高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1,函数的平均变化率为包="=/(々)7(项)=心+醺)7区)

AxAxx2-%1Ax

注1：其中Ax是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的壬均速度。

2、导函数的概念：函数y=/(x)在x=x。处的瞬时变化率是lim包=lim®仝匕&2,那

Av->oAXAX->OAx

么称函数y=/(x)在点x。处可导，并把这个极限叫做y=/(x)在/处的导数，记作/(x0)或

即/'(x0)=lim丝=lim/。+3一〃%).

y|*=而

&；TOAXAXTOAX

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;

函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度;

5、常见的函数导数

函数导函数

y=cy=0

n

y=xN*)y=nxrl~l

y-ax(a>O,awl)y=axIna

y=exy

1

y=log“x(a>O,awl,x>O)y

x\na

__1_

y=\nxy

X

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

6、常见的导数和定积分运算公式:假设“X),g(x)均可导(可积)，那么有:

和差的导数运算[/(X)±g(x)]=/(X)±g(X)

[/(x)-g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g(X)

积的导数运算

特别地：\Cf(x)]=Cf'(x)

3=/'(x)g(x)一“x)g(x)(g(x)00)

商的导数运算

特别地：一二’=用斗

I_g(x)」g-(x)

复合函数的导数=城・%'

f/(加=

微积分根本定理

(其中尸(X)=/(%))

fbe>b(*b

J,"(x)土&(%)心=(x)dx±

和差的积分运算

蛀叫的fgXx)公=M"/(x)公/为常数)

特别地：J"J"

积分的区间可加性ff(x)dx=[f(x)dx+f/(x)公(其中a<c<b)

JaJaJc

用导数求函数单调区间的步骤:

①求函数./U)的导数/'(X)

②令广(幻>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令/(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；

［注］:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数«r)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2)求函数/U)的导数/(x)

(3)求方程1(x)=0的根

(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格,

检查/”(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么./U)在这个根处取得极大值；如

果左负右正，那么/U)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么*x)在这个根处

无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求/(x)在［a,"上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求/(x)在［a,句上的极值；

⑵将/(幻的各极值与/(a),/S)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

［注］:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9.求曲边梯形的思想和步骤:伊副f|近似代替丽.I取极限|［"以直代曲”的思想)

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1['ldx=b-a

Jci

性质5假设/(x)NO,x&\a,b\,那么J/(x)dxNO

①推广：J："(x)土人(x)±…±(x)M=£ft(x)dx±J：6(x)公±…±J：/„(%)

②推广：I*f{x}dx=f'f(x)dx+f2f{x}dx-\---F(f{x)dx

JaJaJc\Jck

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取

负值，还可能是0.

(1)当对应的曲边梯形位于X轴上方时，定积分的

值取正值,且等于X轴上方的图形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的

值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x

轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为。，且等于x轴

上方图形的面积减去下方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,

速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：

从个别事实中推演出二然性的结论，像这样的推理通常称为归

纳推理。

归纳推理是由局部到整体，由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察-------*概括、推广-------A猜测一般性结论

15.归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验,

因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜测，可以作为进一步研究的起点，

帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个(或两类〕对象之间在某些方面的相似或一样，推演出它们在其他方面也相似或

一样，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特•稣•到特•殊•的推理。

17.类比推理的思维过程

观察、比拟联想、类推推测新的结论

18.演绎推理的定义:

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法

那么得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

••♦•

19.演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象;

③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据的定义、公理、定理，直接推证结论的真实

性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要

证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的

式子，可称为“由果索因〃。

要注意表达的形式：要证A,只要证8应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合

使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否认的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，

从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)从矛盾判定假设不亚硬，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词反义词原结论词反义词

至少有一个一个也没有对所有的X都成立存在X使不成立

至多有一个至少有两个对任意X不成立存在X使成立

至少有〃个至多有D-1个p或夕―P且—\(J

至多有〃个至少有n+1个p且q-\p或~

27.反证法的思维方法:正难那么反

28.归缪矛盾

U)与条件矛盾:

(2)与已有公理、定理、定义矛盾:

(3)目相矛盾.

29.数学归纳法(只能证明与无颦数有关的数学命题)的步骤

⑴证明：当“取生全值名(/eN*)时命题成立；

⑵假设当n=k(攵CN*,且后〃0)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立.

由(1),(2)可知，命题对于从处开场的所有正整数〃都正确

.［注］:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩大和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如里•区的数叫做复数，其中i叫虚数单位，〃叫实部，b叫虚部，数集

C={a+bi|a,beR}叫做复数集。

规定：a+bi=c+di<c»a=cb=d.

强调：两复数不能比拟大小，只有相等或不相等。

实数S=O)

31.数集的关系：复数Z,一般虚数(aw0)

虚数(匕片0〉

纯虚数(“=())

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数2=。+初，都可以由一个有序实数对(。