六年级奥数阴影部分的面积计算+工程问题+行程问题+定义新运算

六年级奥数阴影部分的

面积计算+工程问题+行程问题+定义新运算

面积计算

一、复习旧知

计穿平面图形的面积时，有些问题乍一看，在己知条件与所求问题之间找不

到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研

究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，

搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

二、新课讲解

重难点：

例1、求下面各个图形中阴影部分的面积（亘位：厘米）。

考点:

例2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

易混点：

例3、如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方形ABOQ的面积。

例4、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧,

阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。

例5、如图所示，直径BC=8厘米，AB=AC,D为AC的中点，求阴影部分

的面积。

♦【巩固练习】

1、如图所示，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。

♦【典型例题】

例6、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。

例7、图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件

求阴影部分的面积（单位：厘米）。

120

例8、如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7

平方厘米，NABC=30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。

例9、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。

例10、如图所示，求图中阴影部分的面积。

例14、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。

以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。

六年级奥数第三讲工程问题

顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内

容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作量=工作效率X工作时间，

工作时间:工作量+工作效率，

工作效率=工作量+工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可

以是部分工程量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成!，工程的三分

之一表示为:。工作

效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，

根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合

干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲

队单独干需100天，甲的工作效

率是烹；同理，乙队的工作效率是焉。两队合干的工作效率是（得+焉）。

由“工作量=工作效率X工作时间”，50天的工作量是

（―!—+—?—）x50=—+—=—（1--）-5-—5—=25（天）°

'100150;236—50'）

剩下的工作量是（1-1）。由“工作时间=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙队干还需

例2某项工程，甲亘独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开二时

甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的T程，那么乙队又做了18天才完成任

务。问：甲队干了多少天？

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队

合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

解，（1-也1&+（£+表

213

=（1-耳），五=*乂20=12（天）。

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个

队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲

队实际工作了几天？

分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，

剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

口-碍+/户6卜2=3（天）。

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时

做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，

】一弓+否=12（时）。

再求出每小时张比王多做的零件数，60-12=5（个）。

最后求出这批零件的总数，5+（=300（个）。

例5—水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单

开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水

管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

分析与解：以满池水为单位1。1时放水管可使水增加，排水管可使水

减少;，同时开1时，可使水增加3-;）。放水管打开1时后，池内己经有;

的水，与半池水还差4-3，所以要达到半池水，运需

乙D

—（时）。

《一泻一910354'

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40

分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再

出发后多长时间两人相遇？

分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时

间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加

上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作,

甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看

出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

解：（1-2、15）+（焉+,）=白呆15（分）。

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成

工程的一半？

2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给

乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独

工作的天数。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单

独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？

4.甲、乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多若两人合干,

则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵?

5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两

端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？

6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。

如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从

乙地到甲地多用:的时间。如果两车同时开出，那么相遇时快车比慢车多行

40千米。求甲、乙两地的距离。

答案与提示练习5

解：！，（《+白=3（天）。

1.3天。

2.14天。

解：［l-』X（6+10）］+《-10=14（天）。

4o30

解：乙队的工作效率为（1・3X12）-24=±,

3.120天。3040

甲队单独挖需La（天）°

解：乙的工作效率是甲的?所以乙完成工作量的5，甲完成这批树

共有50+（y-1）=350（棵）。

解：750X2+{G3）x［l+（《+疝］}=6000（米）。

6.8时。提示：甲管12时都开着，乙管开

（12X12）+]=8（时）。

18247.280千米。

解：快车从乙地到甲地用8+（1+：）=6（时）。两车相遇需

1+（那）=v（时）,

0o/

相遇时快车比慢车多行全程的（!』）X，=J,所以甲、乙两地相距

40^1=280（千米）。

一、单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。甲、

乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需儿天才能完成？

解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为：，

乙队的工作效率为：，

余下的工作量为：。

故还需：（天）。

答：余下的工程由乙独做还需25天完成。

（综合算式为：（大））

二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，

开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项

工作。问甲实际工作了多少小时？

解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲

实际的工作时间为：

（小时）。

解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲

实际的工作时间为：

（小时）。

三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的，乙6小时又完成剩下工作为一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？

解.：甲的工作效率为：，

乙的工作效率为：，

余下的工作量为：，

甲、乙的工作效率和为：。

于是，还需（小时）。

答：还需小时才能完成任务。

（综合算式：（小时））四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需

12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每天每次工

作1小时。那么，完成这项工程共需要几小时？

解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1小时，乙再工作1小时，即

一个循环完成工作量为，由知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作

量：，还剩下的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。因此，共需

（小时）完成这项工程。

五、一批零件，甲独做20小时完成，乙独做30小时完成。如果甲、乙两人

同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。这批零件共有多少个？

解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合做所需时间为：（小时）。

甲、乙两人的工作效率之差为。

从而两人的工作量的差为。

这的工作量为60个零件，因此，共有零件（个）。

综合算式为：（个）

答：这批零件共有300个。

六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？

一、某工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合

做8天后，余下的工作由丙队单独做，又做了6天才完成。问这项工程由丙队单

独做需几天完成？

解：（天）。

答：余下的工程由丙队单独做需15天完成。

二、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成。现由两队一起做,

其间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了

16天。问乙队休息了多少天？

解：（天）。

三、一件工程，小明4小时完成了全部工作的，小军5小时又完成了剩下任

务的，最后余下的部分由小明与小军合做。问完成这项工作共用多少小时？

解：（小时）。

答：完成这项工作共用了小时。

四、一件工程，甲独做需24小时，乙独做需18小时。若甲先做2小时，然

后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做2小时，再由乙独做1小时……两人如此

交替工作。问完成任务时共用多少小时？

解：甲做2小时，乙做1小时为一个循环。

一个循环完成工作量：，

七个循环完成工作量：，

余下的工作量由甲完成，需：（小时）。

于是，完成这项任务共需：（小时）。

答:完成任务时共用小时。

五、有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合

作，那么完成任务时，甲比乙多做了20个零件。问这批零件共有多少个？

解：完成任务所需的时间为（天），

此时，甲比乙多完成工作量，

于是，这批零件共有（个）。

答：这批零件共有180个。

六、单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先独做若干天后

乙单独做，则共用26天完成工作。问甲做了多少天？

七、打印一份稿件，甲单独打需50分钟完成，乙单独打需30分钟完成。现

在甲单独打若干分钟后乙接着打，共42分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分

之几？

一、单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。甲、

乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？

解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为：，

乙队的工作效率为:

余下的工作量为:

故还需：（天）。

答：余下的工程由乙独做还需25天完成。

（综合算式为：（天））

二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时,

开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项

工作。问甲实际工作了多少小时？

解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲

实际的工作时间为：

（小时）。

解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲

实际的工作时间为：

（小时）。

答：甲实际工作了3小时。

三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的，乙6小时又完成剩下工作的一

半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？

解：甲的工作效率为：，

乙的工作效率为：，

余下的工作量为：，

甲、乙的工作效率和为：。

于是，还需（小时）。

答：还需小时才能完成任务。

（综合算式：（小时））

四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需12小时。如果按照甲、乙、

甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每天每次工作1小时。那么，完成这项工

程共需要几小时？

解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1小时，乙再工作1小时，即

一个循环完成工作量为，

由知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量：，

还剩下的工作量，剩下的工作量甲仅需

（小时）即可完成。因此，共需（小时）完成这项工程。

五、一批零件，甲独做20小完成，乙独做30小时完成。如果甲、乙两人同

时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。这批零件共有多少个？

解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合做所需时间为：（小时）。

甲、乙两人的工作效率之差为。从而两人的工作量的差为。这的工作量

为60个零件，因此，共有零件（个）。综合算式为：（个）答：这批零件共

有300个。

六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。若甲先做若干

天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？

一、答：甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖5天挖了

水渠的乙、丙合挖2天挖了余下的工，剩下的又由甲、丙合挖5天刚好

34

挖完，问甲、乙、丙三人单独挖这条水渠分别需要多少天？

解：甲、乙的工作效率之和为5

315

（1A11

乙、丙的工作效率之和为1—1X--r2=—,

I4L

甲、丙的工作效率之和为。一，卜。一』1+5=，

I3；I4J10

由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和为

（111「1

I--+--H---I4-2=-O

（151210）8

从而甲的工作效率为,

81224

乙的工作效率为m，

81040

丙的工作效率为《一人二工。

815120

于是，甲单独完成需24天，乙单独完成需40天，丙单独完成需当=17,

77

天。

答：甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需24天、40天、17,天。

7

二、将一空池加满水，若同时开启1、2、3号进水管，则20分钟可以完成；

若同时开启2、3、4号进水管，则21分钟可以完成；若同时开启1、3、4

号进水管，则28分钟可以完成；若同时开启1、2、4号进水管，则30分钟

可以完成。求若同时开启1、2、3、4号进水管，则需多少分钟可以完成？

若单开1号进水管，则多少分钟可以完成？

解：1、2、3号进水管的工作效率和为」

20

2、3、4号进水管的工作效率和为

21

1、3、4号进水管的工作效率和为人，

28

1、2、4号进水管的工作效率和为

30

相加后除3即得1、2、3、4号进水管的工作效率和：

f1I111

(2021283018

从而同时开启1、2、3、4号进水管需时

1--=18（分）。

18

再结合前面的条件可知，1号进水管的工作效率为

J___1_1

T8-21-i26

于是，单开1号进水管需时1・二7=126（分）。

答：同时开启1、2、3、4号进水管，需时18分钟。单开1号进水管需时126

分钟。

三、单独完成一件工作，甲比规定时间提前2天完成，乙则要比规定时间推

迟3天完成。如果先让甲、乙两人合做2天，再由乙单独完成剩下的工作，

那么刚好在规定时间完成。问甲、乙两人合干需多少天完成？规定时间是几

天？

解：由题设知，乙比甲多用2+3=5（天），且甲做2天相当于乙做3天，即乙所需时

间为甲所需时间的g倍，从而，甲所需时间为5+（'-1）=10（天）。

a

（这是差倍问题），乙所需时间为“）x35（天）,

于是，甲、乙合做需时1+[5+=6（天）。

IIU1，/

规定时间为10+2=12（天）（或15-3=12（天））。

答：甲、乙合做需6天，规定时间为12天。

四、一件工作甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成：甲先做8小时，

乙接着做6小时也可以完成。问：如果甲先做3小时，那么乙再做几小时就

可以完成？甲、乙单独完成分别要多少小时？

解：比较可知，甲1小时的工作量等于乙3小时的工作量，由此，

甲单独做需：6+124-3=10（小时）。

乙单独做需：12+3x6=30（小时）。

若甲先做3小时，则乙还需做

12+3x（6-3）=21（小时），

或3x（10-3）=21（小时）。

答：甲先做3小时，乙再做21小时完成；甲、乙单独完成分别需10小时、30

小时。

五、甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，

恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多

用L天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用！天。

23

已知甲单独做完这件工作要13天，问：甲、乙、丙三人一起做这件工作要

用多少天完成？

解：由题设甲的工作效率为,，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只

13

可能为甲或乙。分两种情况讨论：

（1）结束工作的是甲。此时，第一种安排的收尾是甲做1天，第二种安排的收

尾为乙做1天，丙做,天，第三种安排的收尾为丙做1天，甲做，天。但这三种

23

收尾的工作量相等。所以，比较可知，丙的工作效率为甲的2,乙的工作效率也

3

为甲的2。从而，原计划的工作时间为

3

J_、(11212、

1+14--------1-------X------1-------X—x3=

瓦(13133133J

不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。

（2）结束工作的是乙。此时，第一种安排的收尾为甲做1天，乙做1天；第二

种安排的收尾为乙做1天，丙做1天，甲做工天；第三种安排的收尾为丙做1

2

天，甲做1天，乙做《天。但这三种收尾工作量都相等，所以，比较可知，丙的

工作效率为甲的，，乙的工作效率为甲的之。从而，原计划的工作时间为

24

11311)

2+x3=17(天)

13134132J

为整天，符合要求。

因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需

11311

14----1---x——|----x（天）。

13134132

甲、乙、丙合做需,天。

答:

、甲、乙、丙三人合作完成一件工程，共得报酬1800元。已知甲、乙先合

做8天完成工程的！，接着乙、丙合做2天完成余下的1，最后三人合做5

34

天完成全部二程。今按劳取酬，问甲、乙、丙三人每人可得报酬多少元？

甲、乙的工作效率和为,+8=’，

解：

324

乙、丙的工作效率和为。-』打工1+2=」1

I3；412

甲、乙、丙的工作效率和为

4）10

于是甲的工作效率为-L--L=J-，

1（）1260

乙的工作效率为二--）-=」-,

246040

7

丙的工作效率为一，从而,

1024120

*x（8+5）=390（元）,

甲应得报酬1800x

乙应得报酬1800x—x（8+=6751元）,

401

7

丙应得报酬1800x—x（2+5）=735（元）,

1207

或1800-390-675=735（元）

答：甲、乙、丙三人每人可得报酬390元、675元、735元。

天。一项工程，甲、乙两队合做需12天完成，乙、闪两队合做需15天完成，甲、

丙两队合做需20天完成。问甲、乙、丙单独完成分别需多少天？三队合作需多

少天完成？

解：甲、乙的工作效率和为工,

12

乙、丙的工作效率和为

15

甲、丙的工作效率和为上。

20

于是，甲、乙、丙三人的工作效率和为（卷+%+义）24,

即甲、乙、丙三人合做需10天。

甲、乙、丙的工作效率分别为

J___1__J_J___1__J_J___1__J_

To-L5-3O*To-26-20*TO-T2-66

于是，甲、乙、丙单独做分别需要30天、20天、60天。

答：甲、乙、丙单独完成分别需要30天、20天、60天，三队合作需10

天。

一、某工程由一、二、三三个小队合干需8天完成；由二、三、四三个

小队合干需10天完成；由一、四两个小队合干需15天完成。问二、三队合干需

多少天完成？四小队合干需多少天完成？

解：一、二、三小队的工作效率和为:，二、三、四小队的工作效率和为,，

810

一、四小队的工作效率和为

15

于是，一、二、三、四小队的工作效率和为：

由此，二、三队合干需型=12昆（天），

1919

四个队合干需竺=6^（天）。

77

答：二、三队合干需12U天，四小队合干需69天。

197

二、一件工程，甲、乙合做6天能完成如果单独做，那么甲完成!

63

与乙完成《所需的时间相等。问甲、乙单独做分别需多少天？若按甲、乙、甲、

2

乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？

三、某工程由哥哥单独做40天，再由弟弟做28天可以完成。现在兄弟

两人合做35天就完成了。如果先由哥哥独做30天，再由弟弟单独做，那么还要

工作多少天才能完成这项工程？

解：由比较可知，哥哥（40-35）天的工作量等于弟弟（35-28）天的工作

量，即哥哥5天的工作量等于弟弟7天的工作量。

于是，弟弟还要工作35+7、[（35-30）。5]=42（天）

答：弟弟还要工作42天才能完成这项工程。

四、甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天

轮流去做，恰好整数天做完，并且由乙结束工作。若按乙、丙、甲的顺序轮流去

做，则比原计划多用■!■天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用?

天。已知甲单独做完这件工作需要22天，那么甲、乙、丙三人合做要用多少天

才能完成？

解：只考虑收尾工作，

第一种安排收尾为甲1天，乙1天；

第二种安排收尾为乙1天，丙1天，甲，天；

第三种安排收尾为丙1天，甲1天、乙士天。

3

比较可知，丙的工作效率为甲的,，乙的工作效率为甲的3,由此可得原

计划需

-4---------X-------1---------Xx3+2=29（天）

（22224222

符合题意，因此，甲、乙、丙三人合做需:

答：甲、乙、丙三人合做要用91天才能完成。

工程问题1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.

内水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小

时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？

解：*0+1/16=9颜表示甲乙的工作效率

9颜X5=4酩0表示5小时后进水量

1-4^80=35/50表示还要的进水量

3监09（9出0-1/10）=35表示还要35小时注满

答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队

合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来

的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,

且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？

解：由题意得，甲的工效为V20,乙的工效为1^0,甲乙的合作工效为

1^0*4/5+1/30*9/10=7100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天

内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能

少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天

1/20*（16-x）+^100*x=l

x=10答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请

甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少

小时？

解：由题意知，皿表示甲乙合作1小时的工作量，仍表示乙丙合作1小时的

工作量

(lA+g)X2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作

量。

根据“甲，丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙

做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。

所以1—9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。

1/10^-2=1/20表示乙的工作效率。

14-3^0=20小时表示乙单独完成需要20小时。

答：乙单独完成需要20小时。

4.一项工程，第一天尹做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替

轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，

第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做

这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？

解：由题意可知

1/甲+1/乙+3/甲+V乙+...+V甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+V甲+……+1/乙+1/甲义0.5=1

(1;甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否

则第二种做法就不比第一种多0.5天)

甲=!/乙+!/甲X0.5(因为前面的工作量都相等)

得到1/甲=1/乙X2

又因为1/乙=1/17

所以1/甲=2"，甲等于17+2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了四时，徒弟完成了120个。当

师傅完成了任务时，徒弟完成了钻这批零件共有多少个？

答案为300个

1204-(4/54-2)=300个

可以这样想：师傅第一次完成了总,第二次也是1/2,两次一共全部完工，那么

徒弟第二次后共完成了必，可以推算出第一次完成了的的一半是然，刚好是

120个。

6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均

每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

答窠是15棵

算式：1+=15棵

7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水

放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水

刚溢出时，打开乙丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管,

而不开丙管，多少分钟将水放完？

答案45分钟。

1-(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的

水，也就是甲18分钟进的水。

l/24-18=V56表示甲每分钟进水

最后就是1+(比0-/6)=45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去

做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如

期完成，问规定日期为几天？

答案为6天

解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单

独做，恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3

时间比的差是1份

实际时间的差是3天

所以3+(3-2)X2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期

方程方法：[1/x+l/(x+2)]X2+V(x+2)X(x-2)=1解得x=6

9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时,

一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两

支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

答案为40分钟。

解：设停电了X分钟

根据题意列方程

l-l/120*x=(l-1^0*x)*2

解得x=40

明明和乐乐在同一所学校学习，一天班主任老师问他俩各人的家离学校有多远。

明明说：“我放学回家要走10分钟〃，乐乐说：“我比明明多用4分钟到家〃。老

师又问："你俩谁走的速度快一些呢？〃乐乐说："我走得慢一些，明明每分钟比

我多走14米，不过，我回家的路程要比明明多%班主任根据这段对话，很

快算出他俩的路程。你会算吗？

解：设乐乐的速度为X,则明明的速度为(X+14)o

6/7*14x=10(x+14)

12x=10x+140

x=70

明明：(70+14)*10=840(m)

乐乐：840*(1+1/6)=980(m)

有一堆围棋子，其中黑子与白子个数的比是4:3从中取出91枚棋子，且黑子与白

子的个数比是8：5,用剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3:4。那么这堆围棋

共有多少枚？

假定取出的91子中黑棋为1份，则

其中黑棋数：91/(1+5/8)=56

其中白棋数：91-56=35

如果再假定取出的91子中白棋也是黑子的3/4,因3/4大于5/8,白棋多算

(56*3/4-35)子,多算的比例为C4/3-3/4),多算(56*3/4-35)/C4/3-3/4)

=12子，就是拿完91子后剩的黑子。

则剩下的白子为4/3*12=16子总棋子数=91+12+16=119子

只设一个设共有x个

91*5/5+8=3591-35=56

3/7x-35=3/4(4/7x-56)x=119

一项工程,甲先做2天,乙在做3天，完成全工程的四分之一,甲再做3天完成余下

的四分之一，最后再由乙做,完成这项工作还要多少天？甲在做3天完成余下的

四分之一

即3天完成总工程的(1/4)*(3/4)=3/16

甲一天完成1/16甲先做3天,乙在做2天,完全工程的四分之一

图形题

1.填空

(1)以A1〜A7七个点中的任意两个点为端点共可组成多少条线段？

勺与A&A,与

A]A6

共组成()条线段

(2)下图中小于180°的角各有多少个？

⑷下面图形中有多少个三角形？

有()个

⑸下列图中分别有多少个正方形？

有（）个有（）个

2.在下面点子图上，以这些点为顶点的正方形可画几个？

3.把下图各分成四个大小相等，形状相同的图形。

4.用下面的6个图形拼成一个5X6的长方形。（用粗线条在5X6的格子图上框出拼的

方法）

ff™BHE匚二

5.用四条直线分别画出交点数是1、3、5个的图形。（下图是交点数为4个的图形）。4

条直线最多能有几个交点？

6.如果把下图沿格子线分成形状相同、大小相等的两部分，那么共有儿种分法?

7.把一张正方形的纸剪成8个正方形。（在下面正方形图上画出剪的方法）

8.画一个三角形，使它的面积与下面的五边形面积相等。

9.下面图形中各有多少个梯形？

10.下面图形中各有多少个三角形?

11.下图中正四棱锥的底面和正方体的面是同样大小的正方形，将这两个面对齐粘合后,

这多面体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？

12.一个正方形把平面分成两部分（如下图中的A、B两部分），那么两个正方形最多能

把平面分成几部分？

答案A卷

1.(1)6X7+2=21〔条)

(2)4X54-2=101个)

(3)5X64-2=151个)

(4)5X64-2=15

15X4=60(个)

(5)左图:42+32+22+12=30(个)

右图：6X4+5X3+4X2+3X1=50(个)

2.6个

3.

1个交点3个交点5个交点

6.运用中心对称的原理，可以得到九种分法

7.可分成下图所示的8个正方形

8.运用等底等高的两个三角形面积相等的知识，把图形变换如下。

10.27个，180个

11.9个面，16条棱，9个顶点12.分成10部分

应用题

1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半，收入增加五分

之一，一张电影票原价多少元？

2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%,再从甲存款

中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款

3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的

60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖

多少颗？巧克力糖多少颗？

4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4!”小亮

说：“你要是能给我你的1/6,我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？

5、搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，内需要15小时.有

同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲

搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多

少时间？

6、一件工作,若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后，乙加入一起工作,合作2

天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完

成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要儿天？

7、股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1%和2%分别交纳

印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进

一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，

老王卖出这种股票一共赚了多少钱？

8、某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定

价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5

元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，

便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔,

赔多少，若赚，赚多少？

9、一件工程原计划40人做，15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人?

10、仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走6

4吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？

11＞育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5,后来又有60名同学达

标，这时达标人数是未达标人数的9/11,育才小学共有学生多少人？

12、小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,

等于小张的1/8,而且八张比小王多做了72道，小王，小张，小李各做多少道？

13、甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件

要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？

14、某工会男女会员的人数之比是3：2,分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人

数之比是10:8:7,甲组中男女比是3：1,乙组中男女比是5：30求丙组男女人

数之比。

15、甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5

原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为两村抽不出劳力，经协商,

丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲

村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

16、李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利

0.2元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天

获利比原来增加了50机间：每千克水果降价多少元？

17、・哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道

得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所

有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？

18、爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行

李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这

些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带

行李的质量。

19一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人,

刚好剩余1只船，求有多少只船？

20、建筑工地有两堆沙子,第一堆比第二堆多85吨，两堆沙子各用去30吨后,第

一堆剩的是第二堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨？

答案

1、解：设一张电影票价X元

(x-3)X(1+1/2)=(l-l/5)x

(l+l/5)x这一步是什么意思，为什么这么做

(x-3)｛现在电影票的单价｝X(1+1/2)｛假如原来观众总数为整体1,则现在的

观众人数为(1+2/1)｝

左边算式求出了总收入

(1+1/5)x｛其实这个算式应该是：lx*(1+5/1)把原观众人数看成整体1,则

原来应收入lx元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*(1+5/1),减缩

后得到(l+l/5x)｝

如此计算后得到总收入，使方程左右相等

2、取40%后，存款有

9600X(1-40%)=5760(元)

这时，乙有：57604-2+120=3000(元)

乙原来有：30004-(1-40%)=5000(元)

3、加10颗奶糖,巧克力占总数的60%,说明此时奶糖占40%,

巧克力是奶糖的60/40=1。5倍

再增加30颗巧克力，巧克力占75%,奶糖占25%,巧克力是奶糖的3倍

增加了3-1.5=1.5倍,说明30颗占1.5倍

奶糖二30/1.5=20颗

巧克力:1.5*20二30颗

奶糖=20-10二10颗

4、小明说：“你有球的个数比我少1/4!”，则想成小明的球的个数为4份，

则小亮的球的个数为3份

4*1/6=2/3(小明要给小亮2/3份玻璃球)