高中数学第七讲 函数与方程

第七讲函数与方程

©夯基础考点练透

1.［2021首都师大附中联考］已知函数f(x)=，%嘴?夕?则方程f(［x|)=a(aCR)的实根个数不可能为()

(-02)/+2(x>1),

A.1B.2C.3D.4

lx2+2x1x<0

；c'若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是

(—>0,

()

A.(y,4-2V3)B.(4-2V5,4+2同

C.(0,4-2V5］D.(0,4_2V3)

3.［2020武汉市部分学校质量监测］已知函数f(x)=f-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是()

A.［0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.［0,1)

4.［2020江淮十校联考］对任意实数x,恒有e-ax-1NO成立,关于x的方程(X-a)Inx-xT=O有两根,为

X1,X2(X〈X2),则下列结论正确的为()

A.XI+X2=2B.Xi•x2=l

C.^=2D.X2气力

5.［2020江西红色七校联考］若函数f(x)=x-V7-alnx在区间(l,+8)上存在零点，则实数a的取值范围为()

A.(0,j)B.(1,e)

C.(0,+8)D.(1+8)

6.［2019陕西西安三模］若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当Xe［T,1］时,f(x)=|x1,则方程

f(x)=log31x|的根的个数是()

A.4B.5C.6D.7

7.［新角度题］函数f(x)=x2-2x-l-|x-l|的所有零点之和等于.

8.［2021湖北省四地七校联考］若函数f6)=2,-景26〈0)的零点为x。,且xo€(a,a+1),adZ,则a=.

9.［2021贵阳市四校第二次联考］已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0,2］上单调递增,若

方程f(x)=m(m>0)在区间卜8,8］上有四个不同的根Xi,x2,x3,Xa,则xi+x2+x3+x4=.

10.［2021陕西百校联考］已知函数f(x)=|lnx|-2ax恰有三个零点，则实数a的取值范围为.

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11.［2021晋南高中联考］已知函数f(x)=R；线则函数g(x)=2f(f(x)-l)-l的零点个数为()

A.7B.8C.10D.11

12.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的xGR都满足f(l+x)=f(l-x),当xWl

时,小耳奥0；/1，若函数g(x)=m|x|-2与f(x)的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是()

A.mWO或m=eB.0<m^!

C.|<m<eD.m>e

eX，XG[0，1)，

13.[2020合肥市调研检测]设函数f(X)4若函数y=f(x)-k存在两个零点xbxz(xKx2),则3-

[1,+00).

X”f(xi)的取值范围为()

A.⑵e2)B.[1,e2)C.[e,e2)D.[1,e2]

14.[2020大同市高三调研]已知f(x)=言,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为

()

A.{-e}U(3-e,+°°)B.{-e}U(0,3-e)

C.(-°°,0)D.{-e}U[3-e,+8)

15.[2021石家庄市一检][多选题]记函数f(x)=x+lnx的零点为x01则关于x。的结论正确的为()

A.0<x0<iB,l<xo<l

xx

C.e°-xo=OD.e-°+xo=O

16.[条件创新]对任意的实数x,[x]表示不大于x的最大整数,则函数f(x)=x2-[x]-l的零点为.

答案

第七讲函数与方程

目1夯基础:号点练透

1.A根据对数函数以及二次函数的性质，结合f(|x|)与f(x)图象的关系作出函数f(|x|)的图象,如图D2-7-6所

示，则y=f(|x1)的图象与y=a的图象的交点个数不可能为1,

即方程f(|x|)=a(aeR)的实根个数不可能为1.

故选A.

图D2-7-6

2.D方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根，可转化为函数y=f(x)与y=a(x+3)的图象有四个不同的交点，易知直线

y=a(x+3)恒过点(-3,0).作出函数f(x)的大致图象,如图D2-7-7所示.结合函数图象,可知a>0且直线y=a(x+3)与

曲线y=---2x,xG［-2,0］有两个不同的公共点,所以方程x2+(2+a)x+3a=0在［-2,0］内有两个不等的实数根,令

4=(2+a)2-12a>0,

二v-竽v。，解得0^a<4-2V3,又a>0,所以实数a的取值范围是(0,4-2⑸，

g(0)=3a>0,

{g(-2)=a>0,

故选D.

3.A因为f(x)没有零点,所以关于x的方程f(x)=0,即a三无实数解.令g(x)哼h(x)=a,则函数y=g(x),y=h(x)的

图象无公共点.g'(X)鼠¥，令g'(x)=0,则x=l.当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,且g(x)〈0;当0<x<l时，

g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>l时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以函数g(x)有极小值g(l)=e,作出g(x)的

图象，如图D2-7-8所示,结合图象可得OWa<e,故选A.

图D2-7-8

4.B对任意实数x,恒有ex-ax-l>0成立,则可得a=l,将关于x的方程(x-a)Inx-x-l=O转化为Inxg,Xi满足

Inx畤,则有峙芸结合原方程的两根为X1,X2(x1),得X2力即x.+1,故选B.

5.D解法一由题意知F(x)=l-点-"笔”当X>1时,令g(x)=2x-五,则g'(x)=2-泰>0,g(x)在(1,+8)上单调递

增，g(x)>l.

当2aWl,即a0时,f(x)>0,所以函数f(x)在(1,+8)上单调递增，又f(1)=0,所以f(x)在(1,+8)上无零点；

当2a>1,即a其时,存在x°C(1,+8),使得f'(Xo)=O,所以当l〈x〈x0时,f(x)<0,当x>x。时,f'(x)>0,所以函数f(x)

在(1,在上单调递减，在(x。,+8)上单调递增,又f(1)=0,所以f(xo)<O,当x-+8时,f(x)-+8,所以函数f(x)在区

间(1,+8)上存在零点.

综上,a的取值范围为$+8).故选D.

解法二当a=10解f(x)=x-Vx-101nx,当x=e时,f(e)<0,当x=100时，f(100)>0,所以函数f(x)在(1,+8)上存在

零点,所以A,B不正确；当a苫时,f(x)=x-VJ-；lnx,f'(x)=l当X>1时，f'(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增，

又f⑴=0,所以当a=躯,f(x)在(1,+8)上无零点,所以c不正确.选D.

6.A因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的函数.又当xG［T,1］时,f(x)=|x］,所以函数

f(x)的图象如图D2-7-9所示.

再作出y=log31x|的大致图象,如图D2-7-9,易得两函数的图象有4个交点,所以方程f(x)=log31x|有4个根.故选

A.

7.2f(x)=X2-2X-1-Ix-11=|x-112-1x-11-2.令t=|x-11(t20),g(t)=t2-t-2=(t+l)(t-2).若g(t)=O,则t=2,所以

|x-l|=2,所以x=3或x=-l,故所有零点之和为2.

8.-3由题意可知1,因为y=2■口y=-去x?在(-8,0)上都单调递增,所以函数f(x)在(-8,0)上单调递增,又

f(xo)=0,f(-2)-2--^X(-2)244>0>f(-3)=2一3-/(-3)管备0,所以xK(-3,-2),所以a=-3.

9.-8因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=-

2对称，又f(x-4)=-f(x),所以f(x)=-f(x+4)，所以f(x-4)=f(x+4),f(x)=f(x+8),所以f(x)是周期为8的周期函数.

因为奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递增，所以f(x)在区间12,2］上单调递增,在区间16「2］上单调递减，画出

f(x)的可能图象如图D2-7-10所示.作出直线y=m(m>0).不妨设XI<X2<X3<XI,由对称性可知Xi+xz=T2,X3+x‘=4,所以

XI+X2+X3+X4=-8.

10.(0,i)由|lnx|-2ax=0(x>0),得2a岑，所以函数f(x)=|lnx1-2ax恰有三个零点等价于y=2a与函数

g(x)且詈的图象有三个交点.当0<x<1时,g(x)=卷,g'(x)挈〈0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减;当xK

时,g(x)=竽,g'(X)总要,由g'(x)>0,得lWx<e,由g'(x)<0,得x>e,所以函数g(x)在［1,e)上单调递增,在(e,+8)上

单调递减,所以x=e为函数g(x)的极大值点,且g(l)=0,g(e)=1,当xf+8时,g(x)f0.在同一平面直角坐标系中作

出y=2a与函数y=g(x)的图象,如图D2-7-11所示,由图可知，当y=2a与函数y=g(x)的图象存在三个交点

图D2-7-11

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11.B记t=f(x)-l,则2f(t)T=O的解为t尸五,tz=T-冬t3=T+¥，5-1-冬t=f(x)-l的根等价于直线y=t+l与

y=f(x)的图象的交点个数,画出f(x)的图象,如图D2-7-12,数形结合知有8个交点,即g(x)=2f(f(x)-l)-l有8个

零点.

12.A由题意知函数f(x)的图象关于直线x=l对称,结合xWl时f(x)的解析式作出函数f(x)的图象,如图D2-7-

13所示,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)的折线,当m>0时，函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)且

“开口向上”的折线,只有当直线y=mx-2与y=lnx在(0,1］上的图象相切时,函数f(x)与g(x)=m|x|-2的图象恰有

两个交点，此时设切点为(a,Ina),根据y'La=(lnx)'匕吟有端也;=皿a=T=a］,所以m=e.

当m<0时，函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)“开口向下”的折线，则恒与函数f(x)的图象有两个交点.

当m=0时，函数g(x)=m|x|-2=-2,则其图象恒与函数f(x)的图象有两个交点.

综上,若函数g(x)与f(x)的图象恰有两个交点，则mWO或m=e,故选A.

13.A因为函数y=f(x)-k存在两个零点,所以方程f(x)-k=O即方程f(x)=k存在两个不相等的实根,所以函数

y=f(x)的图象与直线y=k存在两个交点.画出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图D2-7-14所示，由图易知lWk<e.

因为e*i=X2-l=k,所以xi=lnk,X2=k+1.令g(k)=(x2-xjf(xi),则g(k)=(k+lTnk)k=k2+k-klnk,所以g'(k)=2k+lTn

k-l=2k-lnk,当lWk〈e时，由函数y=2k与y=lnk的图象知2k>lnk,则g'(k)>0,所以函数g(k)在［1,e)上单调递

22

增,所以当1Wk<e时,g⑴Wg(k)〈g(e),即2Wg(k)<e,所以(x2-x.)f(x,)的取值范围是［2,e),故选A.

图D2-7-14

图D2-7-15

14.B由题意知f，(x)端(x>0且xWl),令f'(x)=O/^x=e,所以当xd(O,l)U(l,e)时,f'(x)<0;当

1

xe(e,+8)时,f(x)>0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增,所以当x=e时,f(x)有极

小值，且极小值为e,则