高中数学总复习-数形结合解题专题

高中数学总复习-数形结合解题专题

一、高中学生用“数形结合”解题的现状

目前，从高中生数形结合解题能力调查可知，高中生数

形结合解题意识不强，这主要体现在数学解题中数与形

的分离上，即一个问题仅仅是从数的角度求解，或者是

仅仅从形的角度考虑。而且学生利用数形结合解题时容

易出现问题，不易找到数形结合解题的突破口。因此，

高中数学教学如果能有效地引导学生自觉强化运用数形

结合的解题意识，善于培养学生寻找数形结合解题突破

口的能力，将能大大提高学生解题准确率。

二、“数形结合”的思想及重要性

“数”与“形”，作为数学中最古老最重要的两个方面，

一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有

“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾

说过：”数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时

少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万

事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。可见，所谓数形结

合，指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把

抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系

结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象

思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问

题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思

想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，

关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问

题几何化。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在

高中数学中占有极其重要的地位。近年高考数学试卷，就

是一个有力的明证。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第

一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特

征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代

数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思

形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取

值范围。

三、数形结合的具体应用及效果

在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以

形助数”。在解方程和不等式、求函数的最值问题、求

复数和三角函数等问题中，如果巧妙运用“数形结合”

思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。数形结

合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结

合的思想，可以解决以下问题：

（一）、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、

Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得

以简化，使运算快捷明了。

应用1：设命题甲：0<x<3,命题乙：|x—11<4,则甲是

乙成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件

将两个命题用数轴表示，如图：

从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件.所

以选A.

乙

甲

-3035

应用2:设U是全集，则①QA"巴②四6=巴

③An（c/）=。，④（GMnB=°。

上面结论中不正确的是：

解：画出适合条件的韦恩图即知③不正确。

［点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，

如果是含字母参数的，可以画韦恩图；如果是具体的数

集，则可以画数轴，都可以使集合间的关系直观化.

（二）、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方

程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式

时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析

其几何意义，从图形上找出解题的思路。

应用：设aeR,关于x的一■兀二次方程7彳2_(。+13)彳+。2_。_2=0有

两实根玉、々，且0<西<1<尤2<2,求a的取值范围。

分析：此题告诉我们方程有两个根，所以可考虑解出两根

/赴,再把两根带入0<玉<1<々<2求解不等式即可。显然这样

的思路想来简单，但求解却是非常困难的事情,所以我尸不

得不考虑其他办法。若我们令：\./x.

/(x)=7x2-(a+13)x+a2--2|\_y

那么问题就可以转化为二次函数f(x)与X轴应有

两个交点，而交点的位置一个在(0,1)内、一个在(1,2)内，由图

可列出图像应满足的条件并求解：

7(o)>o

</(I)<0n-2<a<—1或3<a<4

J⑵>0

(三)、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件

下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体

现了数形结合思想的应用。

应用：某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价

分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，

软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共

有()

A5种B.6种C.7种D.8种

分析1:该题可用例举法一一例举出结果

分析2：利用线性规划知识求解：

设需买软片X片、买磁盘y盒，由题意知:

60x+70y<500

<x>3

”2

上述约束条件所表示的平面区域为如右图所示的阴影三角

形上。整点(X,y)共有7个,即为(3,2)、(4,2)、(5,

2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有7种不同的选

购方式故选C

［点评］显然前一种方法虽然可以求解该题，但花费时间较长,

且容易漏解，第二种方法解该题却显得既准确又快捷。

(四)、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确

定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆

或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数

问题的重要方法。

应用：若,记max(a,8)=,对于函数

b,(a<b)

/(%)=max(sinx,cosx)(xG/?),给出下列4个命题：

⑴该函数的值域是［-1,1］；⑵当且仅当x=2痴+至伏eZ)时,该

2

函数取得最大值1；⑶该函数是以乃为最小正周期的周期函

数；⑷当且仅当2版■+乃<%<2%乃+半(ZeZ)时，/(x)<0.上述命

题中正确的命题是解析：根据题意，可把已

知函数转译为/(幻二产叱而短侬幻，将其简图画出(见图

cosx,(sinx<cosx)

1),由此图像可知，该函数值域是［一当」］;当x=2k兀+—(Z:GZ)

22

或x=2版■时，该函数取得最大值1；该函数是以2万为最小正

周期的周期函数，所以命题⑴、⑵、⑶都不正确，而命题

⑷是正确的。

［点评］:本题的特点是给出的函数较为复杂，如果利用以

往学过的函数性质不便于解题。这时我们利用已知的正

弦，余弦函数图像解题，则简单，明了，准确。

(五)除以上应用之外，数形结合在解决解析几何、立体

几何等问题时，同样可以起到使复杂的问题简单化、直

观化的效果。

从上面数形结合的解题实例中可以看出，充分抓住数与形

的内在联系去探索问题，将会收到事半功倍的效果。

总而言之，问题是数学的心脏，提出并解决问题是推动数学

发展的动力。而数形结合就是高效解决数学问题的重要方法

之一。若我们的学生能恰当地利用数形结合思想提高解