.已知数列｛%｝的通项公式为即=〃2—21〃+20.

(1)〃为何值时，即有最小值？并求出最小值；

(2)数列｛斯｝有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由.

=/—21〃+20=(〃一到2一丹可知对称轴方程为〃=当=10.5.又因wGN+,

解：(1)因为许

故〃=10或〃=11时，〃〃有最小值，其最小值为1。2—21X10+20=-90.

(2)由(1)知，对于数列｛%｝有：=2V…，故数列｛斯｝没有最大项.

层级二应试能力达标

1.函数/)定义如下表，数列｛/｝满足Xo=5,且对任意的自然数均有x〃+i=Ax")，则X2

017=()

X12345

f(x)51342

A.1B.2

C.4D.5

解析：选B根据定义可得出：xi=/(xo)=2,x2=/(xi)=l,X3=/(X2)=5,X4=A^3)=2,…，

所以周期为3,故X2O17=X1=2.

2.对任意的£(0,1),由关系式〃〃+1=7(%)得到的数列满足%则函数y=/(x)的

图像是()

CD

解析：选A据题意，由关系式%+1=八％）得到的数列｛%｝,满足％+1>%,即该函数j，=/（x）

的图像上任一点（x,y）都满足y>x,结合图像，只有A满足，故选A.

3.已知数列｛""｝满足"1=0,%+1=嗝”f[（"eN+），贝!1。20=（）

A.0B.一于

C.5D.申

解析：选B由m=0,可求做=求瑶=一也,”3=指答=小'"产/第=0,…，

可知周期为3,所以〃20=。2=—6・

4.已知%=昌||，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是（

A.41，430B.41，。9

C.〃[0,的D・〃10，«30

〃―啊+（啊一匹）遮一啊+]

解析：选CH-*^99^/99'

\[99—\[98

・••点（〃，%）在函数j，=\_｛回+1的图像上，

ylgg--x/oe

在直角坐标系中作出函数_^=七靖-+1的图像,

由图像易知，当xG（0,啊）时，函数单调递减.

:.7V…,

当+8）时，函数单调递减，・・・〃10>41]>…>〃30>1.

所以，数列｛%｝的前30项中最大的项是％0,最小的项是的.

5.已知数列｛斯｝的通项%=游/〃，〃，c都是正实数），则%与%+1的大小关系是

an_u

解析：•・・明b,C均为实数，质）=d’一在（0,+8）上是增函数，故数列斯=

bx+cbn+c"

.

b+TX

GN+时为递增数列，

答案:Q〃+i>a”

(,1A

xI2,X'"""'J

7

6'已知函数於)="2x-l,l<x<l,若数列｛%｝满足“1=j>%+i=/(%)，“GN+，则“2

u—1,x21,

015+a2016=-

解析：«2=/£)=j-1=|；

。3=周=914

^=Xl)=3+2=6;

%=局=2'114

^=Xi)=2X3-1=3-

即从的开始数列｛%｝是以3为周期的周期数列.

。2015+。2016=«5+43=L

答案：1

7.已知函数/(x)=±l，设%=/5)(〃eN+),

⑴求证：%<1；

(2)数列｛%｝是递增数列还是递减数列？为什么？

解：(1)证明：a„=/(/0=^^~=,—n<L

(2)数列｛%｝是递增数列，理由如下：

•••*-%=噜:『=(1V(T)=品7。,

...｛斯｝是递增数列.

我选做题

8.数列｛0｝的通项公式为瓦尸〃。"5>0),问：也,｝是否存在最大项？并说明理由.

解：/»„+1—b„=(n+i)a"+'—na"=a"\(n+i)a—n\

=«"[(«—l)n+«].

当。>1时,b“+i-b”>0,故»“｝为递增数列，无最大项；

当。=1时，b„+i—bn=l,故»"｝不存在最大项；

当0<«<1时，

bn+t-bn=a"(a-l)[>i+-^^=aXa-l)(n—^^.

V0<a<l,/.a\a-1)<0,

即6〃+】一瓦与〃一黄;有相反的符号.

由于〃为变量，而言为常数，设A为不大于言的最大整数,

则当“WA时，瓦+i—〃“20；

当〃,〃时，bn+]—bn<09

即有b[〈b2Vb3<…<bk-iWbk,且瓦>瓦+1>…,

故对任意的自然数“，bWbk,

.,.0<a<lBf,｛瓦｝存在最大项.

§2等差数列

2.1等差数列

第一课时等差数列的概念与通项公式

睦就EH喇自课前自主学习，基稳才,楼高

预习课本P10〜12,思考并完成以下问题

(1)什么样的数列是等差数列？

(2)等差数列的通项公式是什么?

［新扣初探］

1.等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同二个常数，我们称这样的数列为

等差数列.称这个常数为等差数列的公差，通常用字母4表示.

I点睛］

(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.

(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差

的顺序；②这两项必须相邻.

(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能

称为等差数列.

2.等差数列的通项公式

若等差数列｛%｝的首项是①，公差是“，则这个数列的通项公式是&=，“+(〃-1)4.

［点睛］

等差数列的通项公式%=。1+("—"l)”中有4个变量%,a\,n,d,在这4个变量中可以''知

三求一”.

［小锹身手］

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数歹!j.()

(2)常数列是等差数列.()

(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列.(

答案：⑴J(2)V(3)X

2.已知等差数列｛%｝的首项e=2,公差"=3,则数列｛%｝的通项公式为(

A.a„=3n~lB.。”=2"+1

C.%=2"+3D.%=3"+2

解析：选Al)d=2+("—1)・3=3"-1.

3.数列｛斯｝的通项公式%=2"+5,则此数列()

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为"的等差数列

解析：选A斯=2〃+5=2("—1)+7,首项的=7,公差4=2,故选A.

4.已知等差数列｛%｝,«1=7,“7=1，则公差"=.

解析：«i=7,“7=1,由%="1+("-1)”得1=7+64,

答案：一1

课堂讲练设计，举一能通类题

求等差数列的通项公式

I典例］已知｛%｝为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.

(1)的=5,〃7=13；

(2)前三项为：a,2°—1,3—

［解］(1)法一：设首项为由，公差为"，则

。3=〃1+21=5,〃1=1,

解得，

。7=。1+6"=13,"=2,

:.%=。1+(〃-l)d=l+(〃-1)X2=2〃-1.

，通项公式是a“=2〃-1.

j。7一。313—