北师版暑假九年级数学上册尖子生讲义

北师版几年级数学目录

第1讲一元二次方程的概念及解法...............................................2

第2讲根的判别式及根与系数的关系.............................................9

j7"itt一行yu一次*Tx方*y-J程」+应］、i田.j।j・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・1・7・/

第4讲比例线段与黄金分割....................................................24

第5讲相似图形..............................................................31

第6讲平行分割..............................................................38

第7讲相似的判定与性质......................................................46

第9讲反比例函数的概念与性质54

第10讲反比例函数与一次函数................................................61

第11讲反比例函数与一次函数综合............................................67

第12讲二次函数的初步认识..................................................74

第13讲二次函数的图像（一）...................................................83

第1讲一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,且二次项系数不为0,这样的方程叫

一元二次方程.

一般形式：以2+法+c=0(aw0),其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式.

部典型例题弹狂?日

例题L1：已知(/n—1)恒—3x+l=0是关于x的一元二次方程，贝心”=.

练习1.1：关于x的方程(m-2)f一4%+3=0是一元二次方程，则加满足的条件是.

练习1.2：(«-1)xfl2+1+x+a2-l=0,求当。=时，方程是一元二次方程，当。

=时，方程是一元一次方程.

例题L2：下列方程中，是一元二次方程的是.

0%2—2x—1=0;@ax~+bx+c=0;③-r+3x~5=0；@(x—l)(x—3)—x2；(5)(x—I)-+y2—2；

x~

⑥-f=0.

练习12下列方程中，是一元二次方程的是.

①以2=0(。w0的常数)；②3(x—9)——(x+l)?=1；③---1-5=0；©X2-2+5X3—6=0；

x

22

⑤=33-2)2；@-X+2=-(X+1).

例题1.3：一元二次方程犬―6x-4=0的二次项为,一次项系数为,常数

项为.

知■识■要■点

一元二次方程的解及解法

1.使方程左右两边的值相等的未知数的取值，叫做方程的解.

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：对形如(％+。)2=从8»0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程

的方法.

x+a—±^/b

••xt=—a+ylb,^2=~a~ylb

(2)配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(左牛0)的一般步骤是：①化为一般形

式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④

配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(％+加)2=”的形式；⑤如果

就可以用两边开平方来求出方程的解；如果则原方程无解.

(3)公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一

-b±小-\ac

元二次方程的求根公式是工(Z?2-4tzc>0).

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a,b,c的值；③求出4ac的值，当〃一4加2。时

代入求根公式.

(4)因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：

若"=0,则a=0或6=0.(常用的因式分解方法有：提取公因式、公式法及十字相乘法)

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,

得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

5.一元二次方程的注意事项：

(1)在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a/0.因当a=0时，不含有二次项，即不是

一元二次方程.

(2)应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；②

若廿-4ac<0,则方程无解.

(3)利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.

如：—2(%+4)2=3(%+4)中，不能随便约去x+4.

部典型例题拄

例题2.1：关于x的一元二次方程(a—1)/+%+"-1=。的一个根是0,则a的值为—

练习2.1：关于%的一元二次方程(a—D£+1+,卜1=o的一个根为0,则实数。的值为

例题22已知加是方程f—x—1=。的一个根，则代数式m2一加的值等于

练习2.2：若加是关于尤的方程at?+法+5=0的一个解，则即？+加/-7=

例题23用直接开方法解下列方程

(l)(x+1)2=9(2)4%2-20=0

⑶⑵-3>=必

(4)45+3)2=25(x—2>.

例题2.4：用配方法解下列方程

(l)x2-6x-4-0(2)2.x~—3x—3—0

/4、1

(3)x(xH—)=—(4)x2+4x-7=6x+5

36

例题25用公式法解下列方程

(1)%?+2x—5=0(2)/—5=2(x+1)

(3)2f—2岳-5=0(4)(2%—1)2=%(3%+2)+17

例题2.6：用因式分解法解下列方程

(l)x2一x=0(2)X2-10X+25=0

(3)2%2+3x+1=0(4)(X+3)2-2(X+3)-3=0

e随堂测试(方显学霸本色)

VV

一、选择题

1.下列方程中，关于X的一元二次方程是()

A.3(X+3)2=2(X+1)B.-4+--2=0

xy

C.ax2+bx+c-GD.x2+2x=x2-1

2.关于x的一元二次方程(a?_i)必+x—2=0是一元二次方程，则a满足()

A.awlB.aw—lC.aw±lD.为任意实数

3.一元二次方程V—2(3厂2)+G+D=0的一般形式是()

A.~5x+5—0B.+5x—5=0C.x~+5x+5=0D.+5—0

4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（

A.%2—2%—99=0化为（%-1）2=100B.炉+8%_9=0化为(x+4>=25

C.2〃—7/—4=0化为（/—工）2=以D.3尤2一4%-2=0化为(/—4)2=二

41639

7

5.用配方法解方程尤2——1=0时，应将其变形为（）

3

810

A.(%--)2=B.(%+-)2=

3~93

10

C.(「A二=0D.(%--)2=

33-6

二、填空题

1.把一元二次方程（％-3）2=4化为一般形式为：,二次项为，一次项系

数为，常数项为.

2.一元二次方程V+px-2=0的一个根为2,则p的值___________.

3.关于元的方程（m-2）尤2-4尤+3=0是一元二次方程，则掰满足的条件是.

4.用配方法解方程f+5x+3=0,将其左边配成完全平方后，应将其变形为.

三、用指定方法解下列方程

（1）4（x+2>—81=0（直接开方法）(2)2?-6x=27(配方法)

(3)2/-4x—3=0(公式法)⑷x(2x+3)-2%—3=0(因式分解)

课后作业（都说温故而知新）

一、选择题

1.把方程1（%+2）=5（l一2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（)

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

2.用配方法解方程无2+10%+9=0,配方正确的是（）

A.-5)2=16B.(X+5)2=34C.(x—5)2=16D.(X+5)2=25

3.将方程》2-2尸3=0化为（Xi"）？=〃的形式，指出加，n分别是（)

A.1和3B.-1和3C.1和4D.-1和4

4.若2%2+3与2x-4互为相反数，则X的值为（）

11

A.2B.2C.±2D.±2

5.关于1的一元二次方程（加+1）/+工+/一2阳-3=0的一个根为％=0,则m的值为（）

A.加=3或加二-1B.机=-3或加=1C.m=-lD.m=3

6.解一元二次方程V—%—12=0,结果正确的是（)

石

A.玉=-4,x2=3B.=4,x2=-3

D.%=4,%2=3

7.方程x(x+3)=(%+3)解是()

A.X]=1,x?—3B.x]—0,%2=—3C.玉=1,x2=3D.玉=1,x2=—3

8.用换元法解方程（x2+x）2+（%2+x）=6时，如果设（Y+xy=y,那么原方程可变形为（）

A.y2+y-6=0B.y2-y-6=0C.,2_,+6=0D.y2+y+6=0

二、填空题

1.下列方程中，是一元二次方程的是

（I）》?—2x—1=0；（2）ax2+1=0（a为常数）；（3）—+3%—5=0；（4）—x2=0;（5）（x—I）2+y2—2；

x'

⑹（尤一1）（尤一3）=%2.

2.若m是方程X?—2尤=2的一个根，则2加—4〃z+2010的值是.

3.方程/—16=0的解为.

三、按要求解方程

⑴(3x+2)2=(5-2x)2(直接开方法)(2)2/—7x+3=0(配方法);

⑶为2一2%=2%+1(配方法)(4)x2+20x--=0(公式法).

4

(5)4x2-泉&+5=0(公式法)(6)2/—3%—2=0(因式分解法)

四、用恰当的方法解下列方程

(1)X2-10X+25=7(2)3尤(x-1)=2-2%

(3)4X2-4A/2X+1=0(4)(3x+l)2=9x+3

(5)x{x+3)-(2%+6)=0(6)(x—3)2—2(x+1)=x—7

第2讲根的判别式及根与系数的关系

要

1.一元二次方程+6%+。=0(。/0)配方得到方程0+2]='—

I2a)4a2

-b+yjb2-4ac-b-ylb2-4ac

⑴当户—4ac>0时,

1la22a

即：方程有两个不相等的实数根。

b

⑵Z?2—4ac当=0时，%=%=—丁，即：方程有两个相等的实数根。

2a

⑶当4ac<0时，方程没有实数根。

2.通常，我们把匕2一4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示，即:

△=〃-4ac-

一■般地，一■兀二次方程ax?++c=0(aw0)

当△>()时有两个不相等的实数根；

当△=()时有两个相等的实数根；

当△<()时没有实数根。

3.不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为:

一化(将一元二次方程化为一般形式)；

二算(确定a、b、c的值，算出△的值)；

三判断(根据上述结论判别方程根的情况)。

%典型例题LULKLLffl

例题I」：不解方程判定下列一元二次方程根的情况.

(D2/+3%—4=0(2)/+3=2。(3)5(/+1)—7x=0

例题L2：关于x的一元二次方程(左-3)1—3x+2=0有两个不相等的实数根，求左的取值范围.

例题1.3：已知关于x的一元二次方程/-(5m+l)x+4m2+m-0.

(1)求证：无论用取何实数时，原方程总有两个实数根；

(2)有两个正的实数根.求的加取值范围

(3)有一正一负实数根.求的/"取值范围

(4)有两个负的实数根.求的相取值范围

例题1.4：已知。、b、。为一个三角形的三条边，且方程从好—1)—2依+4必+1)=0有两个相等的

实根.求证：这个三角形是直角三角形.

知■识要■点8

形如以2+法+c=0(aw0)的方程，如果Z??—4ac20,两根为再，々，两根与各项系数a.b.c

之间的关系_______

,r1-b+yjb~-4-ac

设石=-----Z-------------则

2a

.-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4ac-2bb

..Xi+x=--------------------1--------------------=-----——

92alalaa

22

-b+J/4acb-J/?24〃。_b-(Jb-4〃c)_4ac_c

2a2a4/4^2a

濯典型例题mmmjt

例题2.1：已知方程——x—1=0的两个实数根为须、％,求:

小、11

(1)%；+X；;(2)—।----

⑶|西-即；

(4)(%1-1)(%2-1).

例题22若关于x的方程/+入+i=o的一个根是2+省，则方程的另一根是多少？人值是多少？

例题2.3：已知一元二次方程必―2%+m=0

(1)若方程有两个实数根，求加的范围；

(2)若方程的两个实数根为须、/，且％+3%=3,求加的值.

例题2.4：已知关于龙的一元二次方程2_?+7〃(2]2+4%+3)—2=0,是否存在加？

(1)使方程的两根互为相反数？说明理由.

(2)使方程的两根互为倒数?说明理由.

(3)使方程的两个根中一个为零，另一个不为零?说明理由.

随堂测试（方显学霸本色）

一、选择题

1.一元二次方程%2+2%+4=0的根的情况是（

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

2.方程式―3%+1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

3.下列一元一次方程中，有实数根的是（）

2222

A.x-x+l=0B.X-2X+3=0C.x+x-l=0D.X+4=0

4.关于龙的一元二次方程（a+l）d-4x-1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

A.a>—5B.a>—5且aw—1C.a<—5D.aN—5且aw—1

23

5.两根分别为一、-二的一元二次方程是（）

32

A.6/_5x—6=0B.6炉+5%—6=0C.6x2-5x-l=0D.6x2+5x-l=0

二、填空题

1.若关于X的一元二次方程/小+3%—4=0有实数根，则冽的值为.

2.一元二次方程（7W-1）炉+2加叶机+3=0有两个不相等的实数根，则加的最大整数为

3.已知再、马是方程2/+3%-4=0的两个根，那么:

11

*+君=一+—=;

X]X2，

|玉~X2\-----(国-1)(^2—1)=-------

三、解答题

1.关于x的一元二次方程（加-1）%2—2小+加+1=0.求证：方程有两个不相等的实数根;

2.已知关于%的方程侬2+2(m—1"+加一1=0有两个实数根，且机为非负整数.

3.是什么实数值时，方程2(/n+3)%2+4?7比+2m-2=0：

(1)有两个不相等的实数根；(2)没有实数根.

k

4.关于%的方程底+(4+2)x+-=0有两个不相等的实数根.

4

(1)求左的取值范围.

(2)是否存在实数左，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出左的值；若不存在，说

明理由

课后作业（都说温故而知新）

一.选择题

1.下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（)

A.3x~—2,x+2=0B.3/-2瓜+2=0

C.2——6%—5=0D.瓜2—岳+2=0

2.方程——%+2=0根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

3.一元二次方程（1-4）/-2x-l=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

A.k>2B.k>2JLk1C.k<2D.k<2>k1

4.若方程af+6x+c=0（。w0）中，a>Q,b<0,c<0,那么方程的两根是（）

A.有两个同号的实数根B.有异号两实数根，且负根的绝对值大

C.有异号两实数根，且正根的绝对值大D.无实数根

5.以一元二次方程2/-3》+（=0两根的相反数为根的一元二次方程是（）

11

A.：2y92-3y+-=0B.2y29+3y--=0

1c-1c

c.:2y-3y-3=0D.2y_3y+g=0

6.设玉、马是方程2/—3%-4=0的两个实数根，那么（%+1）（々+1）的值是（）

A.-B.-6C.--D.-2-

222

7.设a、P为方程/+》_1=（）的两根，则|a—川的值等于（）

A.1B.-1C.75D.1（1-75）

8.已知方程——6%+7=0的两根为玉、马，贝1」石2+々2的值为（）

A.22B.50C.36D.-50

9.已知关于工的一元二次方程x2+(2m-l)x+/I?=o有两个实数根七、

(2)求实数机的取值范围;

(2)当X：一々2=0时，求加的值.

第2讲一元二次方程应用

知■识■要■点

解一元二次方程的步骤：

①审（审题）；

②找（找出题中的量，分清有哪些已知量.未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关

系.相等关系）；

③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；

④列（列方程），即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式

⑤解（解方程）；

⑥检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）

⑦答（作答下结论）。

部典型例题皿注山曲

模块一数字问题

例题L1:两个数的和为16,积为48,求这两个数.

模块二增长率问题

例题2.1:某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治

理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同.

（1）求每期减少的百分率是多少？

（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气

需投入4.5万元，问两期治理完成后需投入多少万元?

例题22某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八.九月分平均每月

的增长率为了,那么x满足的方程是()

A.50(1+x>=196B.50+50(1+x)2=196

C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+%)+50(1+2%)=196

模块三利润、盈亏问题

例题3.1:进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销

售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

例题32某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销信，一

个月能售出500千克；销售单价每涨0.5元，月销售量就减少5千克.针对这种水产品的销售情况，请

解答以下问题：

(1)当销售单价为每千克不超过100元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为

多少？

(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定

为多少？

模块四图形问题

例题4.1:如图所示，某小区规划在一个长为40m,宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的

小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144/2,

若设小路的宽度为初z,求X.

例题4.2:如图，在长为10cm,宽为8c机的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图

形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.

模块五有关行程.工程等可化为一元二次方程的应用

例题5」:甲.乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续

前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，

求乙每小时走多少千米.

例题52某车间计划在一定时间内生产360件产品，实际每天比原计划多生产6件，提前3天完成,

则实际生产天数为多少？

随堂测试（方显学霸本色）

1.若两个连续整数的积是56,则它们的和是

2.某旅店底楼的客房比2楼少一间，各个房间住的人数同这层楼的房间数相同，现有36人，底楼都

住满，而2楼只剩下一间空房，则2楼的房间是.

3.某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2,因为准

备工作不足，第一天少拆迁了20%。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.

求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；

（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.

4.某百货商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了

迎接六一国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存.经市场调

查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想每天在销售这种童装上赢利

1200元，那么每件童装应降价多少元？

5.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45加)，用80加长的篱笆围一个矩形场地.

(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750/2?

(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么?墙

DC

AB

6.某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以

一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后

每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；

(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？

课后作业(都说温故而知新)

1.某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样

的，那么每次降价后的百分率是

2.如图(1),在宽为20加，长为32加的矩形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)，把耕地

分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570/2,求道路宽为多少？设宽为x加，

从图(2)的思考方式出发列出的方程是.

⑴（2）

3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过A千瓦•时，则一个月的电费只要

A

交10元，若超过A千瓦•时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交一、元，一户职工三

100

月份用电80千瓦•时，交电费25兀；四月份用电45千瓦,时，交电费10兀，试求A的值.

4.某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过

调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架.农膜等材料费2.7万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）

与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子.化肥.农药等开支

0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益（扣除

修建和种植成本后），工作组应建议他修建多少公顷大棚.（结果用分数表示即可）

5.某科研公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同

上约定两年到期一次性还本付息，利息为本金的8%.该产品投放市场后，由于产销对路，公司在两

年到期时，除还清货款的本金和利息外，还盈余72万元.若该公司在生产期间每年比上一年资金增

长的百分率相同，则每年资金增长的百分率是多少？

6.某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为

售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈

利350元，求每盒粽子的进价.

第4讲比例线段与黄金分割

(D在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段,

简称：比例线段.

四条线段a,b,c,d中，如果。与6的比等于c与d的比，即,那么这四条线段

a,b,c,d叫做成比例线段；

若a,d,b,c是成比例线段，则幺=.

d

(2)内项、外项与比例中项

四条线段a,b,c,d成比例，则@=9或a:b=c:d,其中a,2叫做比例外项；b,c叫做

bd

比例内项.d叫做〃，b,。的第四比例项.

如果比例内项是两条相等的线段，即q=2或a：b=/?：c,那么人叫做。，c的比例中项.

bc

注典型例题缶

例题1.1:下列四组线段，成比例的是（）

A.5cm,6cm,7cm,8cmB.3cm,6cm,2cm,5cm

C.2cm,4cm,6cm,8cmD.12cm,8cm,15cm,10cm

例题12已知a,d,b,c是成比例线段，其中。=3cm,/?=4cm,c=6cm,则d的值为（）

199

A.8cmB.—cmC.4cmD.—cm

22

（3）几个常用的性质：

2+ULH什〃rn,1,7

基本性质：若一=一c，贝=b—=一d,一a二一b或_^一d二一c

bdaccdba

合比性质：若则

bdbd

分比性质：若@=9，则i=j

bdbd

等比性质：若q=9=£=&,则…+e+g=巴（当b+d+g+〃wO时）

bdfhb+d+f+hb

■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■1

沙典型例题■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■1

例题13已知机〃=则下列各式错误的是()

mb“maanma

At.—=—B.—=—C.D.——二一

anbnmbnb

例题1.4：若4x=5y,贝|%：y=_

例题1.5：已知%=2,-=则相：几：夕=()

〃4p5

2

A.3:4:—B.6:8:5C.3:4:10D.15:20:8

5

例题1.6：已知ad=Z?cwO,那么下列各式中一定成立的是()

22

.aca「ac__—a_

'b2~d2~b,bd~b

a+2bc+2dQ+lc+d

C.二D.二

bdbd

例题1.7：(1)若7m=5〃，贝_________；」_=________.

nn—m

⑶已知之=台;求等*的值・

练习1.(1)若主&=工，则x:y=_________.

2x+y2

(2)若^±^=?=£±^,且2a—b+3c=21,试求a:b:c的值.

346

例1.8：已知：—^―=也=c=一,求机的值.

b+ca+ca+b

练习2.已知"2="£=£±0=左，则直线y=6+Z一定经过（）

cab

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第二、三象限D.第一、四象限

知■识要■点8

(1)黄金分割

点C是线段AB上一点，如果A空r=空，则点C叫做线段AB的黄金分割点，且A把C=

ABACBC

该值称为黄金分割比.如图：

AR

①点C将线段AB分成较长和较短的两段，若处=遮，则线段AB被点C黄金分割，此

全长较长

时.为比例中项;

②和同学一起讨论可以得到：一条线段有.个黄金分割点;

③你知道黄金分割比是怎么求出来的吗？

④解决黄金分割问题的“秘诀”：

))

入_入_____

I

ACB

)

部典型例题描不壬?祖

例题2.1：如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC=2m,那么A3=.

例题22线段A5=2,点。是A3的黄金分割点，点。(不同于。点)在线段A3上，且AD?=A3,

则上C'D的值为

AC

ACDB

练习3.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割(AC>5C),已知A6=10cm,则AC

长为______________.(结果精确到0.1cm)

(2)黄金矩形和黄金三角形

黄金矩形：宽与长的比值为黄金比的矩形.

黄金三角形：顶角为36°或108°的等腰三角形.前者底与腰的比，后者腰与底的比均为黄金比.

■■■

例题2.3：我们把“宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形”，如图的矩形ABCD是黄金矩形,

且3c=后+1,BC>AB,则AB=.

练二练

练习4.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的

延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.

⑴求AM,DM的长;

(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？

R

随堂测试（方显学霸本色）

1.下列四条线段成比例的是（）

A.1cm,2cm,4cm,6cmB.3cm,4cm,7cm,8cm

C.2cm,4cm,8cm,16cmD.1cm,3cm,5cm,7cm

2.已知a,b,c,d四条线段是比例线段，且a=2an,b-5cm,c=4cm,则d等于（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.3cm

3.若山=工，那么上的值是（）

x4x

42「3「3

A.-B.-C.—D・一

3432

4.若a:b:c=2:3:4,且a+Z?-c=5,贝！Ja-Z?的值是（）

A.5B.-5C.20D.-20

5.P是线段AB的黄金分割点，且AP=6-1,则AB长为（）

A.2B.7?+1C.2或+lD.以上都不对

6.如果---=---=---=—--=k,则左的值为.

b+c+da+c+da+b+da+b+c

7.若交2=2=出，且2a-b+3c=21,则a:/?:c=.

346

8.已知Q:/?:。二3:5:10,且a+c-b=16,则3〃+2人一。的值为.

9.我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形.已知矩形ABCD是黄金矩形且长AB=10,则宽

8（2为（）

A.2y/~5-2B.5y/~5-5C.15-5y/-5D.0.618

10.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2米的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计

方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图是小齐同学根据黄金

分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m,参考数据:

41«1,414,V3x1,732,V5«2.236）为.

（小资料

雕像上部〔腰

部以上）与下部〔腰

部以下）的高度之

比等于下部与全部