北师版初中八年级上册数学教案 第五章二元一次方程组

第五章二元一次方程组

本/章/整/体/说/课

'、教学目标

修知识写技能」

1.了解二元一次方程（组）的有关概念,会解简单的二元一次方程组

（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简

单的实际问题,并能检验解的合理性.

2.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待

定系数法确定一次函数的表达式.

*过程,舒青

经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，体会方程的模型

思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养良好的数学应用

意识.

了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”，从而初步

理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.

«教材分析

一、《标准》要求

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用方程、函数进行表

述的方法,体会模型的思想,建立符号意识.

2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题，并

综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识,提高实

践能力.

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界

数量关系的有效模型.

4.掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组.

5.能解简单的三元一次方程组.

6.体会一次函数与二元一次方程的关系.

7.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.

二、教材分析

具体地,第1节通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程

组,让学生观察归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念,并从

中体会方程的模型思想.第2节,顺理成章地给出现实问题的解答,进而通

过具体方程总结出求解二元一次方程组的两种基本方法一一代入消元法、

加减消元法.第3~5节再次通过几个问题情境,进行列二元一次方程组解

决实际问题的训练.这样,一方面,在列方程组的建模过程中，强化了方程

的模型思想,培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力；另一方面,将

解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程

中提高学生的解题技能.第6节通过对二元一次方程、二元一次方程组与

一次函数关系的讨论,建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看

待二元一次方程和二元一次方程组.第7节通过待定系数法,利用二元一

次方程组确定一次函数的表达式.第8节作为选学内容介绍三元一次方程

组的基本解法.

&教学重难点

【重点】

1.二元一次方程组的解法.

2.二元一次方程组在生活中的应用.

【难点】一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.

«教学建议

1.教学要注意与一元一次方程的类比,让学生体会学习二元一次方程

组的必要性,结合自己已有的解一元一次方程的经验,探索二元一次方程

组的解法，体会消元、转化的数学思想方法.

2.教学内容的选取和呈现要关注现实意义和学生的兴趣,充分利用学

生已有经验,尽量创设有利于学生自主探究的课堂氛围，鼓励学生合作探

究,提倡用学生的智慧解决学生的问题.

3.关注学生对知识与技能的理解和应用.对知识与技能的评价,应重

视学生的理解和在新情境中的应用，如考查学生能否根据实际问题正确地

建立模型,能否选择恰当的方法解二元一次方程组,解方程组正确与否，能

否检验求得结果的合理性.

4.关注学生列方程解决实际问题的意识、水平及在学习过程中的表现,

注重培养学生的应用意识.例如,让学生以小组合作学习的形式分析一下

开放性的问题,并说出心得体会,在学生的交流中对其进行评价;让学生自

主地观察生活实际,并据此编制有关应用问题,从学生所编制的应用问题

中评判其应用意识和应用水平.

a课时划分

1课

1认识二元一次方程组

时

2课

2求解二元一次方程组

时

3应用二元一次方程组一1课

一鸡兔同笼时

4应用二元一次方程组一1课

一增收节支时

5应用二元一次方程组一1课

一里程碑上的数时

6二元一次方程与一次函1课

数时

7用二元一次方程组确定1课

一次函数表达式时

1课

*8三元一次方程组

时

回顾与思考1课

时

课/时/教/学/详/案

1认识二元一次方程组

区L整体设寸

©教学目标

”知识写技能.

通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判

断一组数是不是某个二元一次方程组的解.

啮鹘法罢.

发展学生的归纳、观察和概括的能力，同时培养学生运用数学知识解

决实际问题的能力.

激发学生的求知欲望，培养他们勇于探索的精神.

士教学重难点

【重点】对二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念的理

解,并会判断二元一次方程组的解.

【难点】对二元一次方程及二元一次方程组的解的个数的判断.

教学准备

【教师准备】预设学生学习过程中可能出现的问题.

【学生准备】复习一元一次方程的有关概念.

日教学过程

JT新课导入

导入一：

每块饼干的质量是X克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天

平,在左边秤盘放两块饼干,右边秤盘放三颗糖果,结果天平两臂平衡，当

在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时一，天平并没

有平衡，只好在右边秤盘里又加了1克的祛码才使得天平平衡.上面的例

子中，可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+l,怎样看待这两个方程呢?它

们的解有什么实际意义？

导入二：

我们已经学习了一元一次方程,你能举一个一元一次方程的例子吗？

生：（轻松回答）3x+4=5x,0.5x=3.

师:很好!那么什么是一元一次方程？

生:含有一个未知数,并且所含未知数的次数为1的整式方程叫一元

一次方程.

师:非常准确!从这节课开始我们将进一步来学习有关方程的问题.我

们都知道牛和马是人类最忠诚的帮手,在那个非机械化的年代,是它们为

我们驮运货物，帮助农民耕地……活干多了，牢骚也来了.请同学们看下面

的故事，同时请两个同学来为它们配音.（多媒体出示）

（显示对话,老牛与小马，学生配音）

老牛喘着气吃力地说：''累死我了.”小马说：“你还累，这么大的个,

才比我多驮了2个.”老牛气喘吁吁地说：“哼,我从你背上拿来1个,我的

包裹数就是你的2倍！”小马不相信地说：“真的？！”

生：（笑）……

师:两位同学表演得很不错，请同学们想一想它们在争论什么呢？

生:它们在争论谁的包裹多.

师:对,那么你能用数学知识帮助它们解决这个问题吗？

让每个学习小组讨论（讨论2分钟,然后发言）.教师注意引导学生设

两个未知数,从而得出两个二元一次方程.

师:题目中等量关系有几个?你是如何得到的？

生：2个等量关系.

依据老牛的包裹数比小马多2个得到:老牛驮的包裹数-小马驮的包

裹数=2个.依据老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛驮的包裹数是小

马驮的2倍得到:老牛驮的包裹数+1=（小马驮的包裹数-1）X2.

师:你能设出适当的未知数列出相应的方程吗?请大家写下来.

生：（板演）设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.根据题意得

x-y=2,x+l=2(y-1).

［设计意图］以动漫的形式引出方程问题，调动学生的积极性,让学

生再次经历建模的同时，以相对轻松的状态进入后面的学习.通过自主探

究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多元

的认识转化过程.

陷新知构建

［过渡语］我们以前学过的方程都是含有一个未知数的，如果方程中

含有两个未知数,这样的方程是怎样的呢？

一、认识二元一次方程

思路一

出示教材第103页上半页情境图，师生交流.

①怎样列一元一次方程解决这个问题呢？

生1：设老牛驮了x个包裹,则有2(x-3)=x+l.

生2:设小马驮了x个包裹,则有2(x-l)=x+3.

②如果设两个未知数,怎样解决这个问题呢？

设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的

多了2个，由此你能得到怎样的方程？

生：x-2=y.

若老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹数是小马的2倍，

由此你又能得到怎样的方程？

生：x+l=2(yT).

③怎样列出教材第104页引例中的方程？

生：x+y=8,5x+3y=34.

小结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫

做二元一次方程.

思路二

大家观察下面的5个方程,是我们学过的一元一次方程吗？

360x+720y=17280;x-y=2;x+l=2（y-1）;x+y=8;5x+8y=34.

生:不是.

师:与一元一次方程的特征相比较我们可以给它们取一个什么名称

呢？

生:二元一次方程！

师:很好,请同学们找出二元一次方程有什么特征？

生1：含有两个未知数.

生2:未知数的次数是1.

生3:方程两边都是整式.

（多媒体同一页显示,便于学生逐条比较）

师:对于方程xy+8=5x,大家认为是二元一次方程吗？（学生认识不统

一,有说是,有说不是）xy（多媒体用红色圈出）这个项的次数是几？（学生有

的说是2,有的说是1.此时老师加以纠正,单项式的次数是单项式中所有

字母的指数和，因此项xy次数为2,原方程不是二元一次方程）

师:我们应将“未知数的次数是1”更正为什么？

生:含未知数的项的次数是1.

师:很好,现在大家知道什么叫二元一次方程了吗？

生:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做

二元一次方程.

（多媒体显示二元一次方程的概念,并让学生加以巩固）

［设计意图］为了让学生尽快理解新知识,教学通过类比的方法，引

导学生与一元一次方程相比较,逐步理解二元一次方程的概念，同时培养

学生归纳概括能力.

师:两人一组,分别写出几个方程,让另一位同学判断是不是二元一次

方程.

（学生迅速出题,然后互相判断，很多小组出现争执,场面非常活跃,教

师巡视,对出现的争执及时给予评判）

［知识拓展］1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,

未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这

样的方程叫做二元一次方程.

2.本节课常出现的错误是对二元一次方程的概念理解不准确,其表现

形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数都是1”理解为“每个未知

数的次数都是1"，误认为xy+2=0也是二元一次方程，另一种是遇到含有

字母系数的方程时，容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件，

如二元一次方程ax+y=6中aWO这个条件.

（含有两个未知数，

3.二元一次方程满足的条件1含未知数的项的次数为1,

（整式方程.

二、认识二元一次方程组

问题1

在前面的实际问题中，这两个方程中x的含义相同吗?分别是什么含

义?y呢？

问题2

若X,y同时满足这两个方程,用什么方式把这两个方程联立起来，即

写成什么形式呢？

问题3

如果两个方程中相同字母所代表的含义相同，把它们联立起来,就组

成了二元一次方程组，你能归纳出二元一次方程组的概念吗？

问题4

根据二元一次方程组的概念回答问题：

①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗？

②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1”还是“各个未知数的

次数是1”？

③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗？

［处理方式］学生独立思考后小组讨论交流，小组代表发言.教师适

时,逐步总结出二元一次方程组的定义（含有两个未知数的两个一次方程

所组成的一组方程叫做二元一次方程组）.强调定义中的两个未知数是指

两个方程共含两个未知数,一次方程可以是一元一次方程,也可以是二元

一次方程.性语言例如:成为二元一次方程组应满足几个条件？

根据上面的定义分别判断这样的两个方程

组：⑴1一。二乙Q⑵吗?：白是不是二元一次方程组?让学生对

二元一次方程组的定义进行再认识.

［设计意图］将方程返回实际问题中理解研究,体现数学与生活实际

的联系.通过一个个问题的设计，将二元一次方程组的概念进行解剖，帮助

学生理解概念.

［知识拓展］1.二元一次方程组的概念也不是严格的定义.例如:①

K=7;2,②图力y=6;③窗：6.这三个方程组都是二元一次

方程组，其中方程组②中的第一个方程只有一个未知数;方程组③中的两

个方程也都分别只有一个未知数,但它们仍然都是二元一次方程组.为了

更好地识别一个方程组是不是二元一次方程组,我们可以这样叙述:在一

个方程组中,共有2个未知数,并且每个方程都是一次方程,这样的方程组

就是二元一次方程组.

2.事实上,共含有两个未知数的几个二元一次方程组成的方程组都是

二元一次方程组,而我们最常见的是两个二元一次方程组成的方程组.

三、二元一次方程和二元一次方程组的解

思路一

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的

一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作［二同样二也是

方程x+y=8的一个解.

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的

解.

例如::3就是二元一次方程组1：；3插234的解.

思路二

(l)x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找出

适合方程x+y=8的x,y的值吗？

(2)x=5,y=3适合5x+3y=34吗?x=2,y=8呢？

(3)你能找到一组x,y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

生1:x=6,y=2适合二元一次方程x+y=8;x=5,y=3;x=4,y=4都适合，还

有x=0,y=8;x=-l,y=9...

生2:x=5,y=3适合二元一次方程5x+3y=34;x=2,y=8也适合.

(多媒体出示)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二

元一次方程的一个解.

师:x=6,y=2是二元一次方程x+y=8的一个解，记作二::同时

产=?也是二元一次方程x+y=8的一个解.大家说二元一次方程有多少个

(y=3

解呢?

生1:很多个.

生2:无数个！

（师强调:二元一次方程的一个解不是一个值,而是一对值;一般地,二

元一次方程有无数个解）

师:刚才我们找出二元一次方程的解,那么有没有一组x,y的值同时

适合这两个方程呢？

生:产=?’同时适合这两个方程.

（y=3

（多媒体出示概念）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二

元一次方程组的解.（给两分钟时间巩固理解概念）

［知识拓展］1.二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程

组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,这

对数才能是这个方程组的解.

2.一般情况下,二元一次方程的解有无数个,而二元一次方程组的解

是唯一的.但当对二元一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了，如

x+y=2的正整数解只有［二

■课堂小结

：

认注意

方

一次

二元

式；

是整

数式

的代

号两边

识(1)等

一

二元

程和

；

知数

个未

有两

二(2)含

程组

次方

1

数是

的次

的项

知数

含未

元(3)所

一

次

方

一次

二元

，一个

般地

方(1)一

方

一次

二元

；

个解

无数

程程有

二

解和

组程的

一定

的解

程组

次方

元一

(2)二

程

次方

元一

方程

一个

任何

中的

程组

是方

解

组的

不成立

；反之

的解

测反馈

巨检

)

是(

程的

次方

元一

，是二

项中

列选

1.下

xy=9

B.

3y=2

A.7x+

=2

.-

11D

2y2=

C.x+

2x-y

最高

项的

2,C选

数为

的次

选项

义,B

的定