高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面向量的加、减运算的坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

素养目标学法指导

1.平面向量运算的坐标表示依然可以类

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量比数的运算来学习，注意坐标运算的二

的坐标表示.(逻辑推理)维特征.

2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐标运算法则.(数学运算)的坐标运算其实是同名坐标之间的运

算.

知识点平面向量的正交分解及坐标表示

1.平面向量正交分解的定义

把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示

(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、「轴方向相同的两个单位向量

_分别为/，J,取｛九J｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基

本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得a=(x,y).我们把有序数对(x,

y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y).此式叫做向量a的坐标表示.

(2)特殊向量的坐标:i=(l,O),j=(O,l),0=(0,0).

［知识解读］点的坐标与向量坐标的区别和联系

点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量

仅由大小和方向决定，与位置无关.

1.联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的

坐标.

(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即

\xx=x2,

若a=(x”%)，b=5,%)，则a=从*

5=外

注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可

以不同.

2.区别：(1)书写不同，如a=(1,2),4(1,2).

(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以

平移，故以这个有序实数对为坐标的向

量有无穷多个.因此，符号(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以

表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x,

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐标运算

设向量a=(x”%)，b=(如④，4GR,则有下表:

文字描述符号表示

两个向量和的坐标分别等于这两

加法&+力=(3+生，

个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两

减法a-b=(1一)，必一二)

个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这

数乘个实数乘原来向量的相应坐标/8=（（乂，--）

向量一个向量的坐标等于表示此向量

已知力(xi,%)，8(品，必)，

坐标的有向线段的终点的坐标减去起

则花=(而一为，必一必)

公式点的坐标

题型一NF面向量的坐标表示

典例1如图，在平面直角坐标系才分中，0A=4,AB=3,N/Ox=45°,Z

"18=105°,OA=a,需=6.四边形物固为平行四边形.

(1)求向量a，b的坐标.

(2)求向量威的坐标.

(3)求点8的坐标.

［归纳提升］求向量坐标的三个步骤:

平移一将向量的始点移至坐标原点

找出以X轴正向为始边，向量所在

求角

射线为终边的角0

根据x=zcos8,y=rsin。(/为向量的

求坐标

模)求终点坐标，即为向量坐标

【对点练习】❶己知向量a在射线y=x(x20)上，且起点为坐标原点0,又

\a\=y［2,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量力)作为基底，则向量a

的坐标为()

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.电⑫D.(-^2,一/)

题型二平面向量的坐标运算

典例2已知平面上三个点4(4,6)、6(7,5)、C(l,8),求荔、AC,AB+AC.AB

—AC.

［归纳提升］平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量

的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.

【对点练习】❷(1)已知点4(0,1),庾3,2),向量能=(—4,-3),则向量

BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),6(2,1),C(3,2)和〃(一2,3),试用坐标来表示功+防+壹

题型三平面向量坐标运算的综合应用

典例3已知平面上三点的坐标分别为4(—2,1),庾一1,3),。⑶4),求点

〃的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.

［归纳提升］平行四边形顶点坐标的求解

(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四

边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.

(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.

【对点练习】❸如果将洒=偿，，绕原点。逆时针方向旋转120°得到宓,

典例4已知点4(2,3),3(5,4),<7(7,10),若亦=花+儿衣(儿GR),试求当

点尸在第三象限时，4的取值范围.

【对点练习】❹已知点。是内一点，//加=150°,/8%=90°,

设而=a,说=b,OC=cSLIa\=2,|引=1,”=3,求向量宓，距的坐标.（以0

为坐标原点，游所在直线为x轴建立平面直角坐标系）

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

素养目标学法指导

1.平面向量运算的坐标表示依然可以类

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量

比数的运算来学习，注意坐标运算的二

的坐标表示.（逻辑推理）

维特征.

2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量

2.由于使用了正交分解，因此平面向量

和、差的坐标运算法则.（数学运算）

的坐标运算其实是同名坐标之间的运

算:.

知识点平面向量的正交分解及坐标表示

1.平面向量正交分解的定义

把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示

(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、「轴方向相同的两个单位向量

_分别为＞，J，取｛＞，J｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基

本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得a=(x,力.我们把有序数对(x,

y)叫做向量a的坐标，记作a—(x,y).此式叫做向量a的坐标表示.

(2)特殊向量的坐标：i=(1,0),J=(0,1),0=(0,0).

［知识解读］点的坐标与向量坐标的区别和联系

点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量

仅由大小和方向决定，与位置无关.

1.联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的

坐标.

(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即

\xx=X,

若a=(x”必)，b=5%)，则1

1%=必•

注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可

以不同.

2.区别：(1)书写不同,如a=(l,2),4(1,2).

(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以

平移，故以这个有序实数对为坐标的向

量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以

表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(心

力或向量(x,y).

3.平面向量的坐标运算

设向量a=(x”m)，b=J,必)，则有下表:

文字描述符号表示

加法两个向量和的坐标分别等于这两a+Z>=（1+在,弘+%）

个向量相应坐标的和.

两个向量差的坐标分别等于这两

减法a-b=（1一），%一二）

个向量相应坐标的差，

实数与向量的积的坐标等于用这

数乘个实数乘原来向量的相应坐标Xa=(/父,，%)

向量一个向量的坐标等于表示此向量

已知4（xi,%），B（x”必），

坐标的有向线段的终点的坐标减去起

则~AB=（在―X”必一弘）

公式点的坐标

题型一3F面向量的坐标表示

典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，的=4,AB=3,N/0x=45°,Z

如4105°,OA=a,焉=6.四边形位以7为平行四边形.

(1)求向量&，6的坐标.

(2)求向量9的坐标.

(3)求点6的坐标.

［解析］(1)作4V_Lx轴于点弘

贝I」OM=OA-cos45°=4X^=2小，

AM=OA'sin45°=4X乎=2啦，

所以力(2镜，2①故a=(2蛆,2^2).

因为N4OC=180°-105°=75°,ZAOy=45°,

所以/。%=30°.又OC=AB=3,

所以第=沅=(弓岁)即H—会吟

(3)宓=应+诵

=^-1,2舟啕.

［归纳提升］求向量坐标的三个步骤：

而朝一|将向量的始点移至坐标原点

找出以解山正向为始边，向量所在

射线为终边的角e

士,灰*_|_根据x=rcos0,y=rsin"r为向量的

"㈣模)求终点坐标，即为向量坐标

【对点练习】❶已知向量a在射线尸爪心0)上，且起点为坐标原点。，又

|a|=V2,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j.作为基底，则向量a

的坐标为(A)

A.(1,1)B.(-1,-1)

C.(^2,:)D.(一嫄，-^2)

［解析1由题意，a=(镜cos45°)£+(*sin45°)j—I+J=(1,1).

题型二平面向量的坐标运算

典例2已知平面上三个点】(4,6)、6(7,5)、。(1,8),求第、AC.亚+衣、AB

—AC.

［分析］先计算出葩，元的坐标，再进行向量的线性运算.

［解析］♦4(4,6)、8(7,5)、C(l,8)

.,.荔=(7,5)—(4,6)=(3,-1)；衣=(1,8)—(4,6)=(—3,2)；

和丸=(3,-1)+(-3,2)=(0,1)；

AB-(3,—1)一(—3,2)=(6,-3).

［归纳提升］平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量

的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.

【对点练习】❷(1)已知点力(0,1),3(3,2),向量尿=(一4,一3),则向量

BC={A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)已知4(1,-2),M2,1),C(3,2)和〃(一2,3),试用坐标来表示加■如森

［解析］(1)解法1：设C(x,y),则赤=(x,y—1)=(—4,—3).

即x=—4,y=—2,故。(一4,-2),则反'=(-7,—4),故选A.

解法2：BC=AC-AB=(-1,-4).

(2)松(一3,5),9(—4,2),"(—5,1)，

AD-\-BD-\-CD=(-3,5)+(—4,2)+(—5,1)=(-12,8).

题型三平面向量坐标运算的综合应用

典例3已知平面上三点的坐标分别为力(-2,1),8(—1,3),以3,4),求点

〃的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.

［分析］利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出〃点

的坐标.

［解析］设点〃的坐标为(*,y),

当平行四边形为/灰力时，由拔=(1,2),DC={3-x,4-y),且加=应；得

〃(2,2).

当平行四边形为U时，由9=(1,2),"(x—3,y-4),且加=而，得

伏4,6).

当平行四边形为切时，由衣=(5,3),龙=(一1-%3—力，且衣=场，得

〃(一6,0),

故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0).

［归纳提升］平行四边形顶点坐标的求解

(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四

边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.

(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.

如果将洒=惇,I

【对点练习】❸9绕原点。逆时针方向旋转120°得到宓,

乙)

则硼坐标是(D)

1}

A.2)

C.(―1,y/3)f

2)

因为游=(平,1］

［解析］3所在直线的倾斜角为30。，绕原点。逆时针方向旋

转120。得到丽在直线的倾斜角为150。，所以48两点关于y轴对称，由此

可知6点坐标为一半，9，故座的坐标是T，9.

、乙乙)、乙乙)

典例4已知点4(2,3),8(5,4),C(7,10),若9加+人衣(46R),试求当

点尸在第三象限时，4的取值范围.

[错解]由已知得淳=葩+4衣=(5—2,4—3)+4(7—2,10—3)=⑶1)+

A(5,7)=(3+5A,1+74),

[3+5A<0,3

又点尸在第三象限，所以一7/所以人一.

[1+7A<0,5

3

故儿的取值范围为(-8,